Dinamica e Controllo di processo

M M M M 168

Variazione dei parametri Kp, τ e θ

Anche in questo caso sono stati calcolati i margini di guadagno e di fase al variare dei parametri del

processo. Le osservazioni sulla stabilità del sistema sono analoghe ai casi precedenti, ovvero le condizioni

che portano a maggior instabilità sono:

• Aumento del guadagno Kp;

• Diminuzione della costante di tempo τ;

• Aumento del ritardo θ

In presenza degli stessi errori utilizzati nei casi precedenti, con queste ultime due tecniche non è stata

rilevata alcuna instabilità. Si deduce che tali criteri di tuning sono robusti.

CONFRONTO TRA GLI ERRORI NEI VARI TUNING

Il tuning del regolatore è stato eseguito con i parametri: Kp=1; τ=1; θ=2. Si riportano in tabella gli

scostamenti dei margini di guadagno e di fase al variare dei valori dei parametri del processo.

Curva di reazione Curva di risposta Tuning per tentativi Tuning per via

analitica

Errore Errore Errore Errore Errore Errore Errore Errore

G P G P G P G P

M M M M M M M M

Kp·0,8 0,494 8,45 0,494 8,45 0,438 10,7 0,432 10,4

Kp 0 0 0 0 0 0 0 0

Kp·1,2 -0,329 -9,36 -0,329 * -9,36 * -0,292 -9,85 -0,288 -10,3

τ·0,8 -0,084 2,91 -0,084 * -2,91 * 0,008 2,83 -0,0190 2,79

τ 0 0 0 0 0 0 0 0

τ·1,2 0,0818 -2,53 0,0818 -2,53 -0,005 -2,38 0,0190 -2,33

θ·0,8 0,387 8,93 0,387 8,93 0,484 9,84 0,442 10,4

θ 0 0 0 0 0 0 0 0

θ·1,2 -0,272 -8,93 -0,272 * -8,93 * -0,308 -9,84 -0,292 -10,4

*Presenza di instabilità in CL 169

CODICE MATLAB

File fsolvelambda16.m:

function F=fsolvelambda16(x) %BCS lambda minimo per cui si ha Gm=1;

global Kp theta tau s

P=Kp*exp(-theta*s)/(tau*s+1);

taui=theta/2+tau;

Kc=1/Kp*(tau+theta/2/(x(1)+theta));

Kcpi=Kc*(1+1/(taui*s));

Ptot=P*Kcpi;

[Gmtot,Pmtot,wtot]=margin(Ptot);

F(1)=Gmtot-1;

end

File fsolve16.m

function F=fsolve16(X)

global Kp tau theta;

%X=[Kc,taui,phi,wsign,wstar]

Kc=X(1);taui=X(2);wsign=X(3);wstar=X(4);

Astar=Kp*Kc*(sin(theta*wstar)*(1+tau*taui*wstar^2)+cos(theta*wstar)*wstar*(tau-

taui))/((tau^2*wstar^2+1)*(-taui*wstar));

Bstar=Kp*Kc*(cos(-theta*wstar)*(tau*taui*wstar^2+1)+sin(-

theta*wstar)*wstar*(tau-taui))/((tau^2*wstar^2+1)*(-taui*wstar));

F(1)=1/Astar+1.75;

F(2)=tan(-pi)-Bstar/Astar;

%e' stata utilizzata la tan poiche' arctan ha codominio compreso tra pi/2 e -

pi/2;

Asign=Kp*Kc*(sin(theta*wsign)*(1+tau*taui*wsign^2)+cos(theta*wsign)*wsign*(tau-

taui))/((tau^2*wsign^2+1)*(-taui*wsign));

Bsign=Kp*Kc*(cos(-theta*wsign)*(tau*taui*wsign^2+1)+sin(-

theta*wsign)*wsign*(tau-taui))/((tau^2*wsign^2+1)*(-taui*wsign));

F(3)=tan(0.610865)-Bsign/Asign;

F(4)=sqrt(Asign^2+Bsign^2)-1;

end

File es16.m:

clear all;close all;clc;

global Kp theta tau s

s=tf('s');theta=2;tau=1;Kp=1;

