Analisi II - prove di analisi2

1. Risolvere il seguente problema di Cauchy:

3 x

   

y

" 4 y ' 3 y xe

 

y ( 0 ) 0



 

y ' ( 0 ) 0





2. Stabilire se il campo vettoriale y

  

v ( x , y ) (cos y ) i ( xseny ) j

2



1 y

è conservativo e determinarne un potenziale. Calcolare il lavoro del vettore v sulla curva

orientata in figura. y

-1/2 1 x

3. Calcolare il volume del cilindroide di base il settore circolare in figura relativo alla funzione

y 3

x y



-1 x f ( x , y ) .

2 2 3

 

1 ( x y )

1. Assegnata la superficie cilindrica S avente per direttrice la curva del piano (x,y) di

x e generatrici parallele all’asse z, compresa tra i piani z=0

equazione y=e , x0,log2

z=1, calcolare il flusso del vettore:

v = xi +yj +zk

attraverso S orientata nel verso opposto a quello indotto dalla sua r.p.

2. Calcolare il lavoro sulla curva di equazione x=sent, y= 1+ sent, z=4 t0,, orientata

nel verso indotto dalla r.p., del campo vettoriale oggetto dell’esercizio precedente.

3. Assegnata l’equazione differenziale: 3 2

y’’ + 2y’ = x – 5x –x –3

determinare la curva integrale che passa per l’origine con tangente parallela all’asse x ..

1.  

Posto f ( x , y ) y (

1 x ) ,

Determinare l’insieme di definizione A di f ( x , y ) e stabilire se A è un insieme chiuso,

.) connesso, una regione. x

..) Indicata g(x) la funzione ottenuta calcolando f ( x , y ) lungo la curva y=e , x

all’asse

determinare il volume del solido che si ottiene dalla rotazione attorno x del

rettangoloide di base [0,1] relativo a g(x).

2. Risolvere il seguente problema di Cauchy 2



  

y' ' - 2 y' 2 y x .



  

y(0) 0 , y' (0) 0

3. Assegnato il campo vettoriale :

v(x,y)= (2x + seny) i + xcosy j .

determinare i potenziali di v .