Corrente di spostamento, problemi svolti

Formula della corrente di spostamento e del flusso del campo elettrico

E! Scriviamo la formula della corrente di spostamento: quella del flusso del campo elettrico: Φ ⋅ ⋅ 8 >6⃗ΦM 8N >& ⋅ 8 ' ⋅>! ! ! Ora sostituiamo nella formula di : 8 >⋅! 0,05 ( >8,85 ⋅ 10 ⋅ 5,0 ⋅ 10 / ⋅ 2,2125 ⋅ 10%-> E %E1,0 ⋅ 10 (%.2,2 ⋅ 10 %E 6⃗ΦM 8,76 ⋅ 10 (/ !N . > P Il flusso elettrico attraverso una determinata area di un dielettrico è . La12,9 Q ! 26,1 (corrente di spostamento attraverso quest’area è pari a all’istante . Calcola lacostante dielettrica assoluta del dielettrico. IR ⋅ HI S /MT ⋅ UFG, NL%HH G GSvolgimento Nota la corrente di spostamento ed il flusso, possiamo calcolare il valore della costante:6⃗ΦM N →! 6⃗ΦM N!Pag. 7 di 26 Abbiamo l’espressione del flusso in funzione del tempo, ne facciamo la derivata:6⃗ΦM 8,76 ⋅ 10 (/ !N . > P 4! ⋅ 8,76 ⋅ 10 (/. . >! !! 26,1 ( 26,1 ⋅ 10

%.Valutiamo al tempo6⃗ΦM NV 4 26,1 ⋅ 10 ⋅ 8,76 ⋅ 10 (/ 0.62299 /(%. . . >! WX> ,- YEd ora la costante assoluta: 6⃗ΦM N!12,9 ⋅ 10 %->0.62299 Z [( >2,07 ⋅ 10 %-- \( >Un condensatore a facce piane parallele è caricatocome in figura. Le armature circolari hanno raggio 4,00cm e, in un dato istante, la corrente di conduzione nelfilo è 0,280 A. Calcola:

1. la densità della corrente di spostamentonell’aria, nello spazio compreso fra learmature;
2. il valore della rapidità di variazione del campoelettrico;
3. il campo magnetico indotto fra le armaturealla distanza di 2,00 cm dall’asse;
4. il campo magnetico indotto fra le armaturealla distanza di 1,00 cm dall’asse.

Svolgimento

1. La densità della corrente di spostamento nell’’aria, nello spazio compreso fra le armature è datada: ]0,280 )] 55,7<^ < 0,04( (> > >
2. Il valore della rapidità di variazione del

campo elettrico: 66⃗[Φ Z1] →] ⋅ !0Pag. 8 di 261 EA] = ⋅ !0 Z [55,7 ( & '] 2 = 6,29 ⋅ 10 12j = → = (⋅8,85 ⋅ 10 /\(= −12 2 2b ! !c) Il campo magnetico indotto fra le armature alla distanza di 2,00 cm dall’assed) Il campo magnetico indotto fra le armature alla distanza di 1,00 cm dall’asse3 =Applichiamo la legge di Ampère Maxwell al percorso chiuso di raggio concentrico all’asse delcondensatore: 8⃗6⃗4 5 ⋅ = +9Tra le armature c’è solo corrente di spostamento: 6⃗Φ8⃗ 8⃗6⃗ 6⃗4 5 ⋅ = →4 5 ⋅ = !9 93La circuitazione di B lungo vale: 8⃗6⃗ ⋅ = 5 ⋅ 2<=4 59e quindi: 6⃗Φ1 5 ⋅ 2<= = !dove il flusso di E attraverso la superficie di raggio r, è:Φ = ⋅ = ⋅ <= >Esostituiamo nella (1): 5 ⋅ 2<= = <= >!E5 = = ⋅ =2 !EIl valore di B richiesto, nei due casi, è:⋅ 0,02( = ⋅ 6,29 ⋅ 10

