Le distribuzioni di frequenza
Cosa è una frequenza?
Per frequenza si intende il numero delle volte in cui un determinato «evento» si verifica in un gruppo di altri eventi (frequenza assoluta). Nel caso di variabili quantitative, la frequenza indica quante volte si presenta un determinato valore assunto dalla variabile.
Esempio: Per la variabile età: quante volte si presenta il valore “22 anni”?
Nel caso di variabili qualitative, la frequenza indica quante volte si verifica una determinata categoria (o modalità) della variabile.
Esempio: Per la variabile genere: quante volte si presenta la categoria “maschio”?
Cosa è una distribuzione?
Per definizione, ogni variabile (es. l’età) assume valori diversi all’interno di un determinato campione. La distribuzione si riferisce all’insieme di valori che si osservano per una determinata variabile.
Esempio: Supponiamo di aver rilevato il peso di un gruppo di 20 soggetti (n=20), ottenendo i seguenti valori: 72, 74, 76, 75, 76, 78, 72, 73, 75, 77, 75, 76, 74, 79, 74, 75, 73, 76, 77 e 78.
Caratteristiche delle distribuzioni
Le tre caratteristiche principali di ogni distribuzione sono:
- Tendenza centrale
- Dispersione (o variabilità)
- Forma
Per descrivere e quantificare queste proprietà possiamo avvalerci di:
- Tabelle e rappresentazioni grafiche
- Indicatori statistici
Le tabelle di frequenza per variabili quantitative
Le variabili possono assumere k valori diversi. Nell’esempio k = 8, ovvero 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78 e 79. Per costruire una tabella di frequenze occorre:
- Disporre i k valori in ordine crescente
- Contare, per ognuno dei k valori della variabile, quante volte quel valore si presenta (ovvero la sua frequenza). Ad esempio la frequenza del valore 74 è 3 (il valore 74 si presenta 3 volte).
- Disporre in tabella i k valori (in ordine crescente) e le relative frequenze:
| Peso | f |
|---|---|
| 72 | 2 |
| 73 | 2 |
| 74 | 3 |
| 75 | 4 |
TOT 20
Con f si indica la frequenza di un generico valore della variabile. La somma di tutte le frequenze è uguale a n, cioè al numero totale di soggetti. Il simbolo Σ (sigma) indica la somma, nell’esempio risulta infatti: f = n = 20.
A volte è utile raggruppare i punteggi in classi (o intervalli) (soprattutto quando k è elevato). Nell’esempio precedente, potremmo raggruppare i punteggi in quattro classi di ampiezza 2:
| Peso | f |
|---|---|
| 72-73 | 4 |
| 74-75 | 7 |
| 76-77 | 6 |
| 78-79 | 3 |
Tot 20
Anche quando i dati sono raggruppati in classi, la somma delle frequenze è pari al numero di soggetti.
Variabile discreta e variabile continua (con decimali)
Per definire una regola univoca di attribuzione dei casi alle classi, si definiscono i cosiddetti “limiti veri (o reali)” degli intervalli. Gli intervalli indicati in tabella vengono definiti limiti tabulati. I limiti veri si ottengono aggiungendo .50 al limite tabulato superiore e sottraendo .50 al limite tabulato inferiore.
| Limiti tabulati | Limiti veri |
|---|---|
| 72-73 | 71.5 - 73.5 |
| 74-75 | 73.5 - 75.5 |
| 76-77 | 75.5 - 77.5 |
| 78-79 | 77.5 - 79.5 |
Il simbolo +- indica che in ogni intervallo vengono inclusi i valori > al limite inferiore e ≤ al limite superiore. I valori che coincidono con il limite vero di due classi si collocano nella classe con i valori più piccoli.
Il punto medio di ciascuna classe
Il punto medio di ciascuna classe (o X centrale, Xc) è pari alla media dei limiti inferiore e superiore. Indifferente usare limiti reali o tabulati. I punti medi servono per rappresentare i dati in un poligono di frequenza o per eseguire ulteriori calcoli sulle frequenze delle classi.
Criteri da seguire nella definizione delle classi
- Il numero di classi non deve essere né troppo esiguo, né troppo elevato (un numero ragionevole è in genere compreso tra 5 e 20).
- È preferibile che le classi siano di uguale ampiezza (non sempre è possibile!).
- Le classi devono coprire l’intera gamma di punteggi.
- Gli intervalli devono essere mutualmente esclusivi.
A volte è utile trasformare la distribuzione delle frequenze in distribuzioni di frequenze percentuali: f% = f*100/n, dove n = numero totale dei casi, f = frequenza dei casi che assumono un certo valore, f% = frequenza percentuale dei casi che assumono un certo valore. La somma di tutte le f % è pari a 100.
Le rappresentazioni grafiche per variabili quantitative
Le distribuzioni di frequenza possono essere rappresentate graficamente in vari modi. I grafici hanno la funzione di riassumere i dati, in modo che siano facilmente leggibili. I due grafici più utilizzati per le variabili quantitative sono:
- Istogramma
- Poligono di frequenza
L'istogramma
L’istogramma è una rappresentazione grafica su due assi cartesiani. Sull’asse delle ascisse viene riportata l’intera gamma di valori della variabile. Sull’asse delle ordinate vengono riportate le frequenze di ciascun valore. Nell’istogramma le colonne sono giustapposte (variabile metrica, quantitativa).
Quando i dati sono raggruppati (in classi di uguale ampiezza): sull’asse delle ascisse vengono riportati i limiti veri delle classi. Sull’asse delle ordinate vengono riportate le frequenze delle classi (nei casi in cui le classi non siano di uguale ampiezza, il valore da riportare sulle ordinate è pari a frequenza/ampiezza).
Il poligono di frequenza
Consente di rappresentare graficamente una o più distribuzioni di frequenza. Si rappresenta in un sistema di assi cartesiani: in ascissa si riportano i valori della variabile (o i punti medi delle classi, quando i dati raggruppati). In ordinata si riportano le frequenze. Il poligono di frequenza è la linea che si ottiene congiungendo con segmenti di retta i punti all’incrocio tra i valori (dati non raggruppati) o i punti medi (dati raggruppati) e le relative frequenze.
Le tabelle di frequenza per variabili qualitative
Nel caso di mutabili, le tabelle di frequenza includono tutte le possibili modalità di una variabile (es. Stato civile) e le frequenze con cui si presentano le varie modalità.
| Stato civile | Frequenza (f) |
|---|---|
| Celibe | 3 |
| Coniugato | 4 |
| Divorziato | 1 |
| Vedovo | 2 |
I grafici più utilizzati per le variabili qualitative sono il grafico a barre (colonne separate) e il grafico a torta.
Tabelle e rappresentazioni grafiche in SPSS
Sono disponibili nella finestra di dialogo «Frequenze» (selezionabile dal menu «Analizza», procedura «Statistiche Descrittive»).
Per ottenere le tabelle di frequenza
- Selezionare la variabile di interesse e spostarla nel menu delle variabili attive (es «esito_psi»).
- Cliccare su «OK».
Le percentuali cumulate sono le percentuali di un punteggio, più quelle di tutti i punteggi di ordine inferiore.
Per ottenere le rappresentazioni grafiche
- Cliccare sull’opzione «Grafici».
- Selezionare un tipo di grafico.
Recensioni
Posso dare 4 stelle a questi appunti di Psicometria che sono abbastanza ben strutturati. Gli appunti spiegano principalmente in questo caso le distribuzioni di frequenza e anche la tendenza centrale e la dispersione che non sono molto facili da studiare come argomenti in vista dell'esame stesso. Aiutano a sufficienza.
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