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Sostituendo i risultati ottenuti si ha: − 2 3

dM Pz P P L

L L L

∫ ∫ ∫

θ

∆ = = = − = −

2

d dz z dz

v dP EI EI EI 3

0 0 0

Supponiamo, ora, di voler giungere al medesimo risultato applicando il metodo delle quattro

integrazioni. Possiamo scrivere: P

B

A x v B

L

=

 v ''' A

 = +

v '' Ax B

 1

 = + + (1)

2

v ' Ax Bx C

2

 1 1

= + + +

3 2

v Ax Bx Cx D

 6 2

dove, le quattro costanti di integrazione si determinano imponendo delle condizioni ai limiti

(condizioni statiche e cinematiche imposte dai vincoli di estremità). In questo caso:

=

 v (0) 0

 =

v '(0) 0

 =

v ''(

l ) 0

 =

EI v '''(

l ) P

e quindi: =

C 0

=

 D 0 =

D 0

 =

C 0

  P

  =

A

+ =

Al B 0 EI

 

 

= Pl

EI A P

 = −

B

 EI

13

Sostituendo i risultati ottenuti nella (1) si ha:

1 1 1 P 1 Pl P ( )

= + + + = − = −

3 2 3 2 3 2

v Ax Bx Cx D x x x 3

lx ,

6 2 6 EI 2 EI 6 EI

ed infine alla stazione l, nel punto B: 3 3

P 2 Pl Pl

( )

= = − = − = −

3 3

v v (

l ) l 3

l

B 6 EI 3 EI

6 EI

Il risultato ottenuto con l’applicazione del metodo delle quattro integrazioni è simile a quello

ottenuto con i metodi energetici ma è molto più laborioso.

14

Si consideri una trave a mensola, snella a sezione costante, caricata uniformemente, di

lunghezza L e rigidezza flessionale EI. Valutare lo spostamento applicando i metodi

B

energetici. P f

w y B

A ∆

B

z

L

Applichiamo, come primo passo, un carico fittizio P nel punto in cui è richiesta la deflessione.

f

L’energia complementare totale risulta: M L

∫ ∫ ∫

θ

= − ∆ −

C d dM P wydz ,

B f

L 0 0

dove y è lo spostamento verticale della trave. Dal principio di stazionarietà, in condizioni di

equilibrio, si ha: ∂ ∂

C M

L

∫ θ

= − ∆

d , (1)

B

∂ ∂

P P

0

f f

2

M wz

θ = = +

con e tenendo conto che il carico fittizio, adesso può essere

d dz , M P z

f

EI 2

M = z

considerato nullo. Dunque .

P

f

Sostituendo i risultati ottenuti nella (1) si ha:

δ ∂ 2 3 4

M M M z wz wz w wL

L L L L L L

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

θ θ

− ∆ → ∆ = = = = = =

3

d d zdz dz dz z dz

δ B B ∂

P P EI EI 2 2 EI 2 EI 8 EI

0 0 0 0 0 0

f f 15

Si consideri l’ordinata di fusoliera rappresentata doppiamente simmetrica di raggio R,

sezione costante e rigidezza flessionale EI. Calcolare la distribuzione del momento flettente in

ogni parte della struttura quando essa è soggetta alla condizione di carico illustrata.

Applichiamo il principio di stazionarietà dell’energia complementare:

( ) ( )

δ δ

+ = =

C C C 0 ,

e i

dove l’energia complementare totale è data:    

P P

M

∫ ∫ θ

= − ∆ − ∆

C d dM 2 2

 ÷  ÷

A B

   

2 2

ring 0

Dalla simmetria del problema è possibile considerare:

∂ ∂

C M

∫ θ

= =

d 0

∂ ∂

M M

ring

A A

oppure, ∂

M M

π

∫ =

ds 0 ,

M EI

0 A

M

θ =

d ds

dove EI

Si introduce, adesso, il momento lungo l’ascissa curvilinea:

16 P

( )

θ θ

= −

M M Rsen ,

A 2

( )

θ

M ( )

= 1 1

e, tenendo conto che , possiamo calcolare:

M A

( )

θ

M M

π π π

( ) ( )

