Elettrotecnica - Compiti Svolti (2014 - 2018)

Esame di ELETTROTECNICA del 15-3-2016

C.d.L. Ingegneria Industriale, C.d.L. Ingegneria Informatica

1. Calcolare la corrente i_L(t) per t > 0, nell'ipotesi che il circuito di figura 1 sia a regime al tempo t=0 in cui l’interruttore S chiude.

   i_L(t)=e^{-5t 3}/₂e^-10t9/₂

   R = 1 Ω, R₀= 2 Ω, C = 200 mF, L = 1.00 mH, r_m = 1 Ω, I_M = 6 A,

   Fig. 1

2. Calcolare la potenza dissipata sul resistore R₀ del circuito in regime sinusoidale di figura 2.

   <P₀ = 879 mW>, [Z_m=3,60-j1,20 Ω; V_m=3,29-j1,56 V]

   ᵠ₁₂ = 4e^jᵀ3 V, ᵀ₁ = 1V, ᵠ₁, ᵠ₂, ᵠ₃ t.s.d., V₁₂, V₂₃, V₃₁ t.s.d.,

   R₀ = 5Ω, R = 2Ω, X_E = 3Ω, X_C = -6Ω

   Fig. 2

Condizioni iniziali: t = 0

Indutt.: cortocirco.

Capacità: circ. aperto

Partitore di corr.:

• Alla maggior parte di I_g andrà verso il ramo con min. resistenza

I₀(0^-) = 2

Per quanto riguarda V_c(0^-)

• Coincide con U_R (ess. ai capi di ed è resistenza R)

V_c(0^-) = R \cdot I_R = 1 \cdot 2A = 2V

• I₀(0^-) = 4A
• V_c(0^-) = 2V

Integrar generica: t = 0⁺

• Dobbiamo stud. il circuito per t > 0 → commutatori s chiudo
• In che dominio ci astiamo?
• 1^o) dominio di capacità → corr. di maglia, pot. ai nodi

Usti ambos!

• 2^o) dominio del tempo → equaz. di stato

Combogi sopra lubi!

• 1. Vedo quale metodo conviene → corre di maggia: always only 3 inc., nodi
• Potenza ai nodi: summa in - inc.

- I corr. di maggia la dominio '&del;' e le faccio comparte lo totto percorso di T_g

- Dobbiamo calcoorar I₂(0⁺) e β su che dagli indutt. fasc una sola corrente

• Silito col): mas douro: trovare k loc una
• S∀ palc, langet, plagiano 203

• Corr di maggia duro trovoistros butrambo e tutti si ∀ 3!

20) DEVO TROVARE UN PUNTO DI TAGLIO

(PER CI, L’ANGOLO E IL CAPACITORE SI ALL’INDUTTORE

(POSSIBILMENTE))

\[ LKC: -I_S + i_C + i_L + R - \frac{v_C}{C} = 0 \]

\[ i_C = i_S - i_L - v_R \]

\[ C: di_c = i_S - i_L - v_R \]

\[ \frac{di_C}{dt} = i_S - i_L - v_R \]

\ (1)

\[ L: \frac{di_L}{dt} = v_C - v₀ \]

(2)

DEVO ESPRIMERE v_C E v₀ IN

FUNZIONE DELLE VARIABILI DI STATO !

- TEOREMA DI INDUOTTORI → GAIN,

SOSTITUZIONE CORR. FUNTINE TERM.

FOTONE AI NODI → 4 EQUAZ IN4 INCOG.

- CORR. DI MAGLIA 4 EQUAZ IN

(2) EQUAZ. IN

\[ 3 \begin{vmatrix} R+R\\R\end{vmatrix} -R\]v_m

R = J₀

\[ i_{c} = T_g - i_L - v_R \]

CALCOLO DI Z_th

1. AZZERO I GEN. INDIPENDENTI
2. ECCITO IN TEN. O IN CORR.

GEN. DI TENSIONE - CORTOCIRCUITO

GEN. DI CORRENTE - CIRCUITO APERTO

SUPP. DI ECCITARE IN TEN.

