Psicometria: Le distribuzioni di frequenza e Tendenza centrale e dispersione

Anche quando i dati sono raggruppati in classi, la somma delle frequenze è pari al numero di

soggetti

Variabile discreta – Variabile continua (con decimali)

Per definire una regola univoca di attribuzione dei casi alle classi, si definiscono i cosiddetti “limiti

veri (o reali) degli intervalli. Gli intervalli indicati in tabella vengono definiti limiti tabulati

I limiti veri si ottengono aggiungendo .50 al limite tabulato superiore e sottraendo .50 al limite

tabulato inferiore

Limiti tabulati Limiti veri

72-73 71.5 +- 73.5

74-75 73.5 +- 75.5

76-77 75.5 +- 77.5

78-79 77.5 +- 79.5

Il simbolo +- indica che in ogni intervallo vengono inclusi i valori > al limite inferiore e ≤ al limite

superiore. I valori che coincidono con il limite vero di due classi si collocano nella classe con i

valori più piccoli

Il punto medio di ciascuna classe (o X centrale, Xc) è pari alla media dei limiti inferiore e

superiore. Indifferente usare limiti reali o tabulati. I punti medi servono per rappresentare i dati in

un poligono di frequenza o per eseguire ulteriori calcoli sulle frequenze delle classi

Criteri da seguire nella definizione delle classi:

Il numero di classi non deve essere né troppo esiguo, né troppo elevato (un numero

• ragionevole è in genere compreso tra 5 e 20)

È preferibile che le classi siano di uguale ampiezza (non sempre è possibile!)

• Le classi devono coprire l’intera gamma di punteggi

• Gli intervalli devono essere mutualmente esclusivi

•

A volte è utile trasformare la distribuzione delle frequenze in distribuzioni di frequenze percentuali:

f% = f*100/n

n = numero totale dei casi

f = frequenza dei casi che assumono un certo valore

f% = frequenza percentuale dei casi che assumono un certo valore

La somma di tutte le f % è pari a 100

f/n proporzione

Le rappresentazioni grafiche per variabili quantitative

Le distribuzioni di frequenza possono essere rappresentate graficamente in vari modi

I grafici hanno la funzione di riassumere i dati, in modo che siano facilmente leggibili

I due grafici più utilizzati per le variabili quantitative sono:

Istogramma

• Poligono di frequenza

•

L’istogramma

L’istogramma è una rappresentazione grafica su due assi cartesiani

Sull’asse delle ascisse viene riportata l’intera gamma di valori della variabile

Sull’asse delle ordinate vengono riportate le frequenze di ciascun valore

Nell’istogramma le colonne sono giustapposte (variabile metrica, quantitativa)

Quando i dati sono raggruppati (in classi di uguale ampiezza):

Sull’asse delle ascisse vengono riportati i limiti veri delle classi

Sull’asse delle ordinate vengono riportate le frequenze delle classi (nei casi in cui le classi non siano

di uguale ampiezza, il valore da riportare sulle ordinate è pari a frequenza/ampiezza)

Il poligono di frequenza

Consente di rappresentare graficamente una o più distribuzioni di frequenza

Si rappresenta in un sistema di assi cartesiani:

In ascissa si riportano i valori della variabile (o i punti medi delle classi, quando i dati raggruppati)

In ordinata si riportano le frequenze

Il poligono di frequenza è la linea che si ottiene congiungendo con segmenti di retta i punti

all’incrocio tra i valori (dati non raggruppati) o i punti medi (dati raggruppati) e le relative

frequenze

Le tabelle di frequenza per variabili qualitative

Nel caso di mutabili, le tabelle di frequenza includono tutte le possibili modalità di una variabile

(es. Stato civile) e le frequenze con cui si presentano le varie modalità

Stato civile Frequenza (f)

Celibe 3

Coniugato 4

Divorziato 1

Vedovo 2

I grafici più utilizzati per le variabili qualitative sono il grafico a barre (colonne separate) e il

grafico a torta

Tabelle e rappresentazioni grafiche in SPSS

Sono disponibili nella finestra di dialogo «Frequenze» (selezionabile dal menu «Analizza»,

procedura «Statistiche Descrittive»)

Per ottenere le tabelle di frequenza

1)Selezionare la variabile di interesse e spostarla nel menu delle variabili attive (es «esito_psi»)

2)Cliccare su «OK»

Le percentuali cumulate sono le percentuali di un punteggio, più quelle di tutti i punteggi di ordine

inferiore

Per ottenere le rappresentazioni grafiche

1) Cliccare sull’opzione «Grafici»

2) Selezionare un tipo di grafico (es. «Istogramma»)

3) Cliccare su «Continua»

4) Cliccare su «OK»

Tendenza centrale e dispersione

Indici di tendenza centrale

Gli indici di tendenza centrale individuano gli aspetti “tipici”, ovvero i valori più rappresentativi

della distribuzione. Questi indici consentono di riassumere un’intera distribuzione di frequenza in

un unico numero

Gli indici di tendenza centrale più utilizzati sono:

Moda → calcolabile con scale nominali, ordinali, a intervalli e a rapporti

• Mediana → calcolabile con scale ordinali, a intervalli e a rapporti

• Media → calcolabile solo con scale a intervalli e a rapporti

•

La moda

- La moda è l’osservazione che si presenta con maggiore frequenza nella distribuzione dei dati

- Può essere calcolata con qualunque tipo di scala di misura (nominale, ordinale, a intervalli o a

rapporti)