∫ ∫ ∫

θ θ θ

= → − = → − = →

ds 0 M PRsen ds 0 M PRsen Rd 0

A A

M EI

0 0 0

A

π π π π

∫ ∫ ∫ ∫

θ θ θ θ θ θ π

− = → − = → − =

2 2 2

M Rd PR sen d 0 M R d PR sen d 0 M R PR 0

A A A

0 0 0 0

2

R PR ( )

= → =

M P M 2

π π

A A

R

( ) ( )

2 1

Sostituendo la nella si ottiene: θ

 

PR P 1 sen

( )

θ θ

= − = −

M Rsen PR  ÷

π π

 

2 2

Il diagramma del momento sottostante, permette di dimensionare la struttura osservando quali sono

le zone dove il momento è minore con conseguente possibilità di risparmio di materiale in quella

zona. θ = °

0

Il valore massimo del momento si ha per ovvero:

PR

( )

° =

M 0 π

θ = °

90

Per si ha:  

1 1

( )

° = −

M 90 PR  ÷

π

 

2

17

Si consideri un’ordinata di fusoliera chiusa sottoposta a un carico verticale P tenuto in

α

equilibrio, alla generica anomalia da un sistema di flussi di taglio definito:

P

( )

α α

=

q sen

π R

Valutare il momento flettente della struttura.

L’energia complementare totale del sistema è data:

M

∫ ∫ θ

= − ∆

C d dM P

ring 0

Dal principio di stazionarietà: ∂ ∂

C M

∫ θ

= =

d 0 ,

∂ ∂

M M

ring

A A

18

∂ ∂

C M

∫ θ

= =

d 0

∂ ∂

N N

ring

A A

Il momento flettente agente è dato: θ

( ) ( ) ( )

θ θ α α

= + − +

M M N R 1 cos q BD Rd , (1)

A A 0

θ ( )

∫ α α

q BD Rd

dove l’integrale è una sommatoria di tutti gli sforzi di taglio agenti. Nel caso di

0

sezioni generiche è possibile discretizzare la sezione in tratti considerando i valori medi di ciascun

tratto e di ogni tratto è possibile ricavarne, poi, le distanze, lunghezze, ecc..

Se osserviamo la figura (c) nella pagina precedente, possiamo valutare l’effettivo valore di BD,

( )

θ α

= − −

BD R R cos

ovvero . Sostituendo nella (1) si ha:

P

θ

( ) ( ) ( )

θ θ α θ α α

= + − +  − − 

M M N R 1 cos sen R R cos Rd (2)

 

π

A A R

0

Il nostro obiettivo adesso è quello di risolvere l’integrale contenuto in quest’ultima relazione.

P P

θ θ

( ) ( )

∫ ∫

α θ α α α θ α α

 − −  =  − −  =

sen R R cos Rd sen R R cos Rd

   

π π

R R

0 0

P P

   

θ θ θ

( ) ( )

∫ ∫ ∫

α α θ α α α α α θ α α

− − = − − =

2 2 2 2

sen R sen R cos d sen R d sen R cos d

   

   

π π

R R

0 0 0

{ }

P P PR

θ θ θ

( ) ( )

∫ ∫ ∫

α α α θ α α θ α θ α α

− − = − − −

2 2

R sen d R sen cos d 1 cos sen cos d

π π π

R R

0 0 0

θ ( )

∫ α θ α α

sen cos d

E’ necessario risolvere separatamente l’integrale assumendo:

0

( )

θ α θ α θ α

− = +

cos cos cos sen sen

Si ha:

θ θ θ θ θ

( )

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

α θ α α α θ α α α θ α θ α α α θ α α

− = + = + =

2 2

sen cos d sen cos cos d sen sen d cos sen cos d sen sen d

0 0 0 0 0

θ θ

1 1

θ θ θ θ θ θ

+ − =

2 2

cos sen sen cos sen sen

2 2 2 2

Sostituendo nella (2) si ha: θ

 

PR

( )

θ θ θ θ

= + − + − −

M M N R N R cos 1 cos sen (3)

 ÷

π

A A A  

2

19

Il problema adesso consiste nella valutazione di M e N . Nelle ipotesi di elasticità lineare e

A A

simmetria, consideriamo metà ordinata di fusoliera in modo da scrivere:

( ) ( )

θ θ

∂ ∂

M M

M M

π π

∫ ∫

θ θ

= =

Rd Rd 0 ,

∂ ∂

EI M EI N

0 0

A A

∂ ∂

M M ( )

θ θ

= = − = −

1 R cos R R 1 cos

dove e .

