Esercizi utili per esame di Elettrotecnica

R R

2 2

1 2

e quindi l’equazione differenziale si esprimerà come: I

di i cc

+ =

L L .

τ τ

dt

La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è pari a

−

3 1

λ = − τ = − ⋅

1 / 12

.

5 10 s , quindi la soluzione generale si esprime nella forma:

3

− ⋅

12

. 5 10 t

= + ,

i (

t ) Ke i (

t )

L LP

dove è una soluzione particolare che si può valutare calcolando la soluzione di regime.

i (t )

LP <

Essendo il regime a cui si tende stazionario, utilizzando quanto ottenuto per è facile ottenere

t 0

= −

i (

t ) 0 . 2 A

LP

La costante K si ottiene imponendo la continuità della variabile di stato i (t )

L

− +

= ⇒ = − ⇒ =

i i K K ,

( 0 ) ( 0 ) 0

.

2 0

.

2 0

.

4

L L 3

− ⋅ t

12 . 5 10

= − + >

da cui: .

i (

t ) 0 . 2 0 . 4 e t 0

L Esercitazioni di Elettrotecnica – 2002/2003 – A. Maffucci

ESERCIZIO 10.2 =

Nel seguente circuito all'istante si apre l'interruttore A. Calcolare la tensione sul condensatore

t 0

v (t ) per ogni istante. R A E 2

=

t 0

+ = =

E 8 V , E 2 V

+ +

E 1 2

E

v ( t ) C

1 2 = Ω =

R 10 k , C 2 mF

− °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

< il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un circuito

Per t 0

aperto. Per tale ragione si ha: = =

v (

t ) E 2 V .

2

>

Per , applicando la LKT all'unica maglia e la caratteristica del condensatore si ottiene

t 0

facilmente l'eq. differenziale di primo ordine nell'incognita v (t )

E

dv dv v τ

+ = = ⇒ + = =

1

, , dove RC .

Ri v E i C

1 τ τ

dt dt −

1

λ = − τ = −

La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è pari a 1 / 0

.

05 s ,

quindi la soluzione generale si esprime nella forma:

− t

0 . 05

= +

v (

t ) Ke v (

t ) ,

P

dove è una soluzione particolare che si può valutare calcolando la soluzione di regime.

v (t )

P → ∞

Poiché per t si tende ad un regime stazionario, il condensatore si comporta come un circuito

aperto ai capi del quale ci sarà = =

v (

t ) E 8 V .

P 1

Resta da determinare la costante K, che si ottiene dalla condizione iniziale, ottenuta imponendo la

continuità della variabile di stato v (t )

− +

= ⇒ = + ⇒ = −

v v K K ,

( 0 ) ( 0 ) 2 8 6

− t

0

. 05

= − >

da cui v (

t ) 8 6

e t 0 .

ESERCIZIO 10.3 < >

Il circuito in esame è in regime stazionario per .Valutare la tensione v (t ) per .

t 0 t 0

R = >

e ( t ) 50 V t 0

1 +

R = = =

+ v ( t 0

) 10 V , C 1 mF

C v

2

e (t ) = Ω = Ω

R 20 , R 24 .

− 1 2

−

91

.

7 t

= −

Risultato: .

v (

t ) 27

. 3 17

. 3

e V Esercitazioni di Elettrotecnica – 2002/2003 – A. Maffucci

ESERCIZIO 10.4 =

Il seguente circuito è a riposo fino a , istante in cui si chiude l'interruttore A. Calcolare:

t 0

τ del circuito;

a) la costante di tempo > .

b) la tensione ai capi del condensatore per t 0

=

t 0 R

1 = ω

( ) 10 cos( )

e t t

A R

2 ω = 100 /

rad s

+

+

e(t) R = Ω = Ω

20 , 5

R R

3

v ( t ) 1 2

C = Ω =

10 , 1

R C mF

− 3

°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

a) Per calcolare la costante di tempo basta valutare la resistenza dell’equivalente di Thévenin visto

ai capi del condensatore: 35

= + = Ω ⇒ = =

R ( R // R ) R τ R C 11

.

