1 Misure di Resistenza di Valore Piccol corretta

J

6

c= 3,6∙10 3

m K ff

Risolvendo quindi l’equazione di erenziale si ricava un’espressione del tipo

−t

τ

θ(t)=A e

Dall’omogenea associata si ricava la costante di tempo termica

c ∙ Vol

τ= = 408,8478125 s

k ∙ S tot

A regime la variazione di temperatura è praticamente nulla.

Ricordando che I = G Sez, dove con G si indica la densità di corrente media, si ha

⋅

2 2

RI =ρ ∙ L ∙ G ∙ Sez=k ∙ S (θ – θ )

tot reg amb

dalla quale si ricava che, posto Δθ =θ – θ

M reg amb

2

ρ∙ L∙ G ∙ Sez

Δθ = k ∙ S

M tot

Infine si calcola il valore di A . Ponendo che la condizione iniziale

della temperatura sia θ(0) = θ si ottiene che

amb

θ(0) = A + θ + Δθ e quindi A =−Δθ

amb M M

La soluzione finale dell’equazione differenziale è dunque

−t

τ

Δθ(t) = Δθ (1 − )

e

M

Si aggiunge un ulteriore vincolo. Dato che la resistività varia conla temperatura e che

la temperatura aumenta al crescere della corrente circolante, si impone che la

variazione di temperature della sbarretta non superi il valore massimo di

Δθ = 0.5 K

lim

Si particolarizza quindi questo procedimento ai metodi precedentemente elencati

sovrastimando la resistività al valore FONDAMENTI DI MISURE ELETTRICHE

GRUPPO 16

ρ = 0.02 μΩm.

M

E’ possibile affrontare teoricamente il problema della scelta della corrente per i

problemi termici in due modi differenti:

Portando la resistenza in condizioni di regime termico, quindi aspettando che il

I. transitorio si esaurisca e latemperatura si stabilizzi ad un valore costante.

Svolgendo la misura in regime adiabatico, ovveroeffettuando la misura in

II. tempi tanto brevi da poter assumere che la variazione della resistenza, al

variare della temperatura, sia trascurabile.

I. Regime Termico

Nel primo caso si ricava solo il termine a regime

2

ρ ∙ L ∙G ∙ Sez

M

Δθ = (1)

k ∙ S

M tot

Supponendo che la sbarretta sia di forma cilindrica si ha che

2

π D

Sez= 4

S =π ∙ L ∙ D

lat

dove con D si è indicato il diametro della sbarretta.

Sostituendo nella (1) si ha

2 2 2 2

ρ ∙ L ∙ π ∙ D ∙ G ρ ∙ D ∙G

M M -10

=2,6144151*10

Δθ = =

4 ∙ k ∙ π ∙ L∙ D 4 ∙k

M

Si stabilisce che a regime la differenza massima di temperatura

sia limitata proprio da Δθ .

lim

Da cui 2 2

ρ ∙ D ∙G

M

Δθ = ≤ Δθ

4 ∙k

M lim FONDAMENTI DI MISURE ELETTRICHE

GRUPPO 16

[ ]

W

Sostituendo nell’espressione i valori di k (espresso in ), ρ (espresso in [Ω

2

mm K M

m m]) e Δθ (espresso in [K ]), ed esprimendo il diametro in [m m] si può

⋅ lim

ricavare il legame tra G e D.

[ ]

1 A

G ≤ 2

√ D mm

Se in particolare si considerano Δθ = Δθ , il valore della corrente è

M lim

Δθ lim ∙ S ∙ Sez

¿∙k tot

ρ ∙ L

I = = 8,913555604 A

M tot

termico ¿

√

che rappresenta la massima corrente che garantisce la condizione su Δθ .

lim

II. Regime Adiabatico

Nel secondo caso, sviluppando in serie di Taylor la soluzione dell’equazione

differenziale precedentemente ottenuta e approssimando tale serie al primo termine,

si ottiene t

Δθ Δθ ≤Δθ

≃ τ

M lim 2

ρ ∙ L ∙G ∙ Se z

M

da cui, sostituendo Δθ = si ha

k ∙ S

M tot

2 2 2

k ∙ S ∙t

ρ ∙ L ∙G ∙ Sez ρ ∙ L ∙G ∙ Sez

t ρ ∙G ∙t

M M tot M

∙ = ∙ = ≤Δθ

τ

k ∙ S k ∙ S c ∙ Vol c lim

tot tot

Si ricava quindi la densità di corrente sostituendo i valori di ρM(espresso in

[Ω m]), Δθlim (espresso in [K ]) e di c (espresso in [J/m m3K])

⋅m

Δθ [ ]

2

lim 90 A

¿∙c

ρ ∙t

2

G ≤ = 4

t

M mm

¿ FONDAMENTI DI MISURE ELETTRICHE

GRUPPO 16

Affinchè venga garantito il regime adiabatico è necessario che

t τ

≪

m

In particolare si pone 6.03

τ

t = = 4,542753472 s

90

m

Da cui la corrente in queste condizioni è uguale a

Δθ lim ∙k ∙ S ∙ Sez

¿∙τ tot

t ∙ ρ ∙ L

I = = 7177,632615 A

M tot

adiabatico ¿

√

Nelle condizioni reali non è possibile, a causa delle limitazioni fisiche della

strumentazione, imporre una corrente così elevata. Si sceglie quindi un valore di

corrente che è compatibile sia con gli strumenti che con i tempi di misura richiesti.