∂ ∂

M N

A A ( )

θ ∂

M M

π

∫ θ =

Rd 0

Valutiamo dapprima . Sostituendo:

EI M

0 A

 

θ

2 2 2

PR PR PR 1

π

∫ θ θ θ θ

+ − + − − =

2 2

M N R N R cos cos sen d

 ÷

π π π

A A A 2 EI

 

0 2 2 2 2 2

M R N R N R PR PR PR

π π π π π π

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

+ − + − − =

d d cos d d cos d sen d

A A A π π π

EI EI EI EI EI EI

0 0 0 0 0 0

2 2 2

M R N R PR PR π

π π π θ θ θ

+ + − =

sen d 0

A A π π

EI EI EI 2 EI 0

Risolviamo separatamente l’integrale:

π π [ ] π

∫ ∫

θ θ θ θ θ θ θ θ θ π

= − + = − + =

sen d cos cos d cos sen 0

0 0

Per cui: ( )

θ ∂

M 2 2 2

M M R N R PR PR

π

∫ θ π π π

= + + − = →

Rd 0

A A π

EI M EI EI EI 2 EI

0 A

2 2

2 2

M R N R 1 PR 1 PR M R N R PR

π π π π

+ + = →− = + →− = − +

0 M N R

A A A A π A A

EI EI 2 EI 2 EI EI EI 2

( )

θ ∂

M M

π

∫ θ =

Rd

Valutiamo ora l’integrale 0:

EI M

0 A

 

θ

2 2 2  

M R N R N R PR

π ( ) ( ) ( ) ( )

∫ θ θ θ θ θ θ θ θ

− + − − − + − − − =

1 cos 1 cos 1 cos cos 1 cos sen 1 cos d 0

A A A  ÷

 

π  

EI EI EI EI 2

 

0 x x x x

1 2 3 4

Con le x abbiamo indicato le parti dell’integrale che risolveremo separatamente; sostanzialmente

l’integrale da calcolare risulta: 20

π ( )

∫ θ

+ − +

x x x x d

1 2 3 4

0

Procediamo con ordine:  

M R M R M R

π π π

( )

∫ ∫ ∫

θ θ θ θ θ π

− = − =

1 cos d d cos d

A A A

x )  

1  

EI EI EI

0 0 0

2 2 2

 

N R N R N R

π π π

( )

∫ ∫ ∫

θ θ θ θ θ π

− = − =

1 cos d d cos d

A A A

x )  

2  

EI EI EI

0 0 0 π

2 2 2

N R N R N R

 

π π π

( )

∫ ∫ ∫

θ θ θ θ θ θ θ

− − = − − =

2

x ) 1 cos cos d cos d cos d

A A A

 

3  

EI EI EI 2

0 0 0

θ

2 2

  

PR PR

π π π π

( )

∫ ∫ ∫ ∫

θ θ θ θ θ θ θ θ θ

− − − = − − →

1 cos sen 1 cos d d cos d cos d

x )  ÷ 

4 π π

 

EI 2 EI

0 0 0 0

π π π π π π π

+ − −

2 2 2

    

1 1 PR PR 8 4 4 7 PR

π π π

∫ ∫ ∫

θ θ θ θ θ θ θ θ θ π

→ − + = + − − = =

2

cos d sen d sen cos d  ÷

  

π π

    

2 2 EI 2 2 8 EI 8 8 EI

0 0 0

In conclusione: π

2 2 2

M R N R N R 7 PR 3 7 PR

π π

+ + + = → + = −

0 M N R

A A A π

A A

EI EI EI 2 8 EI 2 8

Ponendo a sistema i risultati ottenuti:

  

3 7 PR 3 7 PR PR 3 7 PR

+ = − + = − − − + = −

M N R M N R N R N R

  

  

π π π π

A A A A A A

2 8 2 8 2 2 8

⇒ ⇒ ⇒

  

PR PR PR

  

+ = − = − − = − −

M N R M N R M N R

  

π π π

A A A A A A

  

2 2 2

  − +

     

3 PR 7 PR 2 R 3 R PR 7  

3 P 3 P

− + = − = − = − = −

N R R N 1 N N

 ÷  ÷  ÷

   

π π π

A A

   

π π

A A

     

