Cheat sheet di Matematica e Statistica

Commutativa e Associativa

!grazie a questo teorema puoi calcolare sommatorie che iniziano da un numero diverso da 1:

(5;10) = (1;10) - (1;4)

Consigli:

• La sommatoria di un'esponenziale non è molto più grande di
• Se si parla di turni ricordati
• Se ti chiedono i valori per l'un'esponenziale: in una sommatoria l'ultimo valore è così grande che bene se si parte dallo 0 o quale una sommatoria è 'gli altri valori contano poco'.
• dall'1 se ti chiedono gli maggiore o minore di x...
• La curva di log si chiama curva logistica/sigmoide. All'inizio sono molto elementi, fatti sempre un risolvi la sommatoria e poi simili (log, esp), ma poi la curva logistica si piega.
• disegnino. riprova i valori a mano.

SOMMATORIA INFINITA:

Riemann. Consideriamo la serie di addendi della forma (-1)^(n)/n. Per qualunque numero reale c, è possibile scambiarli di posto in modo che la serie dia come risultato c. Non sempre le serie hanno un

risultato.

La proprietà commutativa non vale.

Consigli:

• x è la variabile che serve a identificare la legge, un'altra serve a delineare il range degli addendi.
• Con il coseno: k=0 sommatoria da 1 a 10 di cos(kπ): gli addendi saranno cos(0), cos(π), cos(2π), eccetera. Quindi 1, -1, 1, eccetera. La somma di tutti di essi sarà dunque alternativamente 1 e 0. Facendo questa somma n volte, avremo il risultato 1 per n dispari, e 0 per n pari.
• PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DI DOPPIA SOMMATORIA DI FUNZIONI: Teorema di Fourier. Ogni funzione periodica è una somma infinita di sinusoidi.
• COMBINATORICA FINITA: PRODUTTORIE
• PRODUTTORIA DI FUNZIONE IDENTITÀ: PRODUTTORIA DI FUNZIONE fattoriale!
• PROPRIETÀ DELLE PRODUTTORIE: regola della divisione della produttoria: (k=3 a 10) = (k=1 a 10)/(k=1 a 2)
• COMMUTATIVA
• ASSOCIATIVA

SHIFTDA PRODUTTORIA A SOMMATORIA

COMBINATORIA FINITA: PERMUTAZIONI E DISPOSIZIONI

∈D2.34 A = {x1,...,xn} un insieme finito.

D2.35 Sia n N.

D2.37 Sia A un insieme finito di cardinalità n.

D2.38 Siano m ≤ n.

Chiamiamo Pn il numero di possibili permutazioni di A.

Chiamiamo disposizione di A di n, m∈N, m≤n.

Una sequenza che contiene gli stessi elementi di A si chiama permutazione di A.

Una disposizione di A di cardinalità m, ovvero una sequenza di m elementi di A (che non si ripetono), si chiama disposizione di classe m di A.

Allora Dn,m è il numero di disposizioni di classe m di un insieme di cardinalità n.

Di {a,b,c} sono permutazioni: (b,a,c), (c,a,b) o (a,b,c).

Il numero di permutazioni di un insieme dipende solo dal numero di elementi dell’insieme.

Quindi: Pn = n!

Quindi se {a,b,c,d,e} è un insieme, (a,d,e), (c,a,b) o (d,b,c) sono alcune sue disposizioni di classe n.

P0 = 1 e 0! = P0 = 1.

1. MODALITÀ SLOT: ogni slot è il numero di possibilità rimanenti.
2. CALCOLO INTEGRALE: INTEGRALE DEFINITO

La figura delimitata dal grafico di una funzione su un intervallo e l’asse delle ascisse si chiama trapezoide. Plurirettangoli per approssimare l’area di un trapezoide. Dividiamo l’intervallo [a,b] in n parti (uguali). Per ogni intervallino calcoliamo il minimo della funzione e disegnamo il rettangolo che ha come base l’intervallino, come altezza il minimo per tutti gli intervallini: L’area di questo plurirettangolo si chiama somma integrale inferiore, s(f,a,b,n). Se invece avessimo preso i massimi della funzione negli intervallini: somma integrale superiore, S(f,a,b,n). Più sarà alto n, più vicine saranno entrambe le somme integrali all’area del trapezoide: Quando parliamo di area, stiamo parlando di area segnata, ovvero di un’area dotata di segno: positivo se sopra l’asse delle

ascisse, negativo se sotto. A volte queste somme combaciano all'infinito, a volte no. "dx" indica la variabile di riferimento dell'integrale, nel caso in cui in f compaiano altri parametri. Tutte le funzioni continue sono integrabili su intervalli chiusi e limitati del dominio. Dato che la funzione è simmetrica, l'area sopra l'asse delle ascisse è, in valore assoluto, uguale all'area sotto l'asse delle ascisse, ma essendo di segno opposto abbiamo:

