Corrente elettrica

Correnti elettriche → Presenza di cariche elettriche dovute ad un campo elettrico

Cariche libere di muoversi

Campo elettrico che mette in moto le cariche

ΔQ / Δt

dR / dt = i

definizione di corrente

j = ΔQ / (Δt ΔΣ)

densità di corrente

Senza campo: Σ J_i = 0

Con campo: Σ J_i < > 0

Ho sempre un moto disordinato anche in assenza di campo

M_e = N_e / V

i = dq / dt

V_e (c_st dq_e) = Σ cos Θ dq

di = dq + (±e_e) m^-1 N_dt Σ cos Θ

η = (±e) m^-1 N_dt_dq

dR = da + (±e_e) m^-1 N_dt Σ

J_γ =

Σ⌊ dE μ

densità di corrente

C/^C l

C / 2r

carica su unità di superficie e di tempo

Φ (∅) = p ΅F; ē dΣ i

flusso attraverso superficie

[C/S&#$8233;=.S]

per i semiconduttori

In generale:

^Ε = J_μ

Correnti elettriche

Pensare ai cariche elettriche dovute ad un campo elettrico

Cariche libere di muoversi

Campo elettrico che mette in moto le cariche

_Δq/_Δt ^dR/_dt = i

definizione di corrente

j = _Δq/_{Δt ΔΣ}

densità di corrente

Senza campo

Σ... = 0

Con campo Σ... ≠ 0

Ho sempre un moto disordinato anche in assenza di campo

m = _Np / N_tot

i = dq / dt

V^e (mod e) Σ cos θ

dm dV... = E n

di = dq di... Σ cos θ

j = (±e) n m V_m

densità di corrente

C / T

carica su unità di superficie e di tempo

J = (±e) n m V_m

^{conduttore elettrico}

Φ(^⇀) = ... m dΣ

In generale, ̅ = ̅ₑ + ̅ₚ

(graph)

Esempio 5.1:

CluΣ = A mm²i = 8 Aj = 8.5 10²⁸ m^-3

i = ∫_S J_s n dΣ = j ∫_S dΣ = jΣ = n (-e) ∫_S v_d dΣi = n e ∫_S v_d dΣ = v_d ∫_S dΣ = i = 0.15 mm/s

Esempio:

flusso stazionario: corrente che entra = corrente che esce

Modello classico di Drude

• F = e E
• il moto dovrebbe essere uniformemente accelerato
• devo tenere conto degli urti con il reticolo cristallino

τ_e = tempo medio tra un urto e l'altro

v_i² = 1/3 v_t² comportamento casuale, sommatorie che vanno

Induce urti la carica sente il campo attraverso una forza: F = e E

Δv = e E τ_e / ma = e E τ_eΣ = e/m= (Σ_i e E τ_e) / N∫ e^J₀ = e/3Σ = j (e E τ_e) / m

v_d^t = e E τ_e / m

j = (-e) n Σ v_d^t = - e/m τ_e n E

σ = m e τ_e / eσ = j / 5 E

5 = conducibilità elettrica legge di Ohm

V = V_b - V_a = ∫E·ds → V = Eℓ

ρ ≡ resistività

j = i / Σ = 1 / ρ V / ℓ

i = j Σ = 1 / ρ ΣV / ℓ

→ V = Ri

R = ρ ℓ / Σ

la R dipende dalla resistività del filo e dalla geometria

dW_e = dq V

V = iR

dW_τ = G dt = R i²dt

→ W_τ = Ri²t

il lavoro finisce in calore

→ effetto Joule

R = 0 poi superconduttore

Esempio 5.3:

σ_f

Cu

ρ_o = 1,6 x 10^-8 Ω m

j = 2 A / m²

E ?

m = 8,5·10^-8e m^-3

λ, ℓ, τ, v = 200 Å

y parametro evocato agli atomi (distanza media tra atomi)

Δt = 1000 Km/s distanza media tra urti

E = ρ_o j ≈ 3,2 · 10^-8 V/m

σ_f ≠ m e2 τ / ρ

j = (n e²) / m E

v = m / (ρ / ρ_o) n e²

ν_w = m / (ρ / ρ_o) n e² ≤ 2,5·10^-14 s

resistenza [Ω]

V = ∫ E . dl

V_a - V_b = - ∫_a^b E . ds = 0 → circuitazione nulla in un circuito chiuso (E conservativo)

campo elettrico non conservativo all'interno del generatore perché nel generatore avvengono processi chimici di accumulazione e diverso da zero

V = iR

V₁ = V_R1 = i R₁

V₂ = V_R - V₁ = i (R₂ + R₁)

R = R₁ + R₂ in serie

R_s = ∑ R_i

i = cost in serie

La corrente si conserva

V₁ = R₁

i*R = i₁*R₁ = i₁*R₂ → 1 / R = 1 / R₁ + 1 / R₂

R = 1 / (1 / R₁ + 1 / R₂)

