Costruzione di Macchine T - raccolta domande frequenti con risposta in preparazione all'orale prof. Dario Croccolo

I quattro casi di sollecitazione semplice nelle travi

1. Sforzo normale

F = σ_x dA = ∫_A E/L u dA → σ_x = E/A

Variazione di lunghezza della trave

Rigidità assiale

K = F/ΔL = EA/L

Rigidità in serie: stessa forza attraversa tutti gli elementi

k_eq = 1/(1/k₁ + 1/k₂) = k₁k₂/(k₁+k₂)

ΔL = ΔL₁ + ΔL₂

Sistema maggiormente influenzato dall'elemento più cedevole

Rigidità in parallelo: elementi caratterizzati dello stesso allungamento

ΔS₁ = ΔS₂ = ΔS

F = F₁ + F₂

K_eq = k₁ + k₂

ΔS₁ = F₁/k₁ = F₂/k₂

F₁ = F₂k₁/k₂ = (F-F₁)k₁/k₂

F₁ = F(k₁/(k₁+k₂))

2) FLESSIONE SEMPLICE

La trave si inflette e l'asse geometrico rettilinear si trasforma in una linea curva.

Complessivamente la trave non è né tesa né compressa, infatti:

• le fibre superiori sono compresse
• le fibre inferiori sono tese

Le fibre centrali non si allungano e non si accorciano e formano l'asse neutro.

Consideriamo l'allungamento delle generica fibra s-s

ε_x = ^ss-mm/_mm = ^{(r+y)dφ - rdφ}/_{r dφ} = ^y/_r

σ_x = Eε_x = ^E/_r y

Tensioni proporzionali alla distanza y dall'asse neutro

M_g = ∫_A σ_x y dA = ∫_A ^E/_r y² dA = ^E/_r I_zξ

σ_x = ^M_g/_Izξ y

ε_x = ^σ_x/_E = ^y/_r = ^M_g/_{Izξ E}

→ ¹/_r = ^M_g/_Izξ E

1/r = -d²y/dx²

d²y/dx² = - ^M_g/_{Izξ E}

Equazione differenziale delle deforma:

(vedi instabilità per CDP)

Sulle sezioni longitudinali per τ uguali in modulo opposte in direzione

τ_cS₁ = τ_c S₂ = costante

dA = s dℓ

M_t = ∫ τ dA = ∮ τ s dℓ = τ_c ∮ s dℓ

τ = M_t / S2A_u BRECHT

A_u Area utile indica l'area racchiusa dalla linea media

Contrariamente al caso delle sezioni aperte nelle sezioni chiuse la τ è inversamente proporzionale allo spessore s

Cerchiamo una espressione per

Lavoro di deformazione esterno (dato da M_t) deve essere uguale al lavoro di deformazione interno (dato dalla resistenza del materiale)

Ricordiamo che

Supponiamo trave di lunghezza unitaria trasformando l'integrale di volume ìn integrale di area

Da cui

SECONDA FORMULA DI BREDT

TENSIONI E CERCHI DI MOHR

Consideriamo un punto all'interno di un materiale sollecitato

in stato piano di tensione

σ = σx cos²(α) + σy sin²(α) + τxy sin(2α)

τ = 1/2 (σx - σy) sin(2α) - τxy cos(2α)

σ indica la giacitura → Esiste un valore di α per cui σ diventa massima

• d/dα cos²(α) = d/dα (cos(α)∙cos(α)) = 2 sin(α) cos(α)
• d/dα sin²(α) = d/dα (sin(α)∙sin(α)) = 2 sin(α) cos(α)
• d/dα sin(2α) = 2 cos(2α)

d/dα σ = -2 sin(α) cos(α) σx + 2 sin(α) cos(α) σy + 2 cos(2α) τxy = 0

(σx - σy) sin(2α) = 2 τxy cos(2α)

tan(2α) = 2 τxy / (σx - σy)

Abbiamo 2 valori di α (DIREZIONI PRINCIPALI)

Nelle direzioni principali la σa assume valore

massimo (σ₁) e minimo (σ₂) mentre la τ scompare

Sostituendo con la formula di bisezione otteniamo

le coordinate parametrice di una circonferenza

σ = σ₁ cos²(α) + σ₂ sin²(α)

τ = 1/2 (σ₁ - σ₂) sin(2α)

_cmax₁ R

τ_max = R = (σ₁ - σ₂) / 2

Collegamenti Bullonati

Considerazione Coppia di Serraggio/Tiro

Cerchiamo il valore del momento M necessario a sollevare il peso F_tr

F_u = F_mμ_R cos(α) + F_mcos(α) - F_mμ_R sin(α)

F_a = F_mcos(α.m) cos(λ) - F_mμ_R sin(α)

F_m = F_a / (cos(α.m) cos(λ) - μ_Rsin(α))

F_u = F_tr cos(α.m)sin(λ) + μ_Rcos(λ) / cos(α.m)cos(λ) - μ_Rsin(α)

M_sce = F_u d_m / 2

M_abb = d_mF_ar / 2 cos(α.m) sin(λ) + μ_R cos(λ) / cos(α.m) cos(λ) + μ_R sin(α)

Vite Autobloccante

→ Se devo applicare M torcente nella direzione del moto per produrre un abbassamento del carico

Vite Retrogoda

→ Se devo applicare M torcente nella direzione opposta al moto per mettere in moto il meccanismo

Condizione di moto retrogrado spontaneo: -cos(α.m) sin(λ) + μ_R cos(λ) < 0

μ_R < cos(α.m) tan(λ)

Una coefficiente attrito tra i filetti