Algebra 1 - esercizi

A

→

Viceversa, si dimostri che se ψ : G A è un omomorfismo suriettivo tale che

−1 −1

∈ ∈

per ogni g, h G si ha che ghg h Ker(φ), allora A è abeliano.

→

Esercizio 4.5 Sia Aut(G) l’insieme degli isomorfismi G G. Si dimostri che

è un gruppo rispetto all’operazione di composizione di omomorfismi. Calcolare

≤

Aut(G) quando G è il gruppo ciclico con n elementi, per ogni n 8.

∈

Esercizio 4.6 Sia G un gruppo. Assegnato g G, si consideri l’applicazione

−1

→

ψ : G G definita da ψ (x) = gxg . Si verifichi che ψ è un isomorfismo .

g g g

7→ →

Si dimostri poi che l’associazione g ψ definisce un omomorfismo G Aut(G)

g

il cui nucleo è il centro Z di G.

G 6

Esercizio 4.7 Sia z un numero complesso, z = 0, e si scriva z nella forma

z = r(cos(2πt) + isin(2πt)). Si dimostri che l’applicazione ρ(z) = r definisce

∗ ∗

→

un omomorfismo C R . Se ne calcolino nucleo e immagine e si ottenga

>0

∗ ∗

1 1

' {z ∈

un isomorfismo C /S R dove abbiamo denotato S = C tali che

>0

||z|| = 1}. ∗ →

Perchè non possiamo definire un’applicazione α : C R ponendo α(z) = t ?

∗ →

Dimostrare però che α(z) = Z + t definisce un omomorfismo C R/Z.

Esercizio 4.8 Usare il teorema fondamentale per dimostrare che l’applicazione

→

f : R C definita da f (t) = cos(2πt) + isin(2πt) induce un isomorfismo

1

'

R/Z S . 1 '

Esercizio 4.9 Usare il teorema fondamentale per ottenere un isomorfismo S /{±1}

1 1 {z ∈ ||z||

S , dove come prima S = C tali che = 1}.

∈ 6

Esercizio 4.10 Sia q Q, +, q = 0. Si dimostri che il sottogruppo ciclico

q >

< q > generato da q è sempre infinito. Si dimostri poi che il sottogruppo <

generato dalla classe di q in Q/Z è sempre finito.

Esercizio 4.11 Sia G un gruppo qualunque e sia N un sottogruppo normale

−1 −1

∈ ∈

avente la seguente proprietà: scelti comunque g, h G risulta ghg h N .

Dimostrare che G/N è abeliano.

Esercizio 4.12 Sia G un gruppo finito contenente un numero pari 2n di ele-

menti. Sia N un sottogruppo di G con n elementi. Si dimostri che N è un

sottogruppo normale di G. Che cosa si può dire del gruppo quoziente G/N ?

0

Esercizio 4.13 Siano G e G due gruppi con rispettivi sottogruppi normali H

0 0 0

→ ⊆

e H . Sia dato un omomorfismo φ : G G tale che φ(H) H . Dimostrare

0 0 0

→

che l’applicazione Φ : G/H G /H definita da Φ(Hg) = H φ(g) è ben definita

ed è un omomorfismo.

Esercizio 4.14 Elencare tutti i sottogruppi normali di ∆ e di ∆ . Per cias-

3 4

cuno di essi descrivere il corrispondente gruppo quoziente il più esplicitamente

possibile. 10

Esercizio 4.15 Elencare tutti i sottogruppi normali di Z , + . Per ciascuno di

15

essi descrivere il corrispondente gruppo quoziente il più esplicitamente possibile.

· ×

Esercizio 4.16 Nel gruppo GL(2, R), (gruppo delle matrici 2 2 invertibili

con l’usuale prodotto righe per colonne) si consideri il sottoinsieme:

x y | ∈

H = x, y R, x, y non entrambe nulle

−y x

• Provare che H è un sottogruppo di GL(2, R).

1 0

• Calcolare i laterali Ha e aH individuati dall’elemento a = .

