Applicazioni dei metodi energetici, Costruzioni aeronautiche
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Sostituendo i risultati ottenuti si ha: − 2 3
dM Pz P P L
L L L
∫ ∫ ∫
θ
∆ = = = − = −
2
d dz z dz
v dP EI EI EI 3
0 0 0
Supponiamo, ora, di voler giungere al medesimo risultato applicando il metodo delle quattro
integrazioni. Possiamo scrivere: P
B
A x v B
L
=
v ''' A
= +
v '' Ax B
1
= + + (1)
2
v ' Ax Bx C
2
1 1
= + + +
3 2
v Ax Bx Cx D
6 2
dove, le quattro costanti di integrazione si determinano imponendo delle condizioni ai limiti
(condizioni statiche e cinematiche imposte dai vincoli di estremità). In questo caso:
=
v (0) 0
=
v '(0) 0
=
v ''(
l ) 0
=
EI v '''(
l ) P
e quindi: =
C 0
=
D 0 =
D 0
=
C 0
P
⇒
=
A
+ =
Al B 0 EI
= Pl
EI A P
= −
B
EI
13
Sostituendo i risultati ottenuti nella (1) si ha:
1 1 1 P 1 Pl P ( )
= + + + = − = −
3 2 3 2 3 2
v Ax Bx Cx D x x x 3
lx ,
6 2 6 EI 2 EI 6 EI
ed infine alla stazione l, nel punto B: 3 3
P 2 Pl Pl
( )
= = − = − = −
3 3
v v (
l ) l 3
l
B 6 EI 3 EI
6 EI
Il risultato ottenuto con l’applicazione del metodo delle quattro integrazioni è simile a quello
ottenuto con i metodi energetici ma è molto più laborioso.
14
Si consideri una trave a mensola, snella a sezione costante, caricata uniformemente, di
∆
lunghezza L e rigidezza flessionale EI. Valutare lo spostamento applicando i metodi
B
energetici. P f
w y B
A ∆
B
z
L
Applichiamo, come primo passo, un carico fittizio P nel punto in cui è richiesta la deflessione.
f
L’energia complementare totale risulta: M L
∫ ∫ ∫
θ
= − ∆ −
C d dM P wydz ,
B f
L 0 0
dove y è lo spostamento verticale della trave. Dal principio di stazionarietà, in condizioni di
equilibrio, si ha: ∂ ∂
C M
L
∫ θ
= − ∆
d , (1)
B
∂ ∂
P P
0
f f
2
M wz
θ = = +
con e tenendo conto che il carico fittizio, adesso può essere
d dz , M P z
f
EI 2
∂
M = z
considerato nullo. Dunque .
∂
P
f
Sostituendo i risultati ottenuti nella (1) si ha:
δ ∂ 2 3 4
M M M z wz wz w wL
L L L L L L
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
θ θ
− ∆ → ∆ = = = = = =
3
d d zdz dz dz z dz
δ B B ∂
P P EI EI 2 2 EI 2 EI 8 EI
0 0 0 0 0 0
f f 15
Si consideri l’ordinata di fusoliera rappresentata doppiamente simmetrica di raggio R,
sezione costante e rigidezza flessionale EI. Calcolare la distribuzione del momento flettente in
ogni parte della struttura quando essa è soggetta alla condizione di carico illustrata.