2 2 8 2 2 4 4 4

⇒ ⇒ ⇒

   

3 P PR PR

PR PR

   

= − =

M R M

= − − = − −

M N R M N R  

  π π π

A A

 

π π

A A A A 4 2 4

 

2 2

Sostituendo i risultati ottenuti nella (3) si ottiene la distribuzione del momento flettente sulla

struttura. θ θ

   

PR 3 PR 3 P PR PR 1 3 3

( )

θ θ θ θ θ θ θ

= − + + − − = − + + − − →

M cos 1 cos sen cos 1 cos sen

 ÷  ÷

π π π π π

   

4 4 4 2 4 4 4 2

21

θ

 

PR 1 1 PR

( ) ( )

θ θ θ θ θ θ

= + − = + −

M cos sen 1 cos sen

 ÷

π π

 

2 2 2 2

Una fusoliera ha ordinate di forza circolari con un elemento di rinforzo trasversale in

posizione centrale. La parte superiore dell’ordinata ha rigidezza flessionale EI, il rinforzo ha

rigidezza flessionale EI e la parte inferiore ha rigidezza 2EI. Calcolare la distribuzione di

22

momento flettente in ogni parte dell’ordinata di forza quando essa è soggetta alla condizione

di carico illustrata.

L’energia complementare totale di metà fusoliera, data la simmetria, è data:

M

M

∫ ∫ θ α

= − − ∆

o

C d dM M ,

o B B

r

half frame 0 M

α ∆

M o

dove rappresenta lo spostamento creato dal momento e lo spostamento creato dal

o B B

r

taglio. Per l’equilibrio risulta: M M

+ + − = → + + =

o o

S S S 0 S S S

A D C A D C

r r

Valutiamo il momento tratto per tratto: ∂ ∂

M M

θ

= − =

θ r sen 0

= −

M S r sen

Tratto AB) ∂ ∂

A S S

A D

∂ ∂

M M

= =

0 x

= −

M S x

Tratto DB) ∂ ∂

D S S

A D

 

M

φ φ

= = − −

o

M S r sen S S r sen

Tratto CB)  ÷

C A D

r

 

∂ ∂

M M

φ φ

= − = −

r sen r sen

∂ ∂

S S

A D

Tenendo sempre conto della simmetria della struttura, si passa alla valutazione dell’integrale:

∂ ∂

M M M M

∫ ∫

θ θ

= =

r d r d 0

∂ ∂

EI S EI S

half frame half frame

A D

23

M M

∫ θ =

r d 0

Valutiamo, dunque, nei tratti AB, DB e CB:

EI S

half frame A

Tratto AB) π /2

θ θ π

− 3 2 3 3 3

 

S r sen S r sen S r S r 1 S r

( )

π π π ( )

∫ ∫ ∫

θ θ θ θ θ θ θ θ

− = = = − =

2

A A A A A

r sen d d sen d sen cos

 

 

EI EI EI EI 2 EI 4

0 0 0 0

Tratto BD) − S x

r ( )

∫ θ =

r 0 d 0

D

EI

0

Tratto CB) π

θ

− 3 3  

S r sen S r S r 1

( )

π π ( )

∫ ∫

θ θ θ θ θ θ θ

= − = − =

2

C C C

r sen r d sen d sen cos

 

 

2 EI 2 EI 2 EI 2

π

0 / 2 π /2

π π π π π

3 3 3

   

S r S r S r

2

− − = − = −

C C C

 ÷  ÷

   

2 EI 2 4 2 EI 4 2 EI 4

Sommando e uguagliando a zero i risultati ottenuti:

π π π π

3 3

3 3

S r S r S S

S r S r

− = → = → = → − =

C C C C

0 S S 0

A A A A

EI 4 2 EI 4 4 4 2 2

EI 2 EI

M M

∫ θ =

r d 0

Valutiamo ora l’integrale nei tratti AB, DB e CB:

EI S

half frame D

Tratto AB) Integrale nullo

Tratto DB) r

 

3 3

S x S S x S r

r r

∫ ∫

= = =

2

xdx x dr

D D D D

 

EI EI EI 2 EI 3

 

0 0 0

Tratto CB) π

θ θ π

3 2 3 3

 

S r sen S r sen S r S r

1

( )

π π π ( )

