Applicazioni dei metodi energetici, Costruzioni aeronautiche

PR

( )

° =

M 0 π

θ = °

90

Per si ha:  

1 1

( )

° = −

M 90 PR  ÷

π

 

2

17

Si consideri un’ordinata di fusoliera chiusa sottoposta a un carico verticale P tenuto in

α

equilibrio, alla generica anomalia da un sistema di flussi di taglio definito:

P

( )

α α

=

q sen

π R

Valutare il momento flettente della struttura.

L’energia complementare totale del sistema è data:

M

∫ ∫ θ

= − ∆

C d dM P

ring 0

Dal principio di stazionarietà: ∂ ∂

C M

∫ θ

= =

d 0 ,

∂ ∂

M M

ring

A A

18

∂ ∂

C M

∫ θ

= =

d 0

∂ ∂

N N

ring

A A

Il momento flettente agente è dato: θ

( ) ( ) ( )

∫

θ θ α α

= + − +

M M N R 1 cos q BD Rd , (1)

A A 0

θ ( )

∫ α α

q BD Rd

dove l’integrale è una sommatoria di tutti gli sforzi di taglio agenti. Nel caso di

0

sezioni generiche è possibile discretizzare la sezione in tratti considerando i valori medi di ciascun

tratto e di ogni tratto è possibile ricavarne, poi, le distanze, lunghezze, ecc..

Se osserviamo la figura (c) nella pagina precedente, possiamo valutare l’effettivo valore di BD,

( )

θ α

= − −

BD R R cos

ovvero . Sostituendo nella (1) si ha:

P

θ

( ) ( ) ( )

∫

θ θ α θ α α

= + − +  − − 

M M N R 1 cos sen R R cos Rd (2)

 

π

A A R

0

Il nostro obiettivo adesso è quello di risolvere l’integrale contenuto in quest’ultima relazione.

P P

θ θ

( ) ( )

∫ ∫

α θ α α α θ α α

 − −  =  − −  =

sen R R cos Rd sen R R cos Rd

   

π π

R R

0 0

P P

   

θ θ θ

( ) ( )

∫ ∫ ∫

α α θ α α α α α θ α α

− − = − − =

2 2 2 2

sen R sen R cos d sen R d sen R cos d

   

   

π π

R R

0 0 0

{ }

P P PR

θ θ θ

( ) ( )

∫ ∫ ∫

α α α θ α α θ α θ α α

− − = − − −

2 2

R sen d R sen cos d 1 cos sen cos d

π π π

R R

0 0 0

θ ( )

∫ α θ α α

−

sen cos d

E’ necessario risolvere separatamente l’integrale assumendo:

0

( )

θ α θ α θ α

− = +

cos cos cos sen sen

Si ha:

θ θ θ θ θ

( )

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

α θ α α α θ α α α θ α θ α α α θ α α

− = + = + =

2 2

sen cos d sen cos cos d sen sen d cos sen cos d sen sen d

0 0 0 0 0

θ θ

1 1

θ θ θ θ θ θ

+ − =

2 2

cos sen sen cos sen sen

2 2 2 2

Sostituendo nella (2) si ha: θ

 

PR

( )

θ θ θ θ

= + − + − −

M M N R N R cos 1 cos sen (3)

 ÷

π

A A A  

2

19

Il problema adesso consiste nella valutazione di M e N . Nelle ipotesi di elasticità lineare e

A A

simmetria, consideriamo metà ordinata di fusoliera in modo da scrivere:

( ) ( )

θ θ

∂ ∂

M M

M M

π π

∫ ∫

θ θ

= =

Rd Rd 0 ,

∂ ∂

EI M EI N

0 0

A A

∂ ∂

M M ( )

θ θ

= = − = −

1 R cos R R 1 cos

dove e .

∂ ∂

M N

A A ( )

θ ∂

M M

π

∫ θ =

Rd 0

Valutiamo dapprima . Sostituendo:

∂

EI M

0 A

 

θ

2 2 2

PR PR PR 1

π

∫ θ θ θ θ

+ − + − − =

2 2

M N R N R cos cos sen d

 ÷

π π π

A A A 2 EI

 

0 2 2 2 2 2

M R N R N R PR PR PR

π π π π π π

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

+ − + − − =

d d cos d d cos d sen d

A A A π π π

EI EI EI EI EI EI

0 0 0 0 0 0

2 2 2

M R N R PR PR π

∫

π π π θ θ θ

+ + − =

sen d 0

A A π π

EI EI EI 2 EI 0

Risolviamo separatamente l’integrale:

π π [ ] π

∫ ∫

θ θ θ θ θ θ θ θ θ π

= − + = − + =

sen d cos cos d cos sen 0

0 0

Per cui: ( )

