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Algebra 1 - esercizi Appunti scolastici Premium

Esercizi per l'esame della professoressa Terracini: Esercizio 1.1 Costruire tutte le possibili partizioni dell’insieme I = {1, 2, 3}. Esercizio 1.2 Siano I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e A = {2, 3, 4}  I. Quanti sottoinsiemi B  I si possono costruire tali che A [ B = {2, 3, 4, 5}? Quanti sottoinsiemi B  I si possono costruire tali che A \ B = {2, 3}? Quanti sottoinsiemi B  I si possono costruire... Vedi di più

Esame di Algebra 1 docente Prof. L. Terracini

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ESTRATTO DOCUMENTO

−1

(é una funzione? é iniettiva? é suriettiva?) Si determini inoltre g (1) sia

analiticamente che graficamente. → ×

h : N Z Z

7→ −n)

n = (2n,

(é iniettiva? é suriettiva? qual é la sua immagine?) 2

−→

Esercizio 1.7 Date le funzioni f : R R definita da f (x) = 2x + 1 e

−→ −

g : R R definita da g(x) = x 1 , si calcolino le funzioni composte gof e

f og e se ne studino le proprietá. 2

−→

Esercizio 1.8 Date le corrispondenze f : Z Z definita da f (x) = (2x, x)

2 −→

e g : Z Z definita da g(x, y) = xy , si determini gof e se ne studino le

−1

proprietá. Si calcoli (gof ) (2).

Esercizio 1.9 Studiare le proprietá di ciascuna delle seguenti relazioni e, nel

caso si tratti di una relazione di equivalenza, determinarne la classi:

⇐⇒ − ∈

i) in R xσy x y Z

⇐⇒

ii) in R xσy E(x) = E(y) dove E(x) é la parte intera di x, cioé il

massimo intero minore di x

⇐⇒ − ∈

iii) in Z xσy x y = 5k con k Z

0 0 0 0 0

2 ⇐⇒ ≤

iv) in R (x, y)σ(x , y ) x < x oppure x = x e y y

0 0 0

2 ⇐⇒ ≤

v) in R (x, y)σ(x , y ) x x

0 0 02 02

2 2 2

⇐⇒

vi) in R (x, y)σ(x , y ) x + y = x + y

0 0 0 0

× − {0}) ⇐⇒

vii) in Z (Z (x, y)σ(x , y ) xy = x y

− {0} − {0}

Esercizio 1.10 In ciascuno degli insiemi N e Z si consideri la

relazione: ⇐⇒

aσb a|b e b|a

Si provi che é una relazione di equivalenza e se ne trovino le classi.

×

Esercizio 1.11 In R R si consideri la relazione

⇐⇒ − ∈ − ∈

(a, b)σ(c, d) a c Z e b d Z

Si provi che é una relazione di equivalenza e si trovi la classe di (0, 0).

Esercizio 1.12 Usando il principio di induzione si provi che per ogni numero

naturale n si ha: 1 1 1 1

+ + ..... + = 2

0 1 n n

2 2 2 2

PARTE II

Esercizio 1.13 Determinare, quando esistono, gli inversi moltiplicativi degli

elementi di Z .

9 2

Esercizio 1.14 Determinare le soluzioni intere delle seguenti equazioni

i) 3x-4y = 1

ii) 2x-6y = 4

iii) 2x-3y =5

iv) 2x-4y = 3

Esercizio 1.15 Risolvere, ove possibile, i seguenti sistemi di congruenze

x 7 mod 13

n ≡

x 2 mod 15

x 5 mod 3

n ≡

x 2 mod 5 14 in Z e in Z .

Esercizio 1.16 Trovare, se possibile, l’inverso di 49 41

15x = 7.

Esercizio 1.17 In Z risolvere, se possibile, l’equazione

22

Esercizio 1.18 In Z risolvere, se possibile, le equazioni

8 7x = 2; 2x = 7; 2x = 4.

Esercizio 1.19 a) Trovare, se possibile, tutti gli interi x tali che

x 4 mod 8

n ≡

x 2 mod 6

b) Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione in Z

7

2x = 3.

Esercizio 1.20 a)Trovare, se possibile, tutti gli interi x tali che

x 4 mod 7

n ≡

x 2 mod 5

b) Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione in Z

14

2x = 4.

