Distribuzioni di x medio e n 1 S varianza

Teorema

Date (X₁, X₂, ..., X_n) v.c. normali indipendenti allora:

1. v.c. media campionaria

   X = (1/n) ΣX_i si distribuisce come una normale di media M e var σ²/n

Y_i = ΣX_i: somma di v.c. normali → normale

m_Y(t) = Π_i=1ⁿ m_X(t)

f.g.m. di somme v.c. è prodotto delle f.g.m.

= [m_X(t)]ⁿ

Considero trasf. lineare di Y = a + bX con a = 0, b = 1/n

f.g.m m_Y(t) = e^t_a m_X(bt)

= m_X(t/n) ⇒ è normale

La considero n volte

m_X¯(t) = [m_X(t/n)]ⁿ

Sommo le f.g.m. di tutte le v.c.

m_X¯(t) = e^{⟨tM + 1/2 s2(t/n)2⟩n}

= e^{tM + 1/2 (s2/n) t2}

Media Varianza

2. Le v.c. media campionaria

   X¯ = (1/n) ΣX_i e δ² = 1/(n-1) Σ (X_i - X¯)

   Varianza camp. corret. → sono indipendenti.