Applichiamo il principio di stazionarietà dell’energia complementare:
( ) ( )
δ δ
+ = =
C C C 0 ,
e i
dove l’energia complementare totale è data:
P P
M
∫ ∫ θ
= − ∆ − ∆
C d dM 2 2
÷ ÷
A B
2 2
ring 0
Dalla simmetria del problema è possibile considerare:
∂ ∂
C M
∫ θ
= =
d 0
∂ ∂
M M
ring
A A
oppure, ∂
M M
π
∫ =
ds 0 ,
∂
M EI
0 A
M
θ =
d ds
dove EI
Si introduce, adesso, il momento lungo l’ascissa curvilinea:
16 P
( )
θ θ
= −
M M Rsen ,
A 2
( )
θ
∂
M ( )
= 1 1
e, tenendo conto che , possiamo calcolare:
∂
M A
( )
θ
∂
M M
π π π
( ) ( )
∫ ∫ ∫
θ θ θ
= → − = → − = →
ds 0 M PRsen ds 0 M PRsen Rd 0
A A
∂
M EI
0 0 0
A
π π π π
∫ ∫ ∫ ∫
θ θ θ θ θ θ π
− = → − = → − =
2 2 2
M Rd PR sen d 0 M R d PR sen d 0 M R PR 0
A A A
0 0 0 0
2
R PR ( )
= → =
M P M 2
π π
A A
R
( ) ( )
2 1
Sostituendo la nella si ottiene: θ
PR P 1 sen
( )
θ θ
= − = −
M Rsen PR ÷
π π
2 2
Il diagramma del momento sottostante, permette di dimensionare la struttura osservando quali sono
le zone dove il momento è minore con conseguente possibilità di risparmio di materiale in quella
zona. θ = °
0
Il valore massimo del momento si ha per ovvero:
PR
( )
° =
M 0 π
θ = °
90
Per si ha:
1 1
( )
° = −
M 90 PR ÷
π
2
17
Si consideri un’ordinata di fusoliera chiusa sottoposta a un carico verticale P tenuto in
α
equilibrio, alla generica anomalia da un sistema di flussi di taglio definito:
P
( )
α α
=
q sen
π R
Valutare il momento flettente della struttura.
L’energia complementare totale del sistema è data:
M
∫ ∫ θ
= − ∆
C d dM P
ring 0
Dal principio di stazionarietà: ∂ ∂
C M
∫ θ
= =
d 0 ,
∂ ∂
M M
ring
A A
18
∂ ∂
C M
∫ θ
= =
d 0
∂ ∂
N N
ring
A A
Il momento flettente agente è dato: θ
( ) ( ) ( )
∫
θ θ α α
= + − +
M M N R 1 cos q BD Rd , (1)
A A 0
θ ( )
∫ α α
q BD Rd
dove l’integrale è una sommatoria di tutti gli sforzi di taglio agenti. Nel caso di
0
sezioni generiche è possibile discretizzare la sezione in tratti considerando i valori medi di ciascun
tratto e di ogni tratto è possibile ricavarne, poi, le distanze, lunghezze, ecc..
Se osserviamo la figura (c) nella pagina precedente, possiamo valutare l’effettivo valore di BD,
( )
θ α
= − −
BD R R cos
ovvero . Sostituendo nella (1) si ha:
P
θ
( ) ( ) ( )
∫
θ θ α θ α α
= + − + − −
M M N R 1 cos sen R R cos Rd (2)
π
A A R
0
Il nostro obiettivo adesso è quello di risolvere l’integrale contenuto in quest’ultima relazione.
P P
θ θ
( ) ( )
∫ ∫
α θ α α α θ α α
− − = − − =
sen R R cos Rd sen R R cos Rd
π π
R R
0 0
P P
θ θ θ
( ) ( )
∫ ∫ ∫
α α θ α α α α α θ α α
− − = − − =
2 2 2 2
sen R sen R cos d sen R d sen R cos d
π π
R R
0 0 0
{ }
P P PR
θ θ θ
( ) ( )
∫ ∫ ∫
α α α θ α α θ α θ α α
− − = − − −
2 2
R sen d R sen cos d 1 cos sen cos d
π π π
R R
0 0 0
θ ( )
∫ α θ α α
−
sen cos d
E’ necessario risolvere separatamente l’integrale assumendo:
0
( )
θ α θ α θ α
− = +
cos cos cos sen sen
Si ha:
θ θ θ θ θ
( )
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
α θ α α α θ α α α θ α θ α α α θ α α
− = + = + =
2 2
sen cos d sen cos cos d sen sen d cos sen cos d sen sen d
0 0 0 0 0
θ θ
1 1
θ θ θ θ θ θ
+ − =
2 2
cos sen sen cos sen sen
2 2 2 2
Sostituendo nella (2) si ha: θ
PR
( )
θ θ θ θ
= + − + − −
M M N R N R cos 1 cos sen (3)
÷
π
A A A
2
19
Il problema adesso consiste nella valutazione di M e N . Nelle ipotesi di elasticità lineare e
A A
simmetria, consideriamo metà ordinata di fusoliera in modo da scrivere:
( ) ( )
θ θ
∂ ∂
M M
M M
π π
∫ ∫
θ θ
= =
Rd Rd 0 ,
∂ ∂
EI M EI N
0 0
A A
∂ ∂
M M ( )
θ θ
= = − = −
1 R cos R R 1 cos
dove e .
