Affidabilità e sicurezza delle macchine - Paniere, domande aperte

Parlare della Distribuzione Log-normale La distribuzione log-normale è la distribuzione di una variabile

Y il cui logaritmo naturale X=log(Y) segue una distribuzione normale. Dalla definizione di distribuzione

normale: -> Questa distribuzione è

spesso usata per descrivere la vita a fatica di componenti meccanici con F(y) calcolata come integrale di f(y).

Gli indicatori di tendenza e dispersione vengono calcolati per la distribuzione. Valore atteso = E(Y)=

e^[ù+(ò^2/2)]; Varianza= Var(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2->e^(2ù+ò^2) (e^ò2-1); la moda= e^(ù-ò^2) e la mediana

e^ù.

Parlare della Distribuzione Esponenziale distribuzione La distribuzione esponenziale rappresenta

perfettamente i danneggiamenti casuali dei prodotti ed è usata nel caso in cui il tasso di guasto sia

indipendente dal tempo (costante). h(t) = λ ; I componenti non sono soggetti ad invecchiamento essendo privi

di memoria inerente al funzionamento. Tale distribuzione negativa è usata principalmente per i componenti

elettrici/elettronici. Nella versione ad un solo parametro λ (>0) , la funzione densità di probabilità della

variabile aleatoria t è espressa come: f(t)=λ e^(-delta t) con 0 ≤ t < +∞ Per l’esponenziale, essendo h(t)

Ricavare l'espressione del MTTF per una distribuzione Esponenziale

costante e uguale a λ, si può scrivere MTTF= 1/h=1/λ -> MTTF ∫(infinito e 0) R (t) dt ->

Parlare della Distribuzione Weibull La distribuzione di Weibull è la più utilizzata per la stima

dell’affidabilità dei componenti per l’elevata versatilità che la contraddistingue. E' caratterizzata da 3

parametri identificativi: Il parametro β, chiamato parametro di forma, che identifica la forma della

distribuzione; Il parametro di scala α, che modifica la scalatura orizzontale della distribuzione; Il parametro

t0, chiamato parametro di spostamento, che sposta il punto di partenza della distribuzione. Inoltre è molto

usata per la sua flessibilità: per β = 1, è una esponenziale negativa; per β = 2, è simile ad una log-normale; per

3.5 < β < 4, è simile ad una gaussiana. E' caratterizzata anche dall'effetto scala cioè un sistema costituito da n

componenti in serie, la cui affidabilità è descritta da da una weibull di parametri a e b, allora l'affidabilità

all'interno del sistema è descritta da parametri b e a(tot)=a/n^(1/b).

Ricavare il tasso di guasto per una distribuzione di Weibull

Si definisce distribuzione χ2 a ν gradi di libertà la

Scrivere le definizioni di "Chi quadrato" e "t student"

distribuzione di una variabile aleatoria calcolata come somma dei quadrati di variabili

aleatorie gaussiane Xi con μ=0 e σ=1: X^2apice(v)= X^2pedice(1)+X^2pedice(2)+...X^2pedice(v). ->

Si definisce distribuzione t di Student con ν gradi di libertà la distribuzione di una variabile aleatoria T

definita come:

..................................................................................................................................................................................

................................................................dove Z e V sono variabili aleatorie distribuite rispettivamente secondo

una gaussiana con μ=0 e σ = 1 ed una χ2 a ν gradi di libertà. -> δ = 3 δ = 3

La SEVD è utilizzata per descrivere, in modo asintotico, i risultati minimi assunti dalla ripetizione di

un esperimento aleatorio. Parlare degli effetti dei parametri ? e ? mediante una rappresentazione

La SEVD : I parametri δ e λ sono detti, rispettivamente, parametri di forma e posizione. Nel caso λ

grafica.

sia fisso si ha: λ= 20 (entrambi) δ = 3 δ = 3

La LEVD è utilizzata per descrivere, in modo asintotico, i risultati massimi assunti dalla ripetizione di

un esperimento aleatorio. Parlare degli effetti dei parametri ? e ? mediante una rappresentazione

La LEVD: I parametri δ e λ sono detti, rispettivamente, parametri di forma e posizione. I parametri δ

grafica.

e λ sono detti, rispettivamente, parametri di forma e posizione. Nel caso λ sia fisso si ha: λ=20 (entrambi)

Considerando due variabili continue X e Y, si definisce la covarianza il momento di secondo ordine

sulle medie; trascrive in formule la definizione appena data.

Algebra delle variabili casuali, parlare delle variabili multiple. Considerando due variabili continue X e

Y, la densità di probabilità congiunta moltiplicata per dx·dy -> f (pedice) X,Y(x,y) ∙ dx ∙ dy rappresenta la

probabilità di estrazione della coppia di valori x,y in un intervallo dx·dy. In teoria della probabilità la

covarianza di due variabili aleatorie è un numero Cov(X,Y) che misura la variazione della dipendenza

pertanto considerando due variabili continue X e Y, si definisce la covarianza il momento di secondo ordine

sulle medie. Il coefficiente di correlazione indica il grado di relazione lineare tra le due variabili.