Possiamo provare a definire l'integrale definito anche se a<b o a=b. Si chiama orientazione dell'integrale: a=a. stiamo cercando l'area di una linea, di un D2.47. Sia f una funzione ∈ segmento. Dato che le linee non hanno area: reale integrabile, a,b R, ⊆ l'integrale definito è uguale a 0: [a,b] dom(f). Se a<b: T2.48. Questo teorema può essere utile per calcolare l'integrale definito di una funzione definita a tratti (con i

sistemi)PROPRIETÀ: T2.50.• Sia f una funzione reale integrabile, • Siano f,g funzioni∈R.a,b,c Allora: reali integrabili, a,b∈R. AlloraVale anche questa per learee segnate:caso delle aree non segnate due grafici che si intersecano fra loroLe aree geometriche non sono segnate, sono sempre positive, quindi Dobbiamo trovare il punto c, (il valore per cui f(c) =dobbiamo prendere sempre il valore assoluto dell’integrale definito. g(c)), dividere l’integrale in due pezzi, ed integrareDobbiamo trovare il punto d calcolando l’intersezione del grafico di f con sempre la funzione sopra meno la funzione sotto:l’asse delle ascisse, e poisommare il |a| dei dueintegrali:Un modo per risolvere l’integrale definito in maniera esatta (quindi non per approssimazioni) che usa le derivate:CALCOLO INTEGRALE:PRIMITIVE DI UNA FUNZIONE Se f è una funzione derivabile, allora f’, o Df, è la sua funzione derivata. Se fossebiiettiva,

Potremmo costruire un'inversa della derivata: D^2.55

Sia f una funzione reale. T^2.56 Ogni funzione continua ha almeno una D^2.57

Sia f una funzione. Allora F si dice primitiva di f se primitiva. reale che ammette una per ogni x∈dom(f), D non è iniettiva. E dunque non è biiettiva. E dunque primitiva. L'integrale F'(x)=f(x), ovvero DF=f. non è invertibile. Quindi esiste almeno una funzione indefinito di f è l'insieme delle D non è suriettiva. che ha primitive diverse.

∈R, ⊆Teorema di Lagrange Sia f una funzione reale, a,b tale che [a,b] dom(f), f è continua in [a,b], f è derivabile in ∈]a,b[. Allora esiste c [a,b] tale che f'(c)=

Per calcolare l'intero integrale indefinito dobbiamo sarete attenti al dominio, se è un intervallo nessun problema, altrimenti dobbiamo dividerlo: n∈N. Es: 0,1,2x,3x^2,... il dominio è se n∈Z e n<0. il

della media integrale. Se Sia f una funzione reale continua su [a,b], F una sua∃c ∈integrabile su [a,b]. La media f è continua in [a,b] allora primitiva su [a,b]. Allora:integrale di f su [a,b] è: (a,b) tale che Questa si puòanche scriverecome [F(x)] .

APPLICAZIONI DEL CALCOLO INTEGRALE:

1. aree geometriche
2. volume solidi di rotazione
3. lunghezza del tratto di un grafico di una funzione T2.104
4. Teorema di Fourier T2.109 (TdF).Disc integration Il volume del solido generato Sia f una funzione derivabile su [a,b]. Allora l’arco del grafico Sia f una funzione reale periodica.da una rotazione del trapezoide individuato dal di f da a a b ha lunghezza: Per ogni frequenza ν, esistono A(ν)grafico di f con base [a,b] intorno all’asse delle 4 numeri armonici. 1/k: Si e ϕ(ν), tali per cui f(x)=ascisse è: chiamano numeri armonici, l’n- In altre parole: ad ogni frequenza νShell integration Il esimo numero armonico: Hn. Ivolume

Del solido numeri armonici crescono illimitatamente (anche se molto generato da una lentamente); quindi la serie armonica non ha una somma stiamo associando una sinusoide di rotazione del trapezoide finita. T2.107. Per ogni n≥2 vale: frequenza ν, ampiezza A(ν) e fase individuato dal grafico di ϕ(n), e f è l’accumulazione di tutte f con base [a,b] intorno queste sinusoidi. all’asse delle ordinate è:6 RMS di una funzione In caso di funzioni periodiche, se P è la Quanto l’onda si distanzi dalla lunghezza del periodo, allora la media integrale del segnale f è: media: RMS.il RMS non dipende dal periodo, ma solo dall’ampiezza, quindi tutte le onde quadre della stessa ampiezza hanno lo stesso RMS, anche se con frequenze diverse.

STATISTICA: Statistica descrittiva: tabelle, grafici e opportuni indici - Statistica inferenziale: trae conclusioni regole di approssimazione: usiamo il punto al posto della virgola. • Approssimazione

• ultimo passaggio. • Usare “uguale”= e “circauguale”≈. Quando usiamo una quantità approssimata in un’espressione, il risultato sarà sempre approssimato.
• Se in un’operazioneabbiamo delle quantità che conosciamo con esattezza, le regole seguenti non si applicano.
• Cifre significative di un numeroapprossimato: Se il numero ha cifre dopo il punto, è il numero di sue cifre totali senza zeri più a sinistra, contiamo gli zeri più adestra; altrimenti è il suo numero di cifre senza gli zeri alla fine.
• Per arrotondare un numero a una certa cifra, bisogna vedere lacifra successiva.
• In un prodotto o in una divisione, il risultato deve essere arrotondato al numero di cifre significative più basso deifattori.
• In una somma o una sottrazione, il risultato deve essere arrotondato alla cifra significativa più a sinistra degli addendi.
• Definizioni di

L'insieme di riferimento/da analizzare: popo