∂ ∂
M N
A A ( )
θ ∂
M M
π
∫ θ =
Rd 0
Valutiamo dapprima . Sostituendo:
∂
EI M
0 A
θ
2 2 2
PR PR PR 1
π
∫ θ θ θ θ
+ − + − − =
2 2
M N R N R cos cos sen d
÷
π π π
A A A 2 EI
0 2 2 2 2 2
M R N R N R PR PR PR
π π π π π π
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
+ − + − − =
d d cos d d cos d sen d
A A A π π π
EI EI EI EI EI EI
0 0 0 0 0 0
2 2 2
M R N R PR PR π
∫
π π π θ θ θ
+ + − =
sen d 0
A A π π
EI EI EI 2 EI 0
Risolviamo separatamente l’integrale:
π π [ ] π
∫ ∫
θ θ θ θ θ θ θ θ θ π
= − + = − + =
sen d cos cos d cos sen 0
0 0
Per cui: ( )
θ ∂
M 2 2 2
M M R N R PR PR
π
∫ θ π π π
= + + − = →
Rd 0
A A π
∂
EI M EI EI EI 2 EI
0 A
2 2
2 2
M R N R 1 PR 1 PR M R N R PR
π π π π
+ + = →− = + →− = − +
0 M N R
A A A A π A A
EI EI 2 EI 2 EI EI EI 2
( )
θ ∂
M M
π
∫ θ =
Rd
Valutiamo ora l’integrale 0:
∂
EI M
0 A
θ
2 2 2
M R N R N R PR
π ( ) ( ) ( ) ( )
∫ θ θ θ θ θ θ θ θ
− + − − − + − − − =
1 cos 1 cos 1 cos cos 1 cos sen 1 cos d 0
A A A ÷
π
EI EI EI EI 2
0 x x x x
1 2 3 4
Con le x abbiamo indicato le parti dell’integrale che risolveremo separatamente; sostanzialmente
l’integrale da calcolare risulta: 20
π ( )
∫ θ
+ − +
x x x x d
1 2 3 4
0
Procediamo con ordine:
M R M R M R
π π π
( )
∫ ∫ ∫
θ θ θ θ θ π
− = − =
1 cos d d cos d
A A A
x )
1
EI EI EI
0 0 0
2 2 2
N R N R N R
π π π
( )
∫ ∫ ∫
θ θ θ θ θ π
− = − =
1 cos d d cos d
A A A
x )
2
EI EI EI
0 0 0 π
2 2 2
N R N R N R
π π π
( )
∫ ∫ ∫
θ θ θ θ θ θ θ
− − = − − =
2
x ) 1 cos cos d cos d cos d
A A A
3
EI EI EI 2
0 0 0
θ
2 2
PR PR
π π π π
( )
∫ ∫ ∫ ∫
θ θ θ θ θ θ θ θ θ
− − − = − − →
1 cos sen 1 cos d d cos d cos d
x ) ÷
4 π π
EI 2 EI
0 0 0 0
π π π π π π π
+ − −
2 2 2
1 1 PR PR 8 4 4 7 PR
π π π
∫ ∫ ∫
θ θ θ θ θ θ θ θ θ π
→ − + = + − − = =
2
cos d sen d sen cos d ÷
π π
2 2 EI 2 2 8 EI 8 8 EI
0 0 0
In conclusione: π
2 2 2
M R N R N R 7 PR 3 7 PR
π π
+ + + = → + = −
0 M N R
A A A π
A A
EI EI EI 2 8 EI 2 8
Ponendo a sistema i risultati ottenuti:
3 7 PR 3 7 PR PR 3 7 PR
+ = − + = − − − + = −
M N R M N R N R N R
π π π π
A A A A A A
2 8 2 8 2 2 8
⇒ ⇒ ⇒
PR PR PR
+ = − = − − = − −
M N R M N R M N R
π π π
A A A A A A
2 2 2
− +
3 PR 7 PR 2 R 3 R PR 7
3 P 3 P
− + = − = − = − = −
N R R N 1 N N
÷ ÷ ÷
π π π
A A
π π
A A
2 2 8 2 2 4 4 4
⇒ ⇒ ⇒
3 P PR PR
PR PR
= − =
M R M
= − − = − −
M N R M N R
π π π
A A
π π
A A A A 4 2 4
2 2
Sostituendo i risultati ottenuti nella (3) si ottiene la distribuzione del momento flettente sulla
struttura. θ θ
PR 3 PR 3 P PR PR 1 3 3
( )
θ θ θ θ θ θ θ
= − + + − − = − + + − − →
M cos 1 cos sen cos 1 cos sen
÷ ÷
π π π π π
4 4 4 2 4 4 4 2
21
θ
PR 1 1 PR
( ) ( )
θ θ θ θ θ θ
= + − = + −
M cos sen 1 cos sen
÷
π π
2 2 2 2
Una fusoliera ha ordinate di forza circolari con un elemento di rinforzo trasversale in
posizione centrale. La parte superiore dell’ordinata ha rigidezza flessionale EI, il rinforzo ha
rigidezza flessionale EI e la parte inferiore ha rigidezza 2EI. Calcolare la distribuzione di
22
momento flettente in ogni parte dell’ordinata di forza quando essa è soggetta alla condizione
di carico illustrata.
