Classificare una trasformazione ed individuare gli elementi uniti

Complementi di matematica

Trasformazioni geometriche

Esercizi Svolti

• Classificare una trasformazione e individuare gli eventuali elementi uniti

Complementi di matematica

Trasformazioni geometriche

Esercizi Svolti

• Classificare una trasformazione e individuare gli eventuali elementi uniti

Problema

Classifica la seguente trasformazione e individua gli eventuali elementi uniti

\[ x' = 3x - y y' = x + 3y + 1 \]

Le equazioni della trasformazione sono del tipo:

\[ x' = ax - by + c y' = bx + ay + c' \]

corrispondono quindi a una similitudine diretta con \( a = 3 \) e \( b = 1 \). Il rapporto di similitudine è:

\[ k = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \]

I punti uniti si ottengono risolvendo il sistema:

\[ x = 3x - y y = x + 3y + 1 \]

Risolviamo il sistema lineare con il metodo di sostituzione:

\[ x = 3x - y \Rightarrow y = 2x y = x + 3y + 1 \Rightarrow 2x = x + 6x + 1 \Rightarrow 5x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{5} \\y = 2x \Rightarrow y = -\frac{2}{5} \]

L’unico punto unito è:

\[ P(-\frac{1}{5}, -\frac{2}{5}). \]

Per trovare le eventuali rette unite bisogna prima ricavare le equazioni della trasformazione inversa:

\[ x' = 3x - y \Rightarrow x = \frac{x'}{3} + \frac{y}{3} y' = x + 3y + 1 \Rightarrow y = \frac{x'}{3} + \frac{y}{3} + 3y + 1 \]

\[ x = \frac{x'}{3} + \frac{y}{3} \\y' = \frac{x'}{3} + \frac{10}{3}y + 1 \]

\[ x = \frac{x'}{3} + \frac{y}{3} \Rightarrow y = \frac{x'}{10} + \frac{3}{10}y' - \frac{3}{10} \]