110 86

Esercizio 1.21 Calcolare 13 mod 19 e 25 mod 29.

Esercizio 1.22 Calcolare φ(306) e φ(90).

Esercizio 1.23 Dimostrare che

≡ ⇐⇒

7x x mod 4 x é pari 3

Esercizio 1.24 Dimostrare che per ogni intero n si ha: a) 2 divide n + n

2

b) 4 non divide n + 5 .

PARTE III

Esercizio 1.25 Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi:

√ √

√ −

2 i 2 , 1+ i 3

. 3 −1 2

−z,

Esercizio 1.26 Dato z = ρ(cosθ + isinθ) disegnare z , z + 2, z .

Esercizio 1.27 Individuare nel piano complesso i seguenti insiemi:

{z ∈

A = C||z| < 3}

6

{z ∈ ∈

B = C|z R}

.

Esercizio 1.28 Determinare le radici quarte di -1. 4 −1.

Esercizio 1.29 Determinare tutti i numeri complessi z tali che (z+2−i) =

PARTE IV 3 3

→ −

Esercizio 1.30 Sia f : R R la funzione definita da f ((x, y, z)) = (x

y, 2y 2x, z). Provare che è una applicazione lineare, determinarne la matrice

associata e trovarne nucleo e immagine.

Esercizio 1.31 In ciascuno dei casi seguenti, stabilire se è possibile costruire

applicazioni lineari che soddisfino le condizioni indicate e, in caso ne esistano

più di una, trovarne almeno due distinte:

4 3

i) f : R R suriettiva tale che Ker(f ) = R(1, 0, 1, 0).

2 2

ii) g : R R tale che Im(g) = R(1, 1).

3 3

iii) h : R R tale che Im(h) sia generata dai vettori (1, 1, 1) e (−1, 2, 0).

2 2

×R →

Esercizio 1.32 La funzione φ : R R definita da φ((u , u ), (v , v )) =

1 2 1 2

2u v +u v è una forma bilineare? E’ un prodotto scalare? In caso affermativo,

1 1 2 2

i vettori (1, 0) e (0, 1) formano una base ortonormale rispetto a φ?

4

2 GRUPPI: esercizi I

Esercizio 2.1 In ciascuno dei seguenti problemi è assegnato un insieme G e

∗ × →

un’operazione : G G G. Dire se l’operazione definisce una struttura di

gruppo su G ed in caso affermativo dire se si tratta di un gruppo finito o infinito,

commutativo o no.

P(X), ∗

1. G = l’insieme delle parti di un insieme X non vuoto, e A B =

A B. ∗ − −

2. G = Z con m n = mn m n.

3. G = Z con m n = 2m + n.

× ∗

4. G = Z Z con (m , n ) (m , n ) = (m + m , n + n ).

1 1 2 2 1 2 1 2

{1, −1} ∗

5. G = con m n = mn. ∗

6. G l’insieme dei punti del piano euclideo con P Q = punto medio del

6 ∗

segmento P Q se P = Q e P Q = P = Q se P = Q. 0 0

n

{ζ ∈ | ∗

7. Fissato un intero n > 1, G = µ = C ζ = 1} con ζ ζ = ζζ

n

(insieme delle radici n-me dell’unità con l’operazione di prodotto).

1 x ∈ ∗

8. G = M (2, R) con A B = AB (prodotto righe per

0 1

colonne).

· ∗ ·

9. G, gruppo e x y = y x.

Esercizio 2.2 Sia G = Z, +, fissato un intero n > 1, per ciascuno dei seguenti

sottoinsiemi dire se si tratta di un sottogruppo:

• {h ∈ | ≡

H = Z h 0 mod n},

0

• {h ∈ | ≡

H = Z h 1 mod n},

00

• {h ∈ | |h| ≥

H = Z n}.

Esercizio 2.3 Sia G = Z , +, per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi dire se si

10

tratta di un sottogruppo:

• H = sottoinsieme delle classi che ammettono un rappresentante pari,

0

• {0, 3, 4, 7}.

H =

Esercizio 2.4 Sia G = Q, +, per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi dire se si

tratta di un sottogruppo:

• H = Z,

0 a | ∈

• { a, n Z},

H = n

7 5

00 ab

• { | }.

