Discussione delle equazioni di un’affinità al variare di k

Complementi di matematica

Trasformazioni geometriche

Esercizi Svolti

• Discussione di un’affinità al variare di k.
• Quesiti sulla composizione delle trasformazioni.

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• Quesiti sulla composizione delle trasformazioni.

Problema

Per quale valore di k l’affinità di equazioni:

x' = 3x - 4kyy' = ¹⁄₂ x + 2y

lascia invariata la retta di equazione:

y = ¹⁄₂ x

Esistono valori di k per cui la trasformazione è un’isometria?

L’affinità deve lasciare invariata la retta di equazione y = ¹⁄₂ x, quindi è equivalente trasformare la retta con l’affinità data o con la sua inversa.

Trasformiamo la retta y' = ¹⁄₂ x' con le equazioni dell’affinità data.

¹⁄₂ x + 2y = ¹⁄₂ (3x - 4ky) - 2y + ²⁄₂ x = ³⁄₂ x - ¹⁄₂ (2 + k)y = x - y = ^x⁄_{2 + k}

Perché la retta sia unita i coefficienti angolari della retta iniziale e della retta trasformata devono essere uguali. Quindi:

1 = ¹⁄₂ + k2 = kk = 0.

Svolgiamo le equazioni dell’affinità che lascia invariata la retta di equazione y = ¹⁄₂ x.

x' = 3x - 4ky → x' = 3xy' = ¹⁄₂ x + 2y → y' = ¹⁄₂ x + 2y

k = 0

Scriviamo le condizioni affinché un’affinità sia un’isometria.

{3² + (¹⁄₂)² = 1}{³⁷⁄₄ = 1}

{(-4k)² + 2 = 1} → {16k² + 4 = 1}.

{3(-4k) + ¹⁄₂ = 0} → {-12k + 1 = 0}

Dalla prima e dalla seconda condizione si ricava che non esistono valori di k per cui l’affinità è un’isometria.