La corrente imposta è

I = 110 A

reale

Ragionando nelle condizioni peggiori, si calcola il tempo di misura massimo, che è

pari a

Δθ lim ¿∙τ

Δθ

t = m

m ¿

In generale la legge di variazione della resistività al variare della temperatura è data

da

ρ = ρ (1 + α Δθ)

⋅

0

Dove α è il coefficiente termico del Rame ed è pari a

-3 -1

α=4.2 ∙ 10 K

e ρ è la resistività a temperature ambiente.

0

Da tale legge si ricava che l’incertezza relativa della resistività risulta

FONDAMENTI DI MISURE ELETTRICHE

GRUPPO 16

Δρ ΔR

= = αΔθ

ρ R

0 Δρ

Ponendo Δθ= Δθ si ottiene che ≤ 0.2%

ρ

lim 0

• Scelta della resistenza campione

La scelta della resistenza campione Rc deve rispettare 4 punti fondamentali :

1. Deve essere compatibile con la corrente di alimentazione del circuito;

2. Deve essere una resistenza a 4 morsetti, due amperometrici in cui si inietta la

3. corrente e due voltmetrici da cui si preleva la tensione;

L’incertezza sulla resistenza della sbarretta deve essere minore dello 0.3% per

4. ottenere l’incertezza massima precedentemente stabilita su Rx ;

Il valore di Rc deve essere sufficientemente prossimo al valore di Rx, così da poter

5. minimizzare le incertezze sistematiche della misura.

• Scelta dell’alimentazione

L’alimentazione deve risultare stabile. Si effettua quindi dopo la misura un’ulteriore

misurazione, detta di controllo, per verificare che che l’alimentazione non sia variata.

• Scelta dell’invertitore

L’invertitore è utilizzato per cambiare la polarità del generatore in modo che,

effettuando due misure in tensione sia sulla V sia sulla V con polarità opposte e

x c

facendone la media si possa ridurrel’incertezza dovuta alla presenza delle forze

elettromotrici dicontatto (che nascono per Effetto Volta tra i morsetti delleresistenze e

quelli del voltmetro, realizzati con materiali diversi).

FONDAMENTI DI MISURE ELETTRICHE

GRUPPO 16

Atto della misurazione

D.

Si alimenta il circuito di misura tramite un Generatore di Corrente la cui corrente è

impostata ad un valore nominale pari a

I = 22,5 A

n

Sono effettuate 5 misure differenti nelle seguenti condizioni operative:

Misura della Vx in alimentazione diretta

• Misura della Vc in alimentazione diretta

• Misura della Vc in alimentazione inversa

• Misura della Vx in alimetazione inversa

• Misura della Vx in alimentazione diretta di controllo

•

Tutte le misure sono effettuate entro il tempo di misura minimo ricavato

precedentemente ( tm =60s )

Le misure sono state effettuate sia in alimentazione diretta che in alimentazione

inversa poichè, mediando i risultati così ottenuti, è possibile mitigare i contributi

delle forze elettromotrici di contatto.

I valori misurati sono i seguenti (vengono riportati solo i moduli)

FONDAMENTI DI MISURE ELETTRICHE

GRUPPO 16

Tensione Misurata Valore Letto [mV]

V 19,5022

x,d

V 23,2572

c,d

V 23,2553

c,i

V 19,5085

x,i

V di controllo 19,5091

x,d

Tutte le misure sono effettuate con lo stesso multimetro e con lo stesso valore di

tensione di fondo scala, pari a VFS = 100 mV

Tramite le misure sulla Vc si ricava la reale corrente erogata dal generatore.

Effettuando la media delle Vc lette con alimentazione diretta e inversa si ottiene che il

valore atteso risulta essere

19.7

Vc =23,25625mV

Siccome il valore atteso della Resistenza Campione vale

1.0000

Rc =1mΩ

allora la corrente realmente erogata dal generatore è

V C

I= =23,25625A

R C

Tramite la misura di controllo sulla tensione della sbarretta si verifica che nel tempo

di misura impiegato la variazione della resistività della sbarretta si mantiene

all’interno dei limiti imposti tramite lo studio termico pregresso.

Le incertezze sono valutate come Incertezze di Categoria B utilizzando le specifiche

dello strumento tramite la formula binomia

U = a V + b V

⋅ ⋅

V,B ppm letto ppm FS FONDAMENTI DI MISURE ELETTRICHE

GRUPPO 16

Dove per VFS =100mV si hanno (i coefficienti sono espressi in parti per milione):

a = 50b =35

ppm ppm

Le misure ottenute sulla Vx in alimentazione diretta sono:

V = (19,502±0,004) mV

x,d 0.004

9.876

V = (19,509±0,004) mV

x,d,controllo 9.875

0.004

Si osserva facilmente che siccome i due intervalli delle grandezze sono non disgiunti,

le misure sono compatibili.

In particolare, dato che il valore letto di ciascuna misura è compreso all’interno

dell’intervallo dell’altra, viene rispettata anche la condizione di stretta compatibilità

delle misure.

Successivamente per poter valutare le Incertezze di Categoria A sulle tensioni sono

effettuate 30 misure ripetute sulla tensione della resistenza campione, sia in

alimentazione diretta, che in alimentazione inversa.

Nonostante queste misure siano effettuate in tempi più lunghi rispetto a quelli

previsti, la resistenza campione ha variazioni termiche trascurabili, per cui si trascura

l’incertezza dovuta alla variazione della temperatura del sistema.

Siccome le misure della Vx e della Vc sono effettuate con lo stesso multimetro, la

correnteche circola in entrambe le resistenze è la stessa ed è stabile, ed i valori delle

resistenze sono simili tra loro, allora si suppone che l&rsq