H = b = 1 oppure b è primo

Esercizio 2.5 Sia G = R, +, per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi dire se si

tratta di un sottogruppo:

• H = Q,

0 x

• {x ∈ | ∈

H = R e Q},

00 2

• {x ∈ | ∈

H = R x Q}.

∗ · ·,

Esercizio 2.6 Sia G = R , = R−{0}, per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi

dire se si tratta di un sottogruppo:

• H = sottoinsieme dei numeri interi dispari,

√ √

0 ∗

• {a ∈ | ∈

H = Q[ 5] = + b 5 R a, b Q},

00 Z n

• {π | ∈

H = π = n Z}.

∗ · ·,

Esercizio 2.7 Sia G = C , = C−{0}, per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi

dire se si tratta di un sottogruppo:

• {z ∈ | ||z|| }

H = C = 1 ,

0 n

• {z ∈ | },

H = C z = 1 per un n > 1 intero fissato,

00 n

• {z ∈ | },

H = C z = 1 , per qualche intero n

000

• {a ∈ | ≥

H = + bi C b 0}, ×

Esercizio 2.8 Sia G = GL(2, R) il gruppo delle matrici invertibili 2 2 a

elementi reali, con l’operazione prodotto righe per colonne. Per ciascuno dei

seguenti sottoinsiemi stabilire se si tratta di un sottogruppo:

• ∩

H = G M (2, Z) ,

0

• {g ∈ | },

H = G det(g) = 1

a b

00

• ∩

H = G.

0 d

Esercizio 2.9 Sia G = R[X], + il gruppo dei polinomi a coefficienti reali. Per

ciascuno dei seguenti sottoinsiemi stabilire se si tratta di un sottogruppo:

• ≤

H = sottoinsieme dei polinomi di grado d fissato ,

0

• H = Q[X],

00

• {P ∈ | }.

H = (X) R[X] P (X) ha termine noto intero

6

3 GRUPPI: esercizi II

Esercizio 3.1 Sia C il gruppo ciclico con 20 elelemti e sia g un generatore.

20

Trovare tutti i generatori di C

20 30 48

Esercizio 3.2 Sia C =< g > e sia H =< g , g > il sottogruppo generato

240

30 48

da g e da g . Determinare un generatore di H e il suo ordine.

Esercizio 3.3 Trovare tutti i sottogruppi di Z , + e di Z , +.

15 30

Esercizio 3.4 Per ogni n sia G il gruppo degli elementi invertibili di Z .

n n

Stabilire se G , G , G , G , G sono ciclici.

3 5 7 8 9

Esercizio 3.5 Dimostrare che il gruppo additivo Q, + non è ciclico.

∗ ·

Esercizio 3.6 Dimostrare che il gruppo moltiplicativo Q , non è ciclico.

Esercizio 3.7 Si scelgano n elementi arbitrari q , . . . , q in Q . E’ possibile

1 n

che il gruppo < q , . . . , q > da essi generato sia tutto Q ?

1 n ∗

∈ 6

Esercizio 3.8 Sia z C un elemento di modulo = 1. E’ vero che il sot-

n

{z | ∈

togruppo ciclico < z >= n Z} è sempre infinito?

∈ − {m | ∈

Esercizio 3.9 Sia w C R e sia L = + nw m, n Z}. Si dimostri che

L è un sottogruppo additivo di C.

Esercizio 3.10 Nel gruppo simmetrico S si considerino i seguenti elementi

7

1 2 3 4 5 6 7

α = 3 7 4 1 6 2 5

1 2 3 4 5 6 7

β = 4 2 3 7 6 1 5

1 2 3 4 5 6 7

γ = 2 3 7 4 6 1 5

i) determinare gli inversi di α, β, γ,

ii) determinarne il periodo,

iii) trovare una permutazione δ tale che (αβ)δ = γ.

Esercizio 3.11 Calcolare il periodo e l’inverso dei seguenti elementi in S .

5

(12)(34), (145)(23), (1234)(45), (13)(345)

Esercizio 3.12 Calcolare l’ordine dei seguenti elementi di S e dire se si tratta

6

di permutazioni pari o dispari.