L’energia complementare totale di metà fusoliera, data la simmetria, è data:
M
M
∫ ∫ θ α
= − − ∆
o
C d dM M ,
o B B
r
half frame 0 M
α ∆
M o
dove rappresenta lo spostamento creato dal momento e lo spostamento creato dal
o B B
r
taglio. Per l’equilibrio risulta: M M
+ + − = → + + =
o o
S S S 0 S S S
A D C A D C
r r
Valutiamo il momento tratto per tratto: ∂ ∂
M M
θ
= − =
θ r sen 0
= −
M S r sen
Tratto AB) ∂ ∂
A S S
A D
∂ ∂
M M
= =
0 x
= −
M S x
Tratto DB) ∂ ∂
D S S
A D
M
φ φ
= = − −
o
M S r sen S S r sen
Tratto CB) ÷
C A D
r
∂ ∂
M M
φ φ
= − = −
r sen r sen
∂ ∂
S S
A D
Tenendo sempre conto della simmetria della struttura, si passa alla valutazione dell’integrale:
∂ ∂
M M M M
∫ ∫
θ θ
= =
r d r d 0
∂ ∂
EI S EI S
half frame half frame
A D
23
∂
M M
∫ θ =
r d 0
Valutiamo, dunque, nei tratti AB, DB e CB:
∂
EI S
half frame A
Tratto AB) π /2
θ θ π
− 3 2 3 3 3
S r sen S r sen S r S r 1 S r
( )
π π π ( )
∫ ∫ ∫
θ θ θ θ θ θ θ θ
− = = = − =
2
A A A A A
r sen d d sen d sen cos
EI EI EI EI 2 EI 4
0 0 0 0
Tratto BD) − S x
r ( )
∫ θ =
r 0 d 0
D
EI
0
Tratto CB) π
θ
− 3 3
S r sen S r S r 1
( )
π π ( )
∫ ∫
θ θ θ θ θ θ θ
= − = − =
2
C C C
r sen r d sen d sen cos
2 EI 2 EI 2 EI 2
π
0 / 2 π /2
π π π π π
−
3 3 3
S r S r S r
2
− − = − = −
C C C
÷ ÷
2 EI 2 4 2 EI 4 2 EI 4
Sommando e uguagliando a zero i risultati ottenuti:
π π π π
3 3
3 3
S r S r S S
S r S r
− = → = → = → − =
C C C C
0 S S 0
A A A A
EI 4 2 EI 4 4 4 2 2
EI 2 EI
∂
M M
∫ θ =
r d 0
Valutiamo ora l’integrale nei tratti AB, DB e CB:
∂
EI S
half frame D
Tratto AB) Integrale nullo
Tratto DB) r
3 3
S x S S x S r
r r
∫ ∫
= = =
2
xdx x dr
D D D D
EI EI EI 2 EI 3
0 0 0
Tratto CB) π
θ θ π
3 2 3 3
S r sen S r sen S r S r
1
( )
π π π ( )
∫ ∫ ∫
θ θ θ θ θ θ θ θ
− = − = = − − =−
2
r sen rd d sen d sen cos
C C C C
2 EI 2 EI 2 EI 2 2 EI 4
π π π
/ 2 / 2 / 2 π /2
Analogamente otteniamo: 24
π π π π
3 3
3 3
S r S r
S r S r S S
− = → = → = → − =
C C
0 S S 0
D D D D
C C
3 EI 2 EI 4 4 3 8 3 8
3 EI 2 EI
Attraverso il seguente sistema possiamo ricavare:
M S S
+ + = = =
S S S o C C
S S
A D C A A
r 2 2
π π
S
− = ⇒ = ⇒ = ⇒
C
S 0 S S 3 S S 3
A D C D C
2 8 8
π π
π
S S M M
1
− = + + = + + =
S 0
D C o
S 3 S o
S 3 1
÷
C C C C
3 8
2 8 r
2 8 r
M
S S =
= = S 0.187 o
C C
S S
A
A A r
2 2
π π
M
= ⇒ = ⇒ = o
S S 3 S S 3 S 0.44
D C D C D
8 8 r
π
+ + M M
1
M M
4 3 8 21.42 = =
= = S 0.373
o o
o o
S S
÷ ÷
C
C C 2.68 r r
8 r 8 r