θ ∂

M 2 2 2

M M R N R PR PR

π

∫ θ π π π

= + + − = →

Rd 0

A A π

∂

EI M EI EI EI 2 EI

0 A

2 2

2 2

M R N R 1 PR 1 PR M R N R PR

π π π π

+ + = →− = + →− = − +

0 M N R

A A A A π A A

EI EI 2 EI 2 EI EI EI 2

( )

θ ∂

M M

π

∫ θ =

Rd

Valutiamo ora l’integrale 0:

∂

EI M

0 A

 

θ

2 2 2  

M R N R N R PR

π ( ) ( ) ( ) ( )

∫ θ θ θ θ θ θ θ θ

− + − − − + − − − =

1 cos 1 cos 1 cos cos 1 cos sen 1 cos d 0

A A A  ÷

 

π  

EI EI EI EI 2

 

0 x x x x

1 2 3 4

Con le x abbiamo indicato le parti dell’integrale che risolveremo separatamente; sostanzialmente

l’integrale da calcolare risulta: 20

π ( )

∫ θ

+ − +

x x x x d

1 2 3 4

0

Procediamo con ordine:  

M R M R M R

π π π

( )

∫ ∫ ∫

θ θ θ θ θ π

− = − =

1 cos d d cos d

A A A

x )  

1  

EI EI EI

0 0 0

2 2 2

 

N R N R N R

π π π

( )

∫ ∫ ∫

θ θ θ θ θ π

− = − =

1 cos d d cos d

A A A

x )  

2  

EI EI EI

0 0 0 π

2 2 2

N R N R N R

 

π π π

( )

∫ ∫ ∫

θ θ θ θ θ θ θ

− − = − − =

2

x ) 1 cos cos d cos d cos d

A A A

 

3  

EI EI EI 2

0 0 0

θ

2 2

  

PR PR

π π π π

( )

∫ ∫ ∫ ∫

θ θ θ θ θ θ θ θ θ

− − − = − − →

1 cos sen 1 cos d d cos d cos d

x )  ÷ 

4 π π

 

EI 2 EI

0 0 0 0

π π π π π π π

+ − −

2 2 2

    

1 1 PR PR 8 4 4 7 PR

π π π

∫ ∫ ∫

θ θ θ θ θ θ θ θ θ π

→ − + = + − − = =

2

cos d sen d sen cos d  ÷

  

π π

    

2 2 EI 2 2 8 EI 8 8 EI

0 0 0

In conclusione: π

2 2 2

M R N R N R 7 PR 3 7 PR

π π

+ + + = → + = −

0 M N R

A A A π

A A

EI EI EI 2 8 EI 2 8

Ponendo a sistema i risultati ottenuti:

  

3 7 PR 3 7 PR PR 3 7 PR

+ = − + = − − − + = −

M N R M N R N R N R

  

  

π π π π

A A A A A A

2 8 2 8 2 2 8

⇒ ⇒ ⇒

  

PR PR PR

  

+ = − = − − = − −

M N R M N R M N R

  

π π π

A A A A A A

  

2 2 2

  − +

     

3 PR 7 PR 2 R 3 R PR 7  

3 P 3 P

− + = − = − = − = −

N R R N 1 N N

 ÷  ÷  ÷

   

π π π

A A

   

π π

A A

     

2 2 8 2 2 4 4 4

⇒ ⇒ ⇒

   

3 P PR PR

PR PR

   

= − =

M R M

= − − = − −

M N R M N R  

  π π π

A A

 

π π

A A A A 4 2 4

 

2 2

Sostituendo i risultati ottenuti nella (3) si ottiene la distribuzione del momento flettente sulla

struttura. θ θ

   

PR 3 PR 3 P PR PR 1 3 3

( )

θ θ θ θ θ θ θ

= − + + − − = − + + − − →

M cos 1 cos sen cos 1 cos sen

 ÷  ÷

π π π π π

   

4 4 4 2 4 4 4 2

21

θ

 

PR 1 1 PR

( ) ( )

θ θ θ θ θ θ

= + − = + −

M cos sen 1 cos sen

 ÷

π π

 

2 2 2 2

Una fusoliera ha ordinate di forza circolari con un elemento di rinforzo trasversale in

posizione centrale. La parte superiore dell’ordinata ha rigidezza flessionale EI, il rinforzo ha

rigidezza flessionale EI e la parte inferiore ha rigidezza 2EI. Calcolare la distribuzione di

22

momento flettente in ogni parte dell’ordinata di forza quando essa è soggetta alla condizione

di carico illustrata.

L’energia complementare totale di metà fusoliera, data la simmetria, è data:

M

M

∫ ∫ θ α

= − − ∆

o

C d dM M ,

o B B

r

half frame 0 M

α ∆

M o

dove rappresenta lo spostamento creato dal momento e lo spostamento creato dal

o B B

r

taglio. Per l&rsqu