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

,

3 6 4 1 5 2 4 6 1 5 3 2

7

Esercizio 3.13 Dire se in S e in S esistono elementi di ordine 7, 8, 9, 10, 11, 12.

7 8

Esercizio 3.14 Dire se S possiede un sottogruppo ciclico di ordine 78.

18

Esercizio 3.15 Nel gruppo GL(2, R) si trovino le soluzioni delle equazioni.

0 1 2 1

X = (1)

1 0 0 1

0 1 2 1

Y = (2)

1 0 0 1

Esercizio 3.16 In GL(2, R) si determini il sottogruppo ciclico generato da

2 0 .

0 1 √ !

3 1

2 2

√ .

Esercizio 3.17 In O(2) si determini il sottogruppo ciclico generato da 3

1

2 2

1 2 .

Esercizio 3.18 In GL(2, Z ) si determini il periodo di

5 3 4

1 2 0 1

Esercizio 3.19 In GL(2, Z ) si risolva l’equazione X = .

5 3 4 2 1

Esercizio 3.20 Nel gruppo diedrale ∆ , quanti sono gli elementi di periodo 2?

n a

Esercizio 3.21 Ogni elemento di ∆ si può scrivere nella forma g = r s dove

n 2π

∈ {0, − ∈ {0, e s è una

a 1, . . . , n 1}, 1}, r è la rotazione di un angolo di n

simmetria assiale. →

L’applicazione φ : ∆ Z definita da φ(g) = a è un omomorfismo?

n n

L’applicazione ψ : ∆ Z definita da ψ(g) = è un omomorfismo?

n 2 ≤

Esercizio 3.22 Trovare tutti i sottogruppi di ordine 4 in ∆ per n 6.

n

Esercizio 3.23 Si considerino le seguenti corrispondenze:

→ →

f : Z , + Z , + , g : Z , + Z , +

8 8 8 8

7→ 7→

n 2n n 3n

• Dimostrare che si tratta di omomorfismi.

• Trovarne nucleo e immagine. ×

Esercizio 3.24 i) Indicato con O(2) il gruppo delle matrici ortogonali 2 2, si

−→ ·

consideri la funzione f : R, + O(2), definita da

−sint

cost .

f (t) = sint cost

Si provi che f é un omomorfismo di gruppi.

ii) Determinare il nucleo e l’immagine di f .

{nπ | ∈

iii) Sia H = n Z}. Verificare che si tratta di un sottogruppo e trovarne

l’immagine f (H). 8

4 GRUPPI: esercizi III →

Esercizio 4.1 In ciascuno dei seguenti casi dire se la mappa φ : G H asseg-

nata è un omomorfismo di gruppi oppure no.

2

• G = Q, + , H = Q, + e φ(q) = q .

∗ ∗

• G = R , . , H = R , . e φ(r) = 1/r.

• G = R[X], + , H = R, + e φ(P (X)) = P (π).

• {±1}, ±1.

G = . , H = R, + e φ(±1) = n 2n

• G = H =< g > gruppo ciclico di ordine 10, e φ(g ) = g .

• G =< g > gruppo ciclico di ordine 10, H =< h > gruppo ciclico di ordine

n 3n

8, e φ(g ) = h .

1 t

• G = R, + , H = GL(2, R) e φ(t) = .

0 1

1 t

• G = R, + , H = GL(2, R) e φ(t) = .

t 1 →

Esercizio 4.2 Verificare che le seguenti mappe φ : G H sono omomorfismi

e determinarne il nucleo il più esplicitamente possibile.

∗ x

• G = R, + , H = R , . e φ(x) = e .

• × −

G = Z Z, + , H = Z, + e φ((a, b)) = a b n 2n

• G = H =< g > gruppo ciclico di ordine 18, e φ(g ) = g .

• G =< g > gruppo ciclico di ordine 18, H = µ il gruppo delle radici seste

6

n n

n

dell’unità e φ(g ) = cos(π ) + isin(π ) per n = 0, 1, . . . , 17.

3 3

• G = R, + , H = C , . e φ(t) = cos(2πt) + isin(2πt).

• G = H = C , . e φ(z) = z/z

∗ ∗ 2 2

• {a ∈ | ∈

G = + ib C a, b Q}, . , H = Q , . e φ(a + ib) = a + b .

