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Esercizi del corso
Elementi di Probabilità e Statistica
2010
Mennucci
28 febbraio 2012
Nel seguito, quando non diversamente specificato, Ω è un insieme non vuoto, τ una algebra su Ω, e
µ una misura su τ .
1 Algebre e Tribù 1 Z
→
1. Definiamo la funzione caratteristica : Ω . Si dimostri che
A
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
− −
= 1 , = , = +
c
A A A∩B A B A∪B A B A B
1 Z Z
→
2. Consideriamo ora invece la funzione caratteristica : Ω a valori in . In questo caso le
A 2 2
precedenti si possono scrivere come
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= + 1 , = , = + +
c
A A A∩B A B A∪B A B A B
\A),
Ricordiamo la definizione della differenza simmetrica A∆B = (A\B)∪(B si mostri che questa
si scrive come 1 1 1
= + .
A∆B A B
Con queste regole di calcolo si mostri che
c c c ⇐⇒
A∆B = B∆A , (A∆B) = A∆(B ) = (A )∆B , A∆B = C A = B∆C
c
∩ ∩ ∩ ∪ ∪ ∩
(A∆B) C = (A C)∆(B C) , A (B∆C) = (A B)∆(A C)
∼
∈
3. Siano A, B τ eventi. Diremo che A B se vale una delle seguenti equivalenti proprietà:
=
• \ \
µ(A B) = µ(B A) = 0
• µ(A∆B) = 0
• ∃C ∈ τ, µ(C) = 0, A = B∆C
∼
Dimostrate inoltre che A B è una relazione di equivalenza.
=
4. τ è un’algebra se e solo se τ è non vuoto e è chiuso rispetto alle operazioni
c
• ∈ ∈
se A τ allora A τ
• ∈ \ ∈
se A, B τ allora A B τ
Se togliamo la prima condizione, τ è un anello, ma non necessariamente un’algebra (esempio: la
famiglia dei sottoinsiemi finiti di Ω). 0 che misurano τ , sia
5. Data un algebra τ su uno spazio Ω, date due misure di probabilità µ e µ
F 0
{A ∈ |
= τ µ(A) = µ (A)}
la famiglia dove concidono. 1
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