Area della regione di piano delimitata dal grafico di due funzioni

L’integrale definito

Area della regione di piano limitata dal grafico di due funzioni

L’integrale definito

Area della regione di piano limitata dal grafico di due funzioni

Siano A e B i due punti di intersezione, nell’intervallo [0, 2π], delle due curve y = f(x) = sin x e y = g(x) = cos x. Calcoliamo l’area della regione di piano limitata dagli archi delle due curve aventi come estremi A e B.

• Tracciamo i grafici delle funzioni e individuiamo le coordinate dei loro punti di intersezione

Tracciando i grafici delle due funzioni seno e coseno, ci rendiamo conto che la regione di piano di cui dobbiamo calcolare l’area è quella colorata in figura. Determiniamo le ascisse dei due punti di intersezione:

{y = sin x y = cos x → sin x = cos x → tan x = 1 → x = π⁄4 + kπ }

Ne deduciamo che le ascisse dei due punti di intersezione nell’intervallo [0, 2π] sono x = π⁄4 e x = 5π⁄4.

• Calcolo dell’area

Tenendo conto che nell’intervallo [π⁄4, 5π⁄4] il grafico della funzione seno è «al di sopra» di quello della funzione coseno (quindi f(x) ≥ g(x)), l’area della regione colorata sarà data da:

∫_A^B (sin x − cos x)dx = [− cos x − sin x]_A^B = = − cos 5π⁄4 − sin 5π⁄4 + cos π⁄4 + sin π⁄4 = 2√2