Discussione di un sistema lineare parametrico, studio di un determinante al variare del parametro k, in una matrice 3 x 3

Complementi di algebra

Sistemi, matrici, determinanti

Esercitazione n^o 9

Discussione di un sistema parametrico

Studiare il segno del determinante di una matrice di ordine tre al variare di un parametro.

Risoluzione del sistema

Risolvere il seguente sistema, discutendo al variare del parametro a:

{x - y = 1 - 3y
a - 3(ax + ay = 3)}

Condizioni: a ≠ 0, a ≠ 3, a ≠ ⁹/₂.

• A = 0: sistema impossibile.
• A = 3: sistema perde significato.
• A = ⁹/₂: sistema indeterminato.

Per a = 3 il sistema perde significato perché si annulla il denominatore della prima equazione.

Se a ≠ 3, possiamo moltiplicare entrambi i membri della prima equazione per a - 3:

(x-y)(a-3) = 1-3y 
→ ax-ay-3x+3y=1-3y 
→ (a-3)(x-(a-6))y=1.

Otteniamo dunque il sistema:

{(a-3)x-(a-6)y=1
(ax+ay=3)}

che risolviamo con il metodo di Cramer.

Determinante

D = |a-3   -(a-6)| = a(a-3) + a(a-6) = 2a²-9a = a(2a-9)

|a   a|

D_x = |1   -(a-6)| = a+3(a-6) = 4a-18=2(2a-9)

|3   a|

D_y = |a-3   1| = 3(a-3)-a=2a-9

|a   3|

Il sistema è determinato se D ≠ 0, cioè se:

a(2a-9) ≠ 0 → a ≠ 0 e a ≠ ⁹/₂.

Soluzione del sistema

x = _Dx/_D = _2(2a-9)/_a

y = _Dy/_D = _2a-9/_a = ¹/_a

e la soluzione del sistema è (2, ¹/_a).

Analisi dei casi

• Se a = 0: D = 0, D_x = -18, D_y = -9 → il sistema è impossibile.
• Se a = ⁹/₂: D = 0, D_x = 0, D_y = 0 → il sistema è indeterminato.

Sintesi

• a ≠ 0 e a ≠ 3 e a ≠ ⁹/₂: Sistema determinato con soluzione (²/_a, ¹/_a).
• a = 0: Sistema impossibile.
• a = 3: Sistema privo di significato.
• a = ⁹/₂: Sistema indeterminato.