& ' ⋅ 0,02( = 0,70 /->E 2 ! 2 (⋅5 = = ⋅ ==d E2 ! ⋅ 0,01( = ⋅ 6,29 ⋅ 10 & ' ⋅ 0,01( = 0,35 /->2 ! 2 (⋅ 3 0( >Supponi che le armature del condensatore del problema precedente abbiamo una superficie di esiano separate da uno strato di dielettrico dello spessore di 2,50 mm che riempie completamente lospazio fra esse. Il dielettrico ha costante relativa pari a 4,70. In un determinato istante la differenza dipotenziale tra le armature è di 120 V e la corrente di carica è pari a 6,00 mA. In questo istante calcola:Pag. 9 di 26a) la carica presente su ogni armatura;efeWb) il valore di ;c) la corrente di spostamento nel dielettrico. J, hh ⋅ HI S; i j, IIUK; k j, II UKLFg %HISvolgimentoLa carica presente su ogni armatura è data da: l= Δl= Δper la presenza del dielettrico:l= Δn 10 3,0 ⋅ 10 (%-> > %P >l = 4,70 ⋅ ⋅ 120 V = 5,99 ⋅ 10 C"8,85 # %-\( 2,5

Il tuo compito è formattare il testo fornito utilizzando tag html. ATTENZIONE: non modificare il testo in altro modo, NON aggiungere commenti, NON utilizzare tag h1; ⋅ 10 (> %.efeW è il valore istantaneo della corrente: Il valore di p = 6.00 (!La corrente di spostamento nel dielettrico è pari a quella di carica:= 6,00 (Considera un condensatore a facce piane e parallele le cui armature sono nel vuoto, hanno una5,00 0( 2,00 ((.> qsuperficie di e sono separate da una distanza di La corrente di carica ha un valore1,80 ( ! = 0costante di e all’istante la carica sulle armature è nulla.a) Calcola la carica sulle armature, il campo elettrico e la differenza di potenziale fra le armature! = 0,005all’istante .! = 0,005b) Determina all’istante la rapidità di variazione del campo elettrico; questo valorevaria nel tempo o rimane costante?c) Calcola la densità di corrente di spostamento fra le armature e ricava da questa il valore dellacorrente di spostamento.Svolgimentoa) La carica Q sulle armature: l= !q !l= qIntegrando: Pag. 10 di 26r l= r !ql ! = ! +lq! = 00 → lal tempo l ! !qAl tempo t ⋅ 10 (> %.efeW è il valore istantaneo della corrente:
Il valore di p = 6.00 (!La corrente di spostamento nel dielettrico è pari a quella di carica:= 6,00 (Considera un condensatore a facce piane e parallele le cui armature sono nel vuoto, hanno una5,00 0( 2,00 ((.> qsuperficie di e sono separate da una distanza di La corrente di carica ha un valore1,80 ( ! = 0costante di e all’istante la carica sulle armature è nulla.
a) Calcola la carica sulle armature, il campo elettrico e la differenza di potenziale fra le armature! = 0,005all’istante .! = 0,005
b) Determina all’istante la rapidità di variazione del campo elettrico; questo valorevaria nel tempo o rimane costante?
c) Calcola la densità di corrente di spostamento fra le armature e ricava da questa il valore dellacorrente di spostamento.
Svolgimento
a) La carica Q sulle armature: l= !q !l= qIntegrando: Pag. 10 di 26r l= r !ql ! = ! +lq! = 00 → lal tempo l ! !qAl tempo t

richiesto: ⋅ 5,0 ⋅ 10l 1,80 ⋅ 10 %. %Bl 9,00 ⋅ 10 %-Il campo elettrico E tra le armature: σ Qε ε A9,00 ⋅ 10 C%-E 203389,8 V/mC10 %-> > ' ⋅ 5,00 ⋅ 10 m&8,85 ⋅ %P >Nm >E 2,03 ⋅ 10 V/mELa differenza di potenziale tra le armature:Δ ⋅ 20,3 ⋅ 10 & ' ⋅ 2,00 ⋅ 10 ( 407E %.(! 0,005b) Determina all’istante la rapidità di variazione del campo elettrico; questo valorevaria nel tempo o rimane costante? Q !qε A ε A!qε Aderiviamo rispetto al tempo: q& !'! ε A! q! ε AI termini sono tutti costanti, la velocità di variazione non aumenta è costante.c) Calcola la densità di corrente di spostamento fra le armature e ricava da questa il valore dellacorrente di spostamento. ]La densità di corrente di spostamento tra le armature è e vale:6⃗Φ !]Φ:esplicitiamo il flusso ] ⋅ ⋅!Pag.