% C&C; BCS.

taui=[theta*(30+3*theta/tau)/(9+20*theta/tau)

theta/2+tau

theta/2+tau

theta/2+tau];

Kc=1;

%Guadagno P vs PI

P=Kp*exp(-theta*s)/(tau*s+1);

[Kmp,Pm,w]=margin(P);

Km=Kmp;

for i=1:2

Kcpi=Kc*(1+1/(taui(i)*s));

Ptot=P*Kcpi; 170

[Kmtot,Pmtot,wtot]=margin(Ptot);

Km_tot(i)=Kmtot;

figure(1);nyquist(Ptot);hold on;

legend({'PI: tuning C&C','PI: tuning BCS'},'Location','best');

figure(2);bode(Ptot);hold on;

legend({'PI: tuning C&C','PI: tuning BCS'},'Location','best');

end

figure(3);nyquist(P);

legend({'regolatore P'},'Location','best');

figure(4);bode(P);

legend({'regolatore P'},'Location','best');

Kmp

Km_tot

%tuning curva di reazione vs curva di risposta

[lambda_1]=fsolve(@fsolvelambda16,0.9);

c=lambda_1/theta; %c=1.2784;

lambda=theta*[0.8 c 2*c];

% C&C; BCS.

Kc=[1/Kp*tau/theta*(0.9+theta/(12*tau))

1/Kp*(tau+theta/2/(lambda(1)+theta))

1/Kp*(tau+theta/2/(lambda(2)+theta))

1/Kp*(tau+theta/2/(lambda(3)+theta))];

for i=1:length(Kc)

Kcpi=Kc(i)*(1+1/(taui(i)*s));

Ptot=P*Kcpi;

[Gmtot,Pmtot,wtot]=margin(Ptot);

if Gmtot<1

i,kc=Kc(i)

warning('SISTEMA INSTABILE')

end

Gm_tot(i)=Gmtot;

Pm_tot(i)=Pmtot;

w_tot(i)=wtot;

figure(5);nyquist(Ptot); hold on;

figure(6);bode(Ptot); hold on;

end

legend({'PI: tuning C&C','PI:tuning BCS c=0.8','PI: tuning BCS c=1.2784','PI:

tuning BCS c=2*1.2784'},'Location','best');

figure(5);

legend({'PI: tuning C&C','PI:tuning BCS c=0.8','PI: tuning BCS c=1.2784','PI:

tuning BCS c=2*1.2784'},'Location','best');

Gm_tot

Pm_tot

w_tot

Km_tot(3)=Km_tot(2);

Km_tot(4)=Km_tot(2);

for i=1:length(Kc)

Km_tot(i)/Kc(i)-Gm_tot(i)

end

% il guadagno Gm da' un indice di quanto puo' esser variato il valore

% attuale di Kc rispetto a Km (guadagno globale del processo);

% in altri termini e' un parametro che identifica la stabilita' del

% regolatore e della tipologia di tuning per quel determinato processo;

%curva di reazione Kp span; 171

Kp=Kp*[0.8,1,1.2];Kc=1/Kp(2)*tau/theta*(0.9+theta/(12*tau));

taui1=theta*(30+3*theta/tau)/(9+20*theta/tau);

Kcpi=Kc*(1+1/(taui1*s));

for i=1:length(Kp)

P=Kp(i)*exp(-theta*s)/(tau*s+1);

Ptot=P*Kcpi;

[Gmtot1,Pmtot1,wtot1]=margin(Ptot);

if Gmtot1<1

i,kp=Kp(i)

warning('SISTEMA INSTABILE')

end

e_Gm_Kp(i)=Gmtot1-Gm_tot(1);

e_Pm_Kp(i)=Pmtot1-Pm_tot(1);

end

e_Gm_Kp

e_Pm_Kp

% tau span

Kp1=1;tau=tau*[0.8,1,1.2]; tau1=1;

for i=1:length(tau)

P=Kp1*exp(-theta*s)/(tau(i)*s+1);