2 1

H è un sottogruppo normale ?

• Il sottoinsieme di H costituito dalle matrici di determinante 1 è un sot-

togruppo normale di H ?

∗

• ·

Indicato con C , il gruppo moltiplicativo dei numeri complessi non nulli,

x y

∗

→

dire se la funzione φ : H C definita da φ( = x + iy è un

−y x

isomorfismo. · ×

Esercizio 4.17 Nel gruppo GL(2, R), (gruppo delle matrici 2 2 a elementi

reali invertibili con l’usuale prodotto righe per colonne) si consideri il sottoin-

sieme:

x y | ∈ 6

H = x, y R, x = 0

0 x

• Provare che H è un sottogruppo di GL(2, R).

1 0 −1

• Considerato l’elemento a = , determinare il sottoinsieme aHa .

2 1

·

E’ un sottogruppo di GL(2, R), ?

• iii)H è un sottogruppo normale ?

∗

• ·

iv) Indicato con C , il gruppo moltiplicativo dei numeri complessi non

x y

∗

→

nulli, dire se la funzione φ : H C definita da φ( = x + iy

0 x

è un omomorfismo. 11

5 GRUPPI: esercizi IV - temi d’esame

Esercizio 5.1 Nel gruppo simmetrico S , si consideri la permutazione

8

1 2 3 4 5 6 7 8

σ = .

3 8 5 7 1 4 2 6

• Calcolare il periodo di σ e stabilire se è pari o dispari.

17

• Determinare una permutazione x tale che σ x = (2, 3).

• In S esistono elementi di periodo 9, 10, 12 ?

8

Esercizio 5.2 Nel gruppo simmetrico S , si consideri la permutazione

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

σ = .

3 8 5 9 6 1 2 7 4

• Calcolare il periodo di σ e stabilire se è pari o dispari.

14

• Determinare una permutazione x tale che σ x = (2, 3, 4).

• In S esistono elementi di periodo 10, 20, 30 ?

9 · ·

Esercizio 5.3 Siano C , =< a > e C , =< b > i gruppi ciclici finiti di

15 20

ordine (rispettivamente) 15 e 20 generati (rispettivamente) da a e da b. Si

consideri la corrispondenza: · → ·

f : C , C ,

15 20

k 4k

7 →

a b

• E’ una funzione? E’ un omomorfismo?

• In caso affermativo trovarne nucleo e immagine.

· ·

Esercizio 5.4 Siano C , =< a > e C , =< b > i gruppi ciclici finiti di ordine

8 12

(rispettivamente) 8 e 12 generati (rispettivamente) da a e da b. Si consideri la

corrispondenza: · → ·

f : C , C ,

8 12

k 3k

7 →

a b

• E’ una funzione? E’ un omomorfismo?

• In caso affermativo trovarne nucleo e immagine.

· ×

Esercizio 5.5 Nel gruppo GL(2, R), (gruppo delle matrici 2 2 invertibili

con l’usuale prodotto righe per colonne) si consideri il sottoinsieme:

1 n | ∈

H = n Z

0 1

12

• Provare che H è un sottogruppo di GL(2, R).

1 0

• Calcolare i laterali Ha e aH individuati dall’elemento a = .

2 1

H è un sottogruppo normale ?

1 n

• → ·

La funzione φ : Z, + H, definita da φ(n) = è un isomor-

0 1

fismo? · ×

Esercizio 5.6 Nel gruppo GL(2, R), (gruppo delle matrici 2 2 invertibili

con l’usuale prodotto righe per colonne) si consideri il sottoinsieme:

t 0 ∗

| ∈

H = t R

−1

0 t

• Provare che H è un sottogruppo di GL(2, R).

1 2

• Calcolare i laterali Ha e aH individuati dall’elemento a = .