La distribuzione del momento flettente sull’ordinata di fusoliera risulta:
25
Si consideri la seguente trave snella, sezione costante e rigidezza flessionale EI e si supponga
che si trovi in condizioni di instabilità (stato di equilibrio neutro) in modo che il carico di
compressione applicato raggiunga il valore critico P . Si determini detto valore.
cr
Applicando l’equazione della trave inflessa si ha:
2
d v = −
EI M
2
dz
e, osservando la figura, si può scrivere in modo analogo:
2
d v = − ,
EI P v
cr
2
dz
in modo che l’equazione differenziale del momento della trave è data:
2 2 2
P v P v
d v EI d v d v
+ = → + = → + =
cr cr
EI P v 0 0 0
cr
2 2 2
dz dz EI dz EI
EI
La soluzione di questa equazione si ottiene: µ µ
= +
v A cos z Bsen z , =
v 0
dove A e B sono delle costanti incognite. Le condizioni al contorno in questo caso sono a
µ =
= = = ≠
Bsen l 0
z 0 z l A 0 v 0
e . Quindi e . Una soluzione non banale (con ) si ha con
µ µ π
= = =
sen l 0 l n n 1, 2,3, 4,...
o , dove Si ha, in conclusione:
π
2 2 2
P l n EI
π
= → =
2 2
cr n P
cr 2
EI l
Il più piccolo valore del carico applicato in grado di mantenere la trave in uno stato di equilibrio
neutro si ottiene quando il valore di n considerato è uguale ad uno, ovvero:
π 2 EI
=
P
cr 2
l
26
Si consideri la seguente trave snella ad asse non rettilineo, sezione costante e rigidezza
flessionale EI, sottoposta ad un carico assiale P. Valutare lo spostamento v dovuto agli effetti
delle imperfezioni iniziali.
Dall’equazione della trave inflessa: 2
2 d v
d v − = − ,
0
EI EI Pv
2 2
dz dz
da cui: 2
2 d v
d v λ
+ =
2 , (1)
0
v
2 2
dz dz π
∞ n z
P ∑
=
λ =
2 v A sen
dove . Assumendo per lo spostamento iniziale v la relazione e
0 0 n l
EI =
n 1
sostituendo in (1) si ottiene: π π
∞
2 2
d v n z
∑
λ
+ = −
2 2
v n A sen
n
2 2
dz l l
=
n 1
La soluzione generale dell’equazione differenziale appena scritta si ricava da:
π
2
∞ n A n z
∑
λ λ
= + + n
v B cos z Dsen z sen ,
α
−
2
n l
=
n 1
λ 2 2 2
l Pl
α = =
dove B e D sono costanti di integrazione e . Ponendo come condizioni al contorno
π π
2 2 EI
= = = = =
v 0 z 0 z l B D 0
, , e si ha: π
2
∞ n A n z
∑
= n
v sen
α
−
2
n l
=
n 1 27
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Frankovic di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Costruzione aeronautiche e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Ricci Fabrizio.
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