Analisi Matematica 2 - esercizi

Esame Scritto Analisi Matematica 2

Serie di Fourier

f(x) = |x|

x ∈ [-π/2, π/2]

T = 2π

Per primo caso scriviamo il prolungamento della funzione

Da come si deduce graficamente e come si verifica, se f(x) = f(-x) = x, la funzione è pari, pertanto l’unico coefficiente di Fourier da considerare è a₀.

a₀ = 2/π ∫₀^π/2 f(x) dx ⇒ 4/π ∫₀^π/2 x dx = 4/π x²/2 |₀^π/2

⇒ a₀ = π/2

Studio dei a_n

a_n = ²/_π ∫ x cos 2ux = ⁴/_π ∫₀^π/2 x cos 2αx

Risolv. l'integrale indefinito per parti:

∫ x cos 2ux = - ^{x sin 2ux}/_2u - ¹/_2u² ∫ sin 2ux

=>

= ²/_π [^{x sin 2ux}/_2u + ¹/_4u² cos 2ux]₀^π/2

Sostituendo ottengo:

²/_π [x sin 2ux/_4u + ^{cos uπ}/_4u² - ¹/_4u²]

Se sin è nullo, e ottengo che fine:

¹/_4u² [(cos uπ - 1)

¹/_4u² [(cos uπ - 1)

cos uπ = (-1)^u

u pari = 0

u dispari u = 2u-1

²/_4u² = - ²/_{2(2α + 1)²}

La serie di Fourier pari si scrive così:

f(x) = π/₄ - ²/_π ∑^+∞_n=1 ¹/_(2u-1)² - cos 2(2u-1)x

La serie di funzione è continua e regolare e tratt. in tutto R. Quindi converge unif. in tutto R e quindi [π/2, π/2]

Definizione int. curvilineo

Sia Γ una curva chiusa, sia f una funzione continua con Γ che unisce due punti a e b.

Curvilineo: z(t) = x(t) + i y(t)

Si definisce integrale curvilineo un integrale del tipo:

∫ f(x(t) + i y(t)) [x'(t) + i y'(t)]

Scomponendo:

∫ μ(x(t) + i y(t)) + ν(x(t) + i y(t)) [x'(t) + i y'(t)]

quindi

∫ u dx + v dy = i ∫ v dx + u dy

TEOREMA INTEGRALE DI CAUCHY n° 8

Il teorema integrale di Cauchy asserisce che:

Considerato una funzione olomorfa in A, apertodi C, con D dominio regolare, allora è vero che

∫_∂D f(z) dz = 0

(f olomorfa in AD dominio regolare(DC A)

⇒ (∫_∂D f(z) = 0)

Alle stesse condizioni vale la formula integraledi Cauchy:

f(z) = (1/2πi) ∫_∂D f(ξ) / (ξ - z) dξ