Campo elettrico di due distribuzioni uniformi, sfera carica e filo infinito

Valori di alcune costanti da ricordare

⋅

−

= , ⋅ ( )

⋅

= = , ⋅ ( )

3 −8

= 4,4 ⋅ 10

Una quantità di carica è distribuita uniformemente su una sfera di raggio R=4 cm. Una

seconda quantità di carica è distribuita uniformemente lungo un filo rettilineo molto lungo con densità

= 28,0

lineare positiva. Il filo si trova a una distanza dal centro della sfera.

• Disegna i grafici qualitativi dei campi elettrici generati dalla carica distribuita sulla sfera e dalla

carica distribuita sul filo per dimostrare che il numero di punti compresi tra il centro della sfera e il

filo in cui il campo elettrico totale è nullo possono essere 2, 1 o nessuno. Spiega da che cosa dipende

il numero di punti.

•

Determina il valore di per cui il campo elettrico totale è nullo in un solo punto. −6

⋅ 10

[3,3 C/m]

Svolgimento l’andamento del campo elettrico per le due distribuzioni.

Scriviamo le funzioni che descrivono

Distribuzione sferica di raggio R:

di una sfera omogenea di carica Q, in un punto a distanza r dal centro, il campo elettrico

All’interno ha:

- direzione radiale dal centro;

- verso uscente se la carica è positiva, entrante se è negativa;

- modulo proporzionale alla distanza r dal centro:

• ()

≤ → = ⋅ → () ∝

All’esterno della sfera è radiale, ha verso uscente se la carica è positiva e ha modulo inversamente

proporzionale al quadrato della distanza dal centro:

• () ()

> → = ⋅ → ∝

L’andamento della funzione () è riportato in figura 1:

della sfera il modulo del campo elettrico cresce

All’interno

linearemente con r: () ∝

All’esterno della sfera, il modulo del campo elettrico diminuisce

all’aumentare della distanza con legge dell’inverso del quadrato

di r:

()

∝

Distribuzione lineare di carica con densità

Il campo elettrico di un filo uniforme di carica positiva ha le seguenti

caratteristiche:

- è radiale rispetto al filo;

- ha verso uscente dal filo se la carica positiva, entrante se la carica è

negativa;

- ha modulo inversamente proporzionale alla distanza r dal filo:

()

= ⋅ → () ∝

ha l’andamento riportato in figura.

La funzione

La funzione può essere scritta per semplicità nel modo seguente:

()

= ⋅ ⇔=

avendo posto:

=

L’intensità del campo decresce man mano che ci si allontana dal filo.

l’intensità del campo tende a

→ 0 +∞

In prossimità del filo quando l’intensità del campo tende a zero.

→ ±∞

Lontano dal filo quando

In un riferimento cartesiano, poniamo la sfera con il suo centro nell’origine e il filo a distanza d=28,0 cm.

().

Riportiamo gli andamenti delle due funzioni

Nella regione compresa tra il centro della sfera e il filo i due campi elettrici hanno versi opposti, perché sono

entrambi uscenti. In questa parte è possibile avere punti in cui il campo totale è nullo.

1

() ()

= ⋅ → = ⋅ ⋅ ≤

3 3

4 2 2

0 0

1 1

()

= ⋅ >

2

2 2

0

1 1 1 1

()

= ⋅ = ⋅ ⋅

2 − 2 −

0 0

Essendo per definizione:

= Δ

per un tratto di filo di lungo1 metro è: =

Nella parte interna alla sfera, il campo

nella sfera cresce linearmente mentre

1

quello del filo cresce con legge . Il grafico

di sta sopra e non interseca quello di .

Nella parte esterna alla sfera, decresce

1

con legge metre continua a crescere

2

1

con legge .

1

A parità del fattore comune , presente nelle due funzioni, tutto dipende dal valore della densità lineare di

2 0

.

carica