0 1

H è un sottogruppo normale ?

t 0

∗

• · →

La funzione φ : R , H definita da φ(t) = è un isomor-

−1

0 t

fismo? · ∼

Esercizio 5.7 Siano G, un gruppo e sia una relazione di equivalenza su G

0 0 0 0

∈ ∼ ∼

compatibile, cioè tale che dati a, b, a , b G, se a a e b b allora si ha

0 0

∼

ab a b .

• {a ∈ | ∼ },

Posto H = G a 1 provare che H è un sottogruppo normale di

G e determinarne i laterali.

• Nel gruppo simmetrico S si provi che la relazione

4 0 0

∼ ⇔

α α αα è pari

è una relazione d’equivalenza compatibile. Chi è in questo caso il sot-

{α ∈ | ∼ }?

togruppo H = S α 1

4

•

Esercizio 5.8 Descrivere il gruppo moltiplicativo U degli elementi invert-

ibili di Z .

8

• Sia G l’insieme delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi in Z della

8

forma:

a 0 |

G = A = ad = 1

c d

Mostrare che G è un gruppo commutativo rispetto alla moltiplicazione

righe per colonne. 13

• Mostrare che l’applicazione →

f : G U

7→

A a

è un omomorfismo di gruppi. Determinarne nucleo e immagine.

•

Esercizio 5.9 Descrivere il gruppo moltiplicativo U degli elementi invert-

ibili di Z .

12

• Si consideri l’applicazione →

f : Z Z

12 12

7 →

k 3k

E’ un omomorfismo di gruppi? In caso affermativo determinarne nucleo e

immagine.

• Determinare tutti gli automorfismi di Z . Rispetto alla usuale legge di

12

composizione formano un gruppo ciclico?

14

6 GRUPPI: esercizi V × →

Esercizio 6.1 Siano G un gruppo, X un insieme e φ : G X X una mappa.

In ciascuno dei seguenti casi dire se la mappa φ definisce un’azione di G su X.

• G = R, + , X = R e φ(t, r) = tr,

• G = R, + , X = R[X] e φ(r, P (X)) = P (X + r),

∗

• ·

G = Q , , X = R e φ(q, r) = qr, −1

• G gruppo qualunque, X = G e φ(g, x) = g xg, a

• G =< g > gruppo ciclico generato da g, X = Z e φ(g , b) = ab,

n a

• G =< g > gruppo ciclico generato da g, X = Z e φ(g , b) = a + b,

n

n a

• {z ∈

G = Z , + , X = C|z = 1} e φ(a, z) = z ,

n 2 3 2 2 2

• {±1}, · {(x, ∈

G = , X = S = y, z) R tali che x + y + z = 1} (la

3 ±P

sfera in R ) e φ(±1, P ) = .

∗ ·

Esercizio 6.2 Sia G = C , e X = C. Verificare che la mappa φ(z, w) = zw

∈

definisce un’azione. Di ciascun w C si determinino orbita e stabilizzatore.

∗ ·

Esercizio 6.3 Sia G = R , e X = C. Verificare che la mappa φ(z, w) = zw

∈

definisce un’azione. Di ciascun w C si determinino orbita e stabilizzatore.

1 ·

Esercizio 6.4 Sia G = S , e X = C. Verificare che la mappa φ(z, w) = zw

∈

definisce un’azione. Di ciascun w C si determinino orbita e stabilizzatore.

Esercizio 6.5 Se d divide n, il gruppo diedrale ∆ agisce sui vertici del poligono

d

regolare con n lati. Calcolare il numero delle orbite nei casi d = 3, n = 6 e

d = 3, n = 9. 2 7→ ·

Esercizio 6.6 Si consideri l’azione di SO(2) su R definita da (A, v) A v =

Av , dove v indica il vettore colonna delle componenti: Calcolare l’orbita del

punto (2, 0). {1,

Esercizio 6.7 Il gruppo G =< (1, 2, 3)(4, 5) > agisce sull’insieme X = 2, 3, 4, 5}.

∈

Determinare l’orbita e lo stabilizzatore di ciascun elemento k X.

Esercizio 6.8 Siano G = X = S con l’azione