Ptot=P*Kcpi;

[Gmtot1,Pmtot1,wtot1]=margin(Ptot);

if Gmtot1<1

i,TAU=tau(i)

warning('SISTEMA INSTABILE')

end

e_Gm_tau(i)=Gmtot1-Gm_tot(1);

e_Pm_tau(i)=Pmtot1-Pm_tot(1);

end

e_Gm_tau

e_Pm_tau

% theta span

theta=theta*[0.8,1,1.2];

for i=1:length(theta)

P=Kp1*exp(-theta(i)*s)/(tau1*s+1);

Ptot=P*Kcpi;

[Gmtot1,Pmtot1,wtot1]=margin(Ptot);

if Gmtot1<1

i,THETA=theta(i)

warning('SISTEMA INSTABILE')

end

e_Gm_theta(i)=Gmtot1-Gm_tot(1);

e_Pm_theta(i)=Pmtot1-Pm_tot(1);

end

e_Gm_theta

e_Pm_theta

%curva di risposta Kp span;

theta1=2; lambda1=theta1*c;

Kp=Kp1*[0.8,1,1.2]; taui1=theta1/2+tau1;

Kc=1/Kp1*(tau1+theta1/2/(lambda1+theta1));

Kcpi=Kc*(1+1/(taui1*s));

for i=1:length(Kp)

P=Kp(i)*exp(-theta1*s)/(tau1*s+1); 172

Ptot=P*Kcpi;

[Gmtot1,Pmtot1,wtot1]=margin(Ptot);

if Gmtot1<1

i,kp=Kp(i)

warning('SISTEMA INSTABILE')

end

e_Gm_Kp(i)=Gmtot1-Gm_tot(3);

e_Pm_Kp(i)=Pmtot1-Pm_tot(3);

end

e_Gm_Kp

e_Pm_Kp

% tau span

tau=tau1*[0.8,1,1.2];

for i=1:length(tau)

P=Kp1*exp(-theta1*s)/(tau(i)*s+1);

Ptot=P*Kcpi;

[Gmtot1,Pmtot1,wtot1]=margin(Ptot);

if Gmtot1<1

i,TAU=tau(i)

warning('SISTEMA INSTABILE')

end

e_Gm_tau(i)=Gmtot1-Gm_tot(3);

e_Pm_tau(i)=Pmtot1-Pm_tot(3);

end

e_Gm_tau

e_Pm_tau

% theta span

theta=theta1*[0.8,1,1.2];

for i=1:length(theta)

P=Kp1*exp(-theta(i)*s)/(tau1*s+1);

Ptot=P*Kcpi;

[Gmtot1,Pmtot1,wtot1]=margin(Ptot);

if Gmtot1<1

i,THETA=theta(i)

warning('SISTEMA INSTABILE')

end

e_Gm_theta(i)=Gmtot1-Gm_tot(3);

e_Pm_theta(i)=Pmtot1-Pm_tot(3);

end

e_Gm_theta

e_Pm_theta

File es16_b.m:

clear all;close all;clc;

global Kp tau theta;

s=tf('s');theta=2;tau=1;Kp=1;

t=linspace(0,30,301);

%tuning per tentativi

x=fsolve(@fsolve16,[1 1 0.5 0.5]);

%x=[Kc,taui,wsign,wstar]

taui=x(2); Kc=x(1);

Kcpi=Kc*(1+1/(taui*s)); 173

P=Kp*exp(-theta*s)/(tau*s+1);

Ptot=P*Kcpi;

figure(1);bode(Ptot); hold on;

figure(2);nyquist(Ptot); hold on;

[Gm,Pm,wstar,wsign]=margin(Ptot)

Y=Ptot/(1+Ptot);y=step(Y,t);

figure(3);plot(t,y);hold on;

% tentativi Kp span;

Kp=Kp*[0.8,1,1.2];Kp1=1;

taui1=x(2);

for i=1:length(Kp)

P=Kp(i)*exp(-theta*s)/(tau*s+1);

Ptot=P*Kcpi;