2 2

 

a 2ab b

a b

• ac ad + bc bd

G = GL(2, R), . , H = GL(3, R) e φ = .

 

c d 2 2

c 2cd d

Esercizio 4.3 Provare che la corrispondenza f : Z , + Z , . definita da

6 7

n

2 è una funzione ed è un omomorfismo di gruppi. Determinarne il

f (n) =

nucleo e l’immagine. 9

Esercizio 4.4 Sia ψ : G A un omomorfismo di gruppi e supponiamo A

−1 −1 ∈

abeliano. Si dimostri allora che ψ(ghg h ) = 0 per ogni g e h G.

A

Viceversa, si dimostri che se ψ : G A è un omomorfismo suriettivo tale che

−1 −1

∈ ∈

per ogni g, h G si ha che ghg h Ker(φ), allora A è abeliano.

Esercizio 4.5 Sia Aut(G) l’insieme degli isomorfismi G G. Si dimostri che

è un gruppo rispetto all’operazione di composizione di omomorfismi. Calcolare

Aut(G) quando G è il gruppo ciclico con n elementi, per ogni n 8.

Esercizio 4.6 Sia G un gruppo. Assegnato g G, si consideri l’applicazione

−1

ψ : G G definita da ψ (x) = gxg . Si verifichi che ψ è un isomorfismo .

g g g

7→ →

Si dimostri poi che l’associazione g ψ definisce un omomorfismo G Aut(G)

g

il cui nucleo è il centro Z di G.

G 6

Esercizio 4.7 Sia z un numero complesso, z = 0, e si scriva z nella forma

z = r(cos(2πt) + isin(2πt)). Si dimostri che l’applicazione ρ(z) = r definisce

∗ ∗

un omomorfismo C R . Se ne calcolino nucleo e immagine e si ottenga

>0

∗ ∗

1 1

' {z ∈

un isomorfismo C /S R dove abbiamo denotato S = C tali che

>0

||z|| = 1}. ∗ →

Perchè non possiamo definire un’applicazione α : C R ponendo α(z) = t ?

∗ →

Dimostrare però che α(z) = Z + t definisce un omomorfismo C R/Z.

Esercizio 4.8 Usare il teorema fondamentale per dimostrare che l’applicazione

f : R C definita da f (t) = cos(2πt) + isin(2πt) induce un isomorfismo

1

'

R/Z S . 1 '

Esercizio 4.9 Usare il teorema fondamentale per ottenere un isomorfismo S /{±1}

1 1 {z ∈ ||z||

S , dove come prima S = C tali che = 1}.

∈ 6

Esercizio 4.10 Sia q Q, +, q = 0. Si dimostri che il sottogruppo ciclico

q >

< q > generato da q è sempre infinito. Si dimostri poi che il sottogruppo <

generato dalla classe di q in Q/Z è sempre finito.

Esercizio 4.11 Sia G un gruppo qualunque e sia N un sottogruppo normale

−1 −1

∈ ∈

avente la seguente proprietà: scelti comunque g, h G risulta ghg h N .

Dimostrare che G/N è abeliano.

Esercizio 4.12 Sia G un gruppo finito contenente un numero pari 2n di ele-

menti. Sia N un sottogruppo di G con n elementi. Si dimostri che N è un

sottogruppo normale di G. Che cosa si può dire del gruppo quoziente G/N ?

0

Esercizio 4.13 Siano G e G due gruppi con rispettivi sottogruppi normali H

0 0 0

→ ⊆

e H . Sia dato un omomorfismo φ : G G tale che φ(H) H . Dimostrare

0 0 0

che l’applicazione Φ : G/H G /H definita da Φ(Hg) = H φ(g) è ben definita

ed è un omomorfismo.

Esercizio 4.14 Elencare tutti i sottogruppi normali di ∆ e di ∆ . Per cias-

3 4

cuno di essi descrivere il corrispondente gruppo quoziente il più esplicitamente

possibile. 10

Esercizio 4.15 Elencare tutti i sottogruppi normali di Z , + . Per ciascuno di

15

essi descrivere il corrispondente gruppo quoziente il più esplicitamente possibile.