∫ ∫ ∫

θ θ θ θ θ θ θ θ

− = − = = − − =−

2

r sen rd d sen d sen cos

C C C C

 

2 EI 2 EI 2 EI 2 2 EI 4

 

π π π

/ 2 / 2 / 2 π /2

Analogamente otteniamo: 24

π π π π

3 3

3 3

S r S r

S r S r S S

− = → = → = → − =

C C

0 S S 0

D D D D

C C

3 EI 2 EI 4 4 3 8 3 8

3 EI 2 EI

Attraverso il seguente sistema possiamo ricavare: 

 

M S S

+ + = = =

S S S o C C

S S

 

A D C A A

r 2 2

  π π

  

S

− = ⇒ = ⇒ = ⇒

C

S 0 S S 3 S S 3

  

A D C D C

2 8 8

  

π π

   π

S S M   M

1

− = + + = + + =

S 0

D C o

S 3 S o

S 3 1

 ÷

  

C C C C

3 8 

 2 8 r  

2 8 r

   M

S S =

= = S 0.187 o

C C

S S

   A

A A r

2 2

  

π π

   M

= ⇒ = ⇒ = o

S S 3 S S 3 S 0.44

  

D C D C D

8 8 r

  

  

π

+ + M M

1

   

M M

4 3 8 21.42 = =

= = S 0.373

o o

o o

S S

 ÷  ÷

   C

C C 2.68 r r

   

8 r 8 r

 

La distribuzione del momento flettente sull’ordinata di fusoliera risulta:

25

Si consideri la seguente trave snella, sezione costante e rigidezza flessionale EI e si supponga

che si trovi in condizioni di instabilità (stato di equilibrio neutro) in modo che il carico di

compressione applicato raggiunga il valore critico P . Si determini detto valore.

cr

Applicando l’equazione della trave inflessa si ha:

2

d v = −

EI M

2

dz

e, osservando la figura, si può scrivere in modo analogo:

2

d v = − ,

EI P v

cr

2

dz

in modo che l’equazione differenziale del momento della trave è data:

2 2 2

P v P v

d v EI d v d v

+ = → + = → + =

cr cr

EI P v 0 0 0

cr

2 2 2

dz dz EI dz EI

EI

La soluzione di questa equazione si ottiene: µ µ

= +

v A cos z Bsen z , =

v 0

dove A e B sono delle costanti incognite. Le condizioni al contorno in questo caso sono a

µ =

= = = ≠

Bsen l 0

z 0 z l A 0 v 0

e . Quindi e . Una soluzione non banale (con ) si ha con

µ µ π

= = =

sen l 0 l n n 1, 2,3, 4,...

o , dove Si ha, in conclusione:

π

2 2 2

P l n EI

π

= → =

2 2

cr n P

cr 2

EI l

Il più piccolo valore del carico applicato in grado di mantenere la trave in uno stato di equilibrio

neutro si ottiene quando il valore di n considerato è uguale ad uno, ovvero:

π 2 EI

=

P

cr 2

l

26

Si consideri la seguente trave snella ad asse non rettilineo, sezione costante e rigidezza

flessionale EI, sottoposta ad un carico assiale P. Valutare lo spostamento v dovuto agli effetti

delle imperfezioni iniziali.

Dall’equazione della trave inflessa: 2

2 d v

d v − = − ,

0

EI EI Pv

2 2

dz dz

da cui: 2

2 d v

d v λ

+ =

2 , (1)

0

v

2 2

dz dz π

∞ n z

P ∑

=

λ =

2 v A sen

dove . Assumendo per lo spostamento iniziale v la relazione e

0 0 n l

EI =

n 1

sostituendo in (1) si ottiene: π π

2 2

d v n z

λ

+ = −

2 2

v n A sen

n

2 2

dz l l

=

n 1

La soluzione generale dell’equazione differenziale appena scritta si ricava da:

π

2

∞ n A n z

λ λ

= + + n

v B cos z Dsen z sen ,

α

2

n l

=

n 1

λ 2 2 2

l Pl

α = =

dove B e D sono costanti di integrazione e . Ponendo come condizioni al contorno

π π

2 2 EI

= = = = =

v 0 z 0 z l B D 0

, , e si ha: π

2

∞ n A n z

= n

v sen

α

2

n l

=

n 1 27


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Frankovic di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Costruzione aeronautiche e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Ricci Fabrizio.

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