3 CARICHI SQUILIBRATI

SONO SEMPRE IN PARALLELO

UNIAMO: I 3 CENTRISTELLA

X_L//X_C/3//R = Z_∥

O' ≡ O ≡ O"

LA CORR. EROGATA DA V_p INCONTRA 2 VOLTE Z_∥

Z_TH = 2 Z_∥

Z_TH = 3.6 - j 3.2 Ω

2 indutt. → 2 LKT a 2 maglie

LKT1: -v_E + v_R1 + v_R3 = 0

v_E = v_R1 + v_R3

1: di₁/dt = -v_E + v_R3 - v_F → di₁/dt = -v_E + v_R3

LKT2: -v_R3 + v_E - v_R2 + v_F + v_R4 = 0

-v_R3 + v_F = -v_E + v_R4

2: di₂/dt = -v_R3 - v_F + v_V → di₂/dt = -v_E - v_R3 + v_R4 + v_N

di₁/dt = -v_R2 - v_R4

di₁/dt = -v_E - v_R3 + v_R4

di₂/dt = -v_E - v_R3 + v_R4 + v_V

solo gli elementi v_R3 e v_N in funzione delle variabili di stato

Teorema di costituzione:

• Indutt. = gen. di corr.
• Capacitori = gen. di tens.

Presse ai nodi:

• 4 nodi → 3 equaz. in 3 incogn. (1 a massa)

Corr. di maglia

• 3 maglie → 3 equaz. in 3 incogn. → ma conosce i₂, v₂ e v_P quindi ho 3 equaz. in 0 incognite!

v₀ = v_R - v_R1 = R₀ - i₀

3: = R₃ - i₃

Andiamo a descriturtire:

• di₁/dt = -v_R4
• di₁/dt = v_E + v_R4 - v_F
• di₂/dt = -v_R3 - v_N + v_R4 + v_R3

1. Si applica il metodo delle correnti di anello nel dominio di Laplace

I_c(s) = J₁(s) + J₂(s)

→ L I_c(s) = L [J₁(s) + J₂(s)]

• Si risolve applicando il metodo alle normali equazioni
• 3 equazioni in 3 incognite
• ma I_c(s) è il concetto → 2 equazioni in 2 incognite

{ sL [J_d(s) + a I_c(s)] + R₀[J₁(s) + J₂(s)] + R₁J₁(s) = V_g(s)

1/sc [J₂(s) - a I_a(s)] R₀[J₁(s) + J₂(s)] + R₂J₂(s) = 0

Nota: Si assumiamo condizione iniziale ≡ sistema a stato zero (non vengono specificate nel testo)

{ sL (J₁(s) + a J₁(s) + 2 J₂(s) + R₀[J₁(s) + J₂(s)] + R₁J₁(s) = V_g(s)

1/sc J₂(s) a I_a(s) 2 J₂(s) R₀[J₁(s) + J₂(s)] + R₂J₂(s) = 0

sL [[(1 + a₀)J₁(s) + 2 J₂(s)] R₀[J₁(s) - I₂(s)] + R₁J₁(s) = V_g(s)

1/sc -J₃(s) + (1 - a_d)2 J₂(s) + R₀[J_d(s) + J₁(s)] + R₂J₂(s) = 0

{ [R₀ + R₁ + 1 _ƒ(ℏ) U_s(s)) · J_d(s) + [(R₀ + a&) J₂(s) = V_g(s)

R_{0 2} 1/sc J₁(s) — [R₀ + R₂ + (—2)] sc J₂(s) = 0

π dichiara R₀ = R₁ = R₂ = 10 Ω definisco R₀ &wedge R_x = R_g π fino a

{ (20 a&sub1;s) J_d(s) + (10 + s₁) J₂(s) = 1

10 1/sc Ji_s(s) + 20 θ J_/2(s) — 0

Concludo 1 ρ 80 sc ^ωm m = 10 ^π H = Chi burla

C¹⁰⁰ UF = R⁼¹⁰ 4/pi = 1/1000