Parlare del Coefficiente di determinazione Se definiamo definendo invece il TSS (total sum of squares, o

con y a rappresentare la media di tutti i valori osservati di y Si arriva

devianza totale) TSS =∑(y(pedice)i-ȳ)^2

a determinare il coefficiente di determinazione: R^2= 1- RSS/TSS; A seconda del valore che assume il

coefficiente di determinazione si ha: R^2 < 0.5 = Correlazione lineare non significativa; 0.5< R^2< 0.9 =

Correlazione lineare modesta ; R^2 > 0.9 = Correlazione lineare forte.

Il calcolo dell’errore complessivo avviene attraverso la somma degli scarti

Parlare dell'errore Standard

quadratici: (residual sum of squares, o devianza residua) -------------------------->

L’errore standard, che dà una misura della dispersione dei punti attorno alla retta, vale:

SY|X è quindi una stima della deviazione standard dell’errore

L’analisi di regressione lineare serve a determinare una relazione di tipo

Parlare della Regressione lineare

lineare tra due variabili X e Y. Se X è la variabile indipendente (allungamento) si cerca di verificare se vi è

una relazione lineare con la variabile dipendente Y (carico misurato) del tipo: Y=a(pedice 1) x + a (pedice 0)

+ ε ; dove ε rappresenta una variabile errore casuale con media nulla. Con a disposizione y1, y2 yn

osservazioni della variabile dipendente corrispondenti a x1 x2 xn si cerca di trovare i coefficienti migliori a1 e

a0 possibili in modo da ridurre lo scarto tra i valori osservati in Y e quelli stimati. Ponendo uguale a zero le

due derivate si ottiene un sistema nelle due incognite a1 e a0, che risolto porta alla conclusione che a0 e a1

sono i coefficienti della miglior retta interpolante i punti assegnati.

Cosa sono le carte di probabilità e come possono essere usate? La carta di probabilità è uno strumento

per valutare i parametri di una distribuzione a partire dai dati ottenuti con realizzazione campionarie 1 A tale

scopo occorre effettuare un cambio di coordinate linearizzando la relazione tra percentili e probabilità

cumulata 2 Tramite la regressione lineare è possibile stabilire quindi i parametri dei modelli statistici o

distribuzioni di interesse 3 Si può inoltre calcolare l’indice di determinazione o di correlazione per valutare

quanto la distribuzione si adatti ai dati reali di partenza.

Cosa è e come si definisce la probabilità cumulata empirica ? Si definisce la probabilità cumulata

empirica come: q(y pedice i)= q (pedice) i = i / n + 1. per n > 10 ; q(y pedice i)= q (pedice) i = i - 0,3/ n +

0,4. per n <= 10; n+1 ed n+0.4 servono a correggere il fatto che si avrebbe q=100% per il valore più alto dei

campioni. La probabilità cumulata empirica è una stima della cumulata della

popolazione F(y), I dati sperimentali o osservati, possono essere successivamente organizzati

sotto forma di carte di probabilità per determinare i parametri della distribuzione f(y) incognita. Nel caso in cui c'è

Se le distribuzioni di sforzo (L) e di resistenza (S) sono gaussiane o normali, allora si può calcolare

facilmente il valore della probabilità di rottura Pf dell'oggetto in esame (o la sua affidabilità). Mostare

graficamente qundo c'è e non c'è la probabilità di rottura.

.......................................................................................................................NON C'E'

Loading Roughness (LR) e Safety Margin Nel caso si variabili gaussiane, si può definire il parametro

Loading Roughness (LR) come: --------------------

..................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................che rappresenta quanto il carico sia

“distribuito” rispetto alla resistenza LR = 0 significa che la resistenza è molto più “dispersa” rispetto al carico;

LR = 1 significa che il carico è molto più disperso “rispetto” alla resistenza. Il safety margin rappresenta

invece il corretto calcolo della probabilità di rottura.In funzione del safety margin l'andamento della

probabilità di rottura con SM=0 significa che le gaussiane del carico e della resistenza hanno lo stesso valore

medio -> 50% di probabilità di rottura.

Sistemi in serei E' un sistema costituito da n elementi collegati in serie e va fuori uso quando uno dei suoi

componenti si rompe. L'affidabilità tot. è data dal prodotto delle singole affidabilità pertanto all'aumentare dei

componenti essa si riduce. Il tasso di guasto medio può essere calcolato come la somma dei singoli tassi medi

di guasto.

Schema a blocchi Nel caso di sistemi semplici questi possono essere schematizzati secondo dei blocchi, quali

rappresentano i diversi componenti che possono essere collegati tra loro in serie o in parallelo a seconda della

logica di funzionamento. Considerando per esempio un sistema di regolazione e distribuzione: 1 la

distribuzione finale è data da 2 pompe in parallelo; 2 La regolazione a monte è gestita da un loop controllato a

sua volta da una centralina e pilotata da un sensore, pertanto tutti gli elementi del loop ai fini del

funzionamento possono essere considerati in serie.

Immaginare un sistema e rappresentarlo mediante una struttura a blocchi

Sistemi in parallelo Un sistema costituito da n elementi collegati in parallelo va fuori uso quando tutti i suoi

componenti si rompono. La probabilità di cedimento è data dal prodotto delle singole probabilità di rottura

(elementi indipendenti). L'affidabilit&agrav