[Gmtot1,Pmtot1,wtot1]=margin(Ptot);

if Gmtot1<1

i,kp=Kp(i)

warning('SISTEMA INSTABILE')

end

e_Gm_Kp(i)=Gmtot1-Gm;

e_Pm_Kp(i)=Pmtot1-Pm;

end

e_Gm_Kp

e_Pm_Kp

% tau span

tau=tau*[0.8,1,1.2];

for i=1:length(tau)

P=Kp1*exp(-theta*s)/(tau(i)*s+1);

Ptot=P*Kcpi;

[Gmtot1,Pmtot1,wtot1]=margin(Ptot);

if Gmtot1<1

i,TAU=tau(i)

warning('SISTEMA INSTABILE')

end

e_Gm_tau(i)=Gmtot1-Gm;

e_Pm_tau(i)=Pmtot1-Pm;

end

e_Gm_tau

e_Pm_tau

% theta span

theta=theta*[0.8,1,1.2];tau1=1;

for i=1:length(theta)

P=Kp1*exp(-theta(i)*s)/(tau1*s+1);

Ptot=P*Kcpi;

[Gmtot1,Pmtot1,wtot1]=margin(Ptot);

if Gmtot1<1

i,THETA=theta(i)

warning('SISTEMA INSTABILE')

end

e_Gm_theta(i)=Gmtot1-Gm;

e_Pm_theta(i)=Pmtot1-Pm;

end

e_Gm_theta

e_Pm_theta 174

%tuning con assegnazione analitica HO

theta1=2;

Gm=1.75;Pm=0.610865; %rad;

wa=(Gm*Pm+pi/2*Gm*(Gm-1))/((Gm^2-1)*theta1);

Kc=wa*tau1/(Gm*Kp1);

taui=1/(2*wa-4*wa^2*theta1/pi+1/tau1);

Kcpi=Kc*(1+1/(taui*s));

P=Kp1*exp(-theta1*s)/(tau1*s+1);

Ptot=P*Kcpi;

figure(1);bode(Ptot);

legend({'tentativi con "Fsolve"','Assegnazione analitica'},'Location','best');

figure(2);nyquist(Ptot);

legend({'tentativi con "Fsolve"','Assegnazione analitica'},'Location','best');

[Gm1,Pm1,wstar1,wsign1]=margin(Ptot)

Y=Ptot/(1+Ptot);y=step(Y,t);

figure(3);plot(t,y);

xlabel('tempo');ylabel('y');

title('Risposta con ingresso a gradino, Tentativi vs Assegnazione analitica');

legend({'Tentativi','Assegnazione analitica'},'Location','best');

% HO Kp span;

Kp=Kp1*[0.8,1,1.2];

taui1=1/(2*wa-4*wa^2*theta1/pi+1/tau1);

for i=1:length(Kp)

P=Kp(i)*exp(-theta1*s)/(tau1*s+1);

Ptot=P*Kcpi;

[Gmtot1,Pmtot1,wtot1]=margin(Ptot);

if Gmtot1<1

i,kp=Kp(i)

warning('SISTEMA INSTABILE')

end

e_Gm_Kp(i)=Gmtot1-Gm1;

e_Pm_Kp(i)=Pmtot1-Pm1;

end

e_Gm_Kp

e_Pm_Kp

% tau span

tau=tau1*[0.8,1,1.2];

for i=1:length(tau)

P=Kp1*exp(-theta1*s)/(tau(i)*s+1);

Ptot=P*Kcpi;

[Gmtot1,Pmtot1,wtot1]=margin(Ptot);

if Gmtot1<1

i,TAU=tau(i)

warning('SISTEMA INSTABILE')

end

e_Gm_tau(i)=Gmtot1-Gm1;

e_Pm_tau(i)=Pmtot1-Pm1;

end

e_Gm_tau

e_Pm_tau

% theta span

theta=theta1*[0.8,1,1.2];

for i=1:length(theta) 175

P=Kp1*exp(-theta(i)*s)/(tau1*s+1);

Ptot=P*Kcpi;

[Gmtot1,Pmtot1,wto