11 di 26per quanto visto al punto b): ] = = q! ε Aovvero: 1,80 · 10 %.] = = = 3,6 /(q >A 5,00 · 10 (%P >=] ·= · → =q qLa corrente di spostamento è numericamente uguale alla corrente di conduzione.5. Flusso del campo elettrico e corrente di spostamento in un circuito RC^ = 150 w, = 25Un circuito in serie è composto da una una batteria , un interruttore e un= 1,41 ·condensatore a facce piane parallele, inizialmente scarico, le cui armature hanno un’area10 ( 5,0 (( ! =%. > e sono poste a una distanza di l’una dall’altra. L’interruttore è chiuso all’istante0 . Calcola:a) Il valore massimo del flusso del campo elettrico e il valore massimo della corrente dispostamento attraverso il condensatore, dopo la chiusura del circuito;! = 0,50 xb) Il flusso del campo elettrico e la corrente di spostamento all’istante .Svolgimento ! > 0,a) Dopo la chiusura dell’interruttore la corrente

La corrente elettrica fluisce al condensatore, tra le cui armature la differenza di potenziale aumenta con legge esponenziale: V = -zM1 N%W/{cosi come la carica q: p = -zM1 N%W/{Il flusso del campo elettrico E, attraverso le due armature, è massimo quando l'intensità del campo è massima: Φ = ·|}~ Y·€Pag. 12 di 26= Y·€Y·€La differenza di potenziale (ddp) massima tra le armature è quella fornita dal generatore= = 25Y·€ ' = ^Il tempo necessario per raggiungere tale valore è funzione del tempo caratteristico: Ricordiamo che il tempo caratteristico è definito come il tempo in cui il condensatore raggiunge il 63,2%Y·€ della sua carica massima e quindi anche di . Per completare del tutto la carica, si assume che il! ≥ 4', tempo necessario sia infatti osservando il grafico della funzione q(t) rappresentato in figura, la p = carica sul condensatore è nulla.

All'istante t la funzione V(t) ha un asintoto orizzontale per q in quanto il valore di q non cambia più. Praticamente, a partire da un tempo superiore a t, il valore di V(t) rimane costante.

La funzione V(t) ha lo stesso andamento: V(t) = -zM1N%W/{Il flusso massimo vale: Φ = ·|}~ Y·€25Φ = · = · 1,41 · 10 ( = 7,1 \( /%> > >5 · 10 (|}~ %. L'intensità della corrente, viceversa, è massima all'istante iniziale e il suo andamento è decrescente con andamento esponenziale. Il valore massimo della corrente di spostamento è pari al valore della corrente di conduzione. I = ·z%W/{25= =^ 150Ω= 0,17

b) Utilizziamo le relazioni trovate al punto a), per determinare il flusso del campo elettrico e la corrente di spostamento all'istante t. Φ(t) = -z·M1N%W/{Pag. 13 di 26· ^calcoliamo il

valore della costante caratteristica: 0†x ⋅ 2,5 ⋅ 10 %->‚ 150Ω ⋅ 2,5 ⋅ 10 3,75 ⋅ 10%-> %-‡ˆW ,E⋅- Pper cui: { .,BE⋅- .‡‰ ! 0,5 ⋅ 10 %ŠLa differenza di potenziale al tempo è: P%25 &1 c z ' 18,4.Il valore del flusso è: 1,41 ⋅ 10 (%. >Φ t 18,4 ⋅ 5,2 \( />5 ⋅ 10 (%.La corrente di spostamento allo stesso istante vale:! ⋅ z %W/{0,17 ⋅ z %P/.0,044244 (7. Come varia il campo elettricoUn campo elettrico ha verso entrante nel piano del foglio e occupa una regione^ 1,0 (.cilindrica di raggio La carica elettrica nella reg