· ×

Esercizio 4.16 Nel gruppo GL(2, R), (gruppo delle matrici 2 2 invertibili

con l’usuale prodotto righe per colonne) si consideri il sottoinsieme:

x y | ∈

H = x, y R, x, y non entrambe nulle

−y x

• Provare che H è un sottogruppo di GL(2, R).

1 0

• Calcolare i laterali Ha e aH individuati dall’elemento a = .

2 1

H è un sottogruppo normale ?

• Il sottoinsieme di H costituito dalle matrici di determinante 1 è un sot-

togruppo normale di H ?

• ·

Indicato con C , il gruppo moltiplicativo dei numeri complessi non nulli,

x y

dire se la funzione φ : H C definita da φ( = x + iy è un

−y x

isomorfismo. · ×

Esercizio 4.17 Nel gruppo GL(2, R), (gruppo delle matrici 2 2 a elementi

reali invertibili con l’usuale prodotto righe per colonne) si consideri il sottoin-

sieme:

x y | ∈ 6

H = x, y R, x = 0

0 x

• Provare che H è un sottogruppo di GL(2, R).

1 0 −1

• Considerato l’elemento a = , determinare il sottoinsieme aHa .

2 1

·

E’ un sottogruppo di GL(2, R), ?

• iii)H è un sottogruppo normale ?

• ·

iv) Indicato con C , il gruppo moltiplicativo dei numeri complessi non

x y

nulli, dire se la funzione φ : H C definita da φ( = x + iy

0 x

è un omomorfismo. 11

5 GRUPPI: esercizi IV - temi d’esame

Esercizio 5.1 Nel gruppo simmetrico S , si consideri la permutazione

8

1 2 3 4 5 6 7 8

σ = .

3 8 5 7 1 4 2 6

• Calcolare il periodo di σ e stabilire se è pari o dispari.

17

• Determinare una permutazione x tale che σ x = (2, 3).

• In S esistono elementi di periodo 9, 10, 12 ?

8

Esercizio 5.2 Nel gruppo simmetrico S , si consideri la permutazione

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

σ = .

3 8 5 9 6 1 2 7 4

• Calcolare il periodo di σ e stabilire se è pari o dispari.

14

• Determinare una permutazione x tale che σ x = (2, 3, 4).

• In S esistono elementi di periodo 10, 20, 30 ?

9 · ·

Esercizio 5.3 Siano C , =< a > e C , =< b > i gruppi ciclici finiti di

15 20

ordine (rispettivamente) 15 e 20 generati (rispettivamente) da a e da b. Si

consideri la corrispondenza: · → ·

f : C , C ,

15 20

k 4k

7 →

a b

• E’ una funzione? E’ un omomorfismo?

• In caso affermativo trovarne nucleo e immagine.

· ·

Esercizio 5.4 Siano C , =< a > e C , =< b > i gruppi ciclici finiti di ordine

8 12

(rispettivamente) 8 e 12 generati (rispettivamente) da a e da b. Si consideri la

corrispondenza: · → ·

f : C , C ,

8 12

k 3k

7 →

a b

• E’ una funzione? E’ un omomorfismo?

• In caso affermativo trovarne nucleo e immagine.

· ×

Esercizio 5.5 Nel gruppo GL(2, R), (gruppo delle matrici 2 2 invertibili

con l’usuale prodotto righe per colonne) si consideri il sottoinsieme:

1 n | ∈

H = n Z

0 1

12


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DESCRIZIONE ESERCITAZIONE

Esercizi per l'esame della professoressa Terracini: Esercizio 1.1 Costruire tutte le possibili partizioni dell’insieme I = {1, 2, 3}. Esercizio 1.2 Siano I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e A = {2, 3, 4}  I. Quanti sottoinsiemi B  I si possono costruire tali che A [ B = {2, 3, 4, 5}? Quanti sottoinsiemi B  I si possono costruire tali che A \ B = {2, 3}? Quanti sottoinsiemi B  I si possono costruire tali che si abbia contemporaneamente A [ B = {2, 3, 4, 5} e A \ B = {2, 3}?


DETTAGLI
Esame: Algebra 1
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
Università: Torino - Unito
A.A.: 2006-2007

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Erippo di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Torino - Unito o del prof Terracini Lea.

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