Analisi 1 - Temi esame svolti

ANALISI MATEMATICA I

TEMI ESAME SVOLTI

• T.E. 2018
• T.E. 2017
• T.E. 2016

GENNAIO 2018

5

f(x) = ^ex-2 / (y-z)^α-1 se y > z1 se y = z1 / (z-y) se y < z

in x = z un punto di salto

lim _x→z^- |(z-y) su 1/(z-x)| ≤ (z-x) ⋅ 1 lim _x→z^- (z-2)² = 0⁺

lim x→2+ ex-2 - 1 / (y-z)α-1 ⋈ (y-z) / (y-z)α-1 =

(y-z)(y-z)^-α+1 = (y-z)^-α+1+1 == (y-z)^-α+2 = 1 / (x-2)^α-2

Per avere un salto il valore del limite deve essere finito

1 / (0⁺)^α-2 ∉ ℚ asintoto verticale

d = 2 → limite tende a 1 (salto)

f(x) = arctan(log|x| - 2x) se x ≠ 0

⁻π₂ se x = 0

∗ Dominio tutto ℝ

lim x → -∞ arctan(log|x| - 2x) = N

arctan(-∞) = arctan(+∞) = π₂

lim x → 0⁺ arctan(log|x| - 2x) = arctan(log 0 - 0)

arctan -∞ = -π₂

lim x → 0^- arctan(log|x| - 2x) = arctan(log 0 - 0)

arctan -∞ = -π₂

X = 0 -> -π₂

F è continua in x = 0

(arctan(log|x| - 2x))' = ¹/_{1+(log|x| - 2x)²} (-2 + ¹/_|x|)

∗ PUNTO DI CUSPIDE O ANGOLOSO

lim x → 0^{± 1}/_{1+(log|x| - 2x)²} (-2 + ¹/_|x|) = lim x → 0^{± 1}/_{1+(log 0^± - 0)²}

(2)

lim_n→+∞ [ √(1 + 1/n) · cos(1/n) ] [ 1/(n+2) - 1/n ]

log(n³+4) - log(n³+1)

N: √(1 + 1/n) · cos(1/n) = cos(1/n) = cos(1/∞) = cos(0) = 1

= √(1 + 1/n) - 1 ≈ 1/2 · 1/n

1/(n+2) - 1/n = -n -2/(n+2) · (n) = -2/(n+2)(n) ≈ -2/n²

D: log(n³+4) - log(n³+1) =

= log(n³+4/n³+1) ≈ n³+4/n³+1 - 1 =

= n³+4 - n³ - 1/n³ + 1 = 3/n³ + 4 ≈ 3/n³

lim_n→+∞ f(n) ≈ lim_n→+∞ 1/2 · 1/n · (-2/n²) · -n²/3 =

= -2/6

π/2

∫ cos x / (2 + cos²x) dx

0

FORMULA TRIGONOMETRICA

cos²x = 1 - sen²x

cos² x + sen² x = 1

cos x

2a + 1 - sen²x

cos x / (2s - sen²x)

∫ cos x / [(s - sen x)(s + sen x)] dx = ∫ A / (s - sen x) + ∫ B / (s + sen x)

cos x = A(s + sen x) + B(s - sen x)

-cos x + 5A + A sen x + 5B - B sen x = 0

sen x (A - B) + (sA + sB - cos x) = 0

A - B = 0

A = B

10A = cos x

A = cos x / 10 = B

quindi

x ∫ cos x / 10 (5 - sen x) + ∫ cos x / 10 (5 + sen x)

x ∫ -1/10 ∫ cos x / -5 + sen x = -1/10 log | -5 + sen x |

x f è decrescente su ] -∞ , 3 ]

limx → -∞ f(x) = +∞

- f(3) = (0 + 0)^1/2 = 0

f è decrescente

x f([0, +∞]) = [√(e^-3 -1)² + 9 , +∞ [

È falso poiché in 3 vale 0quindi il minimo è 0

x = 3 punto di cuspide

f'(x) = ¹/₂ ((e^x-3 -1)² + (x - 3)²)^-1/2 [ 2(e^x-3 -1)(-3e^x-3) + 2(x - 3) ] =

= ¹/₂ [(e^x-3 -1)² + (x - 3)²]^-1/2 [(2e^x-3 - 2)(-3e^x-3) ++ 2x - 6] =

= ^{-6e2x-6 + 6ex-3 + 2x - 6}/_{2 [(e^x-3 -1)² + (x - 3)²]^1/2} =

lim_x→0⁺ [cos(sen x) - 1 + ^x2/₂] log(1 + ^2u/_{1 + √2} - y)

∑y dv.r.tdn (e^-1 - 1)⁴

lim_x→0⁺ [cos(sen x) - 1 + ^x2/₂](^2u/_{1 + √2} - y)

TAYLOR

[cos(sen x) - 1 + ^x2/₂]

sen y = y - ^x3/₆ + o(x⁴)

cos ℓ = 1 - ^x2/₂ + ^x4/₂₄ + o(x⁴)

cos(sen x) = 1 - 1/₂(x - ^x3/₆)² + 1/₂₄(x - ^x3/₆)[2](x - ^x3/₆)² =

= 1 - 1/₂(x² - ^x4/₃ + ^x6/₃₆) + 1/₂₄(x² - ^x4/₃ + ^x6/₃₆) =

= 1 - ^x2/₂ + ^x4/₆ + 1/₂₄ x - 1 - ^x2/₂ + ^7x4/₂₄ = 1 - ^x2/₂ + ⁵/₂₄x⁴

SOSTITUISCO

[1 - ^x2/₂ + ⁵/₂₄x⁴ - 1 + ^x2/₂] = 5/₂₄x⁴

lim_x→3⁺ ln(x-2)+1 = ln(1)+1 = 0+1 = 1

lim_x→3^- ln(x-2)-1 = ln(1)-1 = 0-1 = -1

X=3 PUNTO ANGOLOSO

lim_x→2⁺ -ln(x-2)-1 = -ln(0⁺)-1 = +∞-1 = +∞

lim_x→2^- 0 = 0

X=2 PUNTO ANGOLOSO

SI RISOLVE

1/2 y² e^{dun x}

y²/2 e^{dun x}

y = ± √(1/2 l e [dun x+c])

SI GENERANO 2 SOLUZIONI

PROBLEMA DI CAUCHY

Y(0) = -2 √2

Y = √2 (1+c) = √2 · √1+c

-2 √2 = √2 · √1+c

√1+c = -2 √2 / √2

√1+c = -2

Y = -√2 (1+c) = -√2 · √1+c

-2 √2 = -√2 · √1+c

√1+c = 2 (-√2) / -√2

(±√1+c)² = 1+c = 4

c = 3