V = costante in parallelo

Esempio 5.1:

V = 1f, a V

R = R₁ R₂ R₃

3R₂

R = R₁ R₂ R₃ = 1 / (1 / 3R₂) = 2R₂ = 3R₂ = 3R₂ / (3R₂ + R₁)

circuito RC

Quando chiudo il circuito, le generatore carica il condensatore che prima era scarico

ε - Ri + q/C

• dq/dt
• R dq/dt
• Ri
• q/C

• R dq/dt = q/C
• R (dq/dt) = ε - q/C
• RC dq/dt = εC - q
• dq/dt = 1/RC (εC - q)

• dq/(q - εC) = -dt/RC
• ln (q - εC) - ln (-εC)
• ln (q/εC) = t
• -εC (1 - e^-1/RC)

• q - εC = -εCe^-t/RC
• q = εC (1 - e^-t/RC)

Per t = 0, q = 0

q/εC

5% → t

condensatore carico

ε

C

Ri - q/C

i = dq/dt = ε/R e^-t/RC

• ε/R e^-t/RC
• R

i = ε/R

(i = V/R)

ε/R

• t

dW = qdq

W = qq = q = q

|W| = qC

W = Cmetto W

L’altra metà: valore dissipato in effetto Joule

|W| = C

Scarica del condensatore

q = 0 t = t ∞

q(t=0) q(t)

V = cost

i = dq/dt q = CV V = q/C

Carica che diminuisce

q = V_R q = Ri dq/dt

dq = dt

t

q(t) = qo e^t

e = R

dqo = R e

Corrente di spostamento

i = dq/dt

i_s = d(Vd)/dt

i_s = d(CV)

C =

i_s = E B

Ogni volta che un campo cambia nel tempo, è come se ci fosse una corrente addizionale ma non legata ai trasporti di cariche

Leggi di Kirchhoff

maglia circuito chiuso

Ε = V_R + R·i

In una maglia:

Σ E_i − Σ R_i·i_i

I^a legge di Kirchhoff

corrente con il segno per una unica maglia

In un nodo la corrente entrante è uguale alla corrente uscente

In un nodo Σ i_i = 0

II^a legge di Kirchhoff legge della conservazione della carica

Ogni generatore ha in realtà una resistenza interna r_i

Σ = 1 − m_x e^λ τ

σ_i = ρ^!(τ)

dipende dalla temperatura maggiore τ₁, minore τ₂

Esercizio 5.2

• a_o = 1 × 10⁻² m
• ol = 2,5 mm
• alt = 2,5 mm
• d_i = 2,0 mm
• e = ?
• V = ?
• β = ?

Σ = π (d/l) / 2

j = i / Σ = 5 A / mm²

E = i / (&uperp;&uop; s)_c = 0,987 V/m

V = E · p = 0,7 qV

β = V / π = r / b² = ! cos w

Esercizio 5.4

• p_i = 1,7 × 10⁻⁵ m
• p_ae = 2,4 × 10⁻⁶ m
• b = 0,25 mm
• j = 2A

i₁ + i₂ + i₃

i₁ e il a_o Σ^o Σ_z (b² o²)

i₂ Σ₂ o² Σ

E₁ = V, segnale per C_j a_ae

E₂ Σ_z uguale

i₃ Σ_z Σ_ae

E_i 1 = pra_c

i₂ i₁ + i₂

E₁ = pra_c pr_ae

po_ae pra_c Σ_ae

E₁ + 0,9 om

E = l / Σae = 87 mV

m (b_c ß o² o²) m

Esercizio 5.5.

d = 2 cm

a = 5 mm

b = 2 cm

ξ = 20 V

ρ: ?

j: ?

i: ?

(Semi-conduttore)

a)

i = ξ/R

R = ρ ℓ/Σ

Σ = π (b² - a²)

R = ρ ℓ/π(b² - a²)

i = ξ / [(ρ ℓ) / (π(b² - a²))]

= 23.6 mA

Q = Ri² = 0.6 GW

j = i/Σ

σ = τ (b + a)

b)

i = Σ j

σ = τ (b + a)

Σ = 2π r δr

dR = ρ / Σ

R = ∫ρ dr/2πr δ

i = [E = ξ] R₁

R = [ρ / 2πa] ln(b/a)

j = ξ_b = i/Σ

Q = 2π δ ω

Esercizio 5.9.

ρ = 1.8 · 10^-8 Ω m

j = 6.5 A/mm²

d = 0.5 A/nm²

E: ?

v_d?

m: 8.5 · 10²⁸ omn.?

E = ρ j = 9.85 · 10⁷ V/m

v_d = me j / n e

ξ / d = π ^x

v_d = x 3.5 · 10^-5 m/s

j = me δ