- È l’unica misura di tendenza centrale per dati su scala nominale, poiché dipende esclusivamente

dal calcolo delle frequenze

Voti f

2 1

3 2

4 5

5 8

6 => MODA 10 => NON moda

7 5

8 3

9 1

Tot 35

Alcune distribuzioni sono bimodali, ovvero hanno due mode

- In senso stretto, una distribuzione è bimodale se vi sono due valori con la stessa frequenza più

elevata

- In senso lato, è sufficiente che vi siano due valori con frequenze decisamente più elevate

rispetto alle altre (anche se diverse tra loro)

La mediana

- La mediana è il valore che divide la distribuzione in due parti uguali

- È il valore della distribuzione al di sopra o al di sotto del quale cade un ugual numero di

osservazioni

- Può essere calcolata su scale ordinali, a intervalli e a rapporti ma non su scale nominali

- È il valore che occupa la posizione centrale in una serie ordinata di dati: metà osservazioni

ottengono punteggi inferiori alla mediana, l’altra metà ottiene punteggi superiori

Per calcolare la mediana:

1. Si dispongono le n osservazioni in ordine crescente (oppure decrescente). Ripetere ciascun

valore quante sono le sue frequenze

2. Se il numero (n) di osservazioni è dispari, la mediana corrisponde al valore che occupa la

posizione (n + 1)/2

3. Se il numero (n) di osservazioni è pari, ci sono due mediane (coppia mediana), che

occupano le posizioni n/2 e (n/2+1). Se si vuole esprimere la tendenza centrale con un solo

valore (anche quando n è pari), si può utilizzare la media delle due mediane

Esempio

Supponiamo di misurare il numero di comportamenti aggressivi messi in atto da 11 bambini nel

corso di un esperimento (n = 11): 7 5 1 3 4 10 8 4 0 8 9

1) Per calcolare la mediana, dobbiamo innanzitutto disporre i valori in ordine crescente:

0 1 3 4 4 5 7 8 8 9 10

2) Con 11 osservazioni (n=11) la mediana è rappresentata dal valore occupa la seguente posizione:

    

(n 1) / 2 (11 1) / 2 12 / 2 6

3) Se la posizione mediana è 6, la mediana è pari a 5, nella sequenza ordinata dei valori, infatti …

1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a

0 1 3 4 4 5 7 8 8 9 10

«5» è il valore che occupa la posizione centrale

Quando i dati sono disposti in una tabella di frequenze, un modo più semplice per calcolare la

mediana si basa sull’utilizzo delle frequenze cumulate.

Le frequenze cumulate sono le frequenze di un punteggio, più le frequenze di tutti i punteggi di

ordine inferiore.

Per calcolare la mediana:

1. Si calcolano le frequenze cumulate

2. Si identifica la posizione in cui si colloca la mediana (POS Me), tramite le solite formule:

POS Me = (n+1)/2 → se n è dispari

POS Me = n/2 e (n/2+1) → se n è pari

3. Si individua la mediana: la mediana è il valore che si trova in corrispondenza della

frequenza cumulata uguale a POS Me, se POS Me non corrisponde a nessuna frequenza

cumulata, la mediana si trova nella prima frequenza cumulata superiore a POS Me

Esempio

Torniamo all’esempio precedente. Poiché il numero delle osservazioni è 35 (n = 35), la posizione in

   

cui si trova la mediana è: POS Me (n 1) / 2 36 / 2 18

2 1 1

3 2 3

4 5 8

5 8 16

6 mediana 10 26 è la prima frequenza cumulata maggiore a POS Me

7 5 31

8 3 34

9 1 35

35

Infatti, se disponiamo le osservazioni in una sequenza ordinata:

2 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 9

6 è il valore che si trova nella 18° posizione

Circa metà soggetti ha ottenuto un voto inferiore a 6

L’altra metà ha ottenuto un voto superiore a 6

In altri termini, 6 è il valore che divide la distribuzione in due parti uguali

Oltre alla mediana, che rappresenta un indicatore di tendenza centrale della distribuzione, vi sono

altri indici di posizione, che vengono calcolati in maniera del tutto analoga alla mediana:

Altri indici di posizione

Quartili → dividono la distribuzione in quattro parti uguali

• Decili → dividono la distribuzione in dieci parti uguali

• Percentili → dividono la distribuzione in cento parti uguali

•

Quartili: sono quei tre valori che dividono la distribuzione in quattro parti uguali:

- Il primo quartile (Q1) è il valore al di sotto del quale cade il 25% dei casi

- Il secondo quartile (Q2) è il valore al di sotto del quale cade il 50% dei casi (corrisp a mediana)

- Il terzo quartile (Q3) è il valore al di sotto del quale cade il 75% casi

Analogamente al calcolo della mediana, per calcolare un quartile:

1) Si calcolano le frequenze cumulate

2) Si identifica la posizione occupata dal quartile con le seguenti formule:

POS Q1 = n+1/4 * 1

POS Q2 = n+1/4 * 2

POS Q3 = n+1/4 * 3

3) Si trova, nella distribuzione delle frequenze cumulate, la posizione (POS) del quartile che si

intende calcolare e si legge il valore corrispondente

Decili: sono nove valori che dividono la distribuzione in dieci parti uguali:

- Il primo decile (D1) è il valore al di sotto del quale cade il 10% dei casi

- Il secondo decile (D2) è il valore al di sotto del quale cade il 20% dei casi

- [...]

- Il quinto decile (D5), è il valore al di sotto del quale cade il 50% casi (corrisponde alla mediana)

- [...]