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Covarianza, correlazione e retta di regres- sione Pag. 1
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Covarianza, correlazione e retta di regressione

La rappresentazione grafica della distribuzione unitaria doppia di due variabili quantitative X e Y si chiama diagramma a dispersione (o scatterplot) e associa ad ogni profilo riga (x, y) un punto di ascissa x e ordinata y. La covarianza tra X e Y, indicata con σXY, misura il grado di dipendenza lineare tra le due variabili. Si ha che: - σ ≤ 0 quando i punti del diagramma a dispersione giacciono su una retta con pendenza negativa - σ ≥ 0 quando i punti del diagramma a dispersione giacciono su una retta con pendenza positiva Standardizzando la covarianza si trova l'indice di correlazione lineare di Bravais-Pearson r: r = σXY / (σX * σY) È sempre possibileinterpolare una distribuzione unitaria con una retta y = a + bx che minimizza la somma della differenza (residuo) al quadrato tra ipunti (x , y) osservati e le loro proiezioni sulla retta (x , a + bx): ∑ (yi - a - bxi)2 = ei Tale retta, detta di regressione o dei minimi quadrati, è univocamente individuata dai coefficienti: b̂ = σXY / σX2 â = ȳ - b̂x̄ Dall’espressione di â si scopre che la retta di regressione passa per il baricentro (x̄, ȳ) della nuvola dei punti. Inoltre, poichè: ∑ ei = 0 allora: ∑ ei2 = σ2 è la varianza dei residui dalla retta di regressione. Poichè: σ2 = σr2 + σe2 si ottiene che: - la bontà di adattamento dei punti alla retta di regressione può essere facilmente calcolata come: ∑ (1 - r2) = nσe2 - la varianza totale di Y può essere rappresentata come: σ2 = σY2

come somma2σ XY22 += σσ eY 2σX2della varianza dei residui (anche detta varianza residua) e la varianzadelle proiezioni dei punti osservati sulla retta2σ XY2 2σ = σ = 2Ŷ â+b̂x σXanche detta varianza spiegata dalla retta di regressione.

Nel caso i dati siano disponibili attraverso una distribuzione di fre-quenze assolute si ha:∑ ∑ ∑ ∑H K H K1 1− − −σ = (x x̄)(y ȳ)n = x y n x̄ȳXY h k hk h k hkn nh=1 k=1 h=1 k=1

2 Esercizi

1. Data la seguente distribuzione doppia

X Y

8 -9.5

11 0.446

-6.29 -5.579

-7.607 -8.542

-0.505 -4.523

-3.35 10

-10.56

Dopo aver disegnato il diagramma a dispersione dei punti, calco-lare

(a) la covarianza tra X e Y

(b) la correlazione tra X e Y

(c) intercetta e coefficiente angolare della retta di regressione y =a + bx

(d) la proiezione di Y corrispondente a x = 4.1

(e) la somma dei residui al quadrato e la varianza dei residui

(f) la varianza spiegata dalla retta di regressione

(g)

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Verificare la decomposizione della varianza totale di y nella somma di varianza dei residui e varianza spiegata.

Dettagli
Publisher
vipviper
A.A. 2010-2011
4 pagine
SSD Scienze economiche e statistiche SECS-S/01 Statistica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher vipviper di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Statistica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi Roma Tre o del prof Lagona Francesco.