7 ms

eq eq

1 3 2 3 − +

= = >

<

b) Per il circuito è a riposo, quindi Per , ricavando la tensione a

v ( 0 ) v ( 0 ) 0 . t 0

0

t c c

vuoto dell’equivalente di Thévenin visto ai capi del condensatore si ha:

e ( t ) R

3

=

V ( t ) .

0 +

R R

1 3

Applicando le leggi di Kirchhoff al circuito ottenuto sostituendo ai capi di C il generatore

equivalente di Thévenin si ricava l’equazione differenziale nell’incognita :

v c

dv v V

0

c c

+ = .

τ τ

dt −

1

λ = − τ = −

La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è pari a 1 / 85

.

5 s ,

quindi la soluzione generale si esprime nella forma:

= − +

v (

t ) A exp( 85

.

5

t ) v (

t ) ,

c cp

dove v (t ) è una soluzione particolare che si può valutare calcolando la soluzione di regime,

cp

attraverso il metodo fasoriale. Posto: j

& & &

= = = = − = − = =

E 10

, Z R 20

, Z R 5 10 j , Z R 10

,

1 1 2 2 3 3

ω C

e applicando ripetutamente la regola del partitore di tensione si ha:

& &

Z Z − 0 . 86

j

& & & x c

= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = −

Z Z Z V E V V

// 2

.

17 e v (t) 2

.

17 cos(

100

t 0

.

86

)

2 3 2 2

x c cp

& & &

+ +

Z Z R Z

1 2

x c

Resta da determinare la costante A, che si ottiene imponendo la condizione iniziale:

+ +

= = = + − ⇒ =

t 0 : v ( 0 ) 0 A 2 . 17 cos( 0 . 86 ) A -

1

.

41

c

Quindi in definitiva si ottiene: >

= − − + −

( ) 1

.

41 exp( 85

.

5 ) 2

.

17 cos(

100 0

.

86

) t 0

v t t t V .

c Esercitazioni di Elettrotecnica – 2002/2003 – A. Maffucci

ESERCIZIO 10.5

In figura è riportato lo schema equivalente di un grilletto elettronico per pistola. L'uscita del sistema

< <

. Determinare tale segnale per 0 t 0

.

3 s .

è il segnale di tensione v (t ) prelevato ai capi di R 2

j (t )

+

L = =

J 40 A

, T 1 ms

J

R R

j (t ) v (

t ) = Ω = Ω

1 2 R 30 , R 20

1 2

- =

L 50 mH

0 t

T

°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

=

<

Per il circuito è a riposo, quindi v (

t ) 0 .

t 0

< <

Per , applicando le leggi di Kirchhoff e le caratteristiche dei bipoli si ha:

0 t T di v

L

= + = + = ,

v , j i i , i

R i L

1 1 1 L L

dt R 2

da cui si ricava l’equazione differenziale nell’incognita v (t )

+ R R

R R

dv 1 2 1 2

+ = ,

j

v L

dt L

la cui omogenea associata fornisce un’equazione caratteristica avente radice pari a

−

1

λ = − + = −

( R R ) / L 1000 s . Pertanto si ha:

1 2 −

1000 t

= +

v (

t ) Ke v (

t ) ,

P

dove è una soluzione particolare che si può valutare calcolando la soluzione di regime. Per

v (t )

P

→ ∞

t si tende ad un regime stazionario, quindi l'induttore si comporta come un corto circuito:

R R

1 2

= =

( ) 480 V .

v t J

P +

R R

1 2

Resta da determinare la costante K, che si ottiene dalla condizione iniziale, ottenuta imponendo la

=

continuità v (t ) (tale grandezza è continua in quanto )

v (

t ) R i (

t )

2 L

− +

= ⇒ = + ⇒ = −

( 0 ) ( 0 ) 0 480 480

v v K K ,

−

1000 t

= − < <

da cui v t e t T

( ) 480

(

1 ) 0 .

>

Per l'equazione differenziale sarà

t T +

R R

dv 1 2

+ = ,

v 0

dt L

e quindi ragionando come prima si avrà −

1000 t

=

v (

t ) He , =

dove H è una costante arbitraria, determinata imponendo la continuità v (t ) per t T

− + − −

1 1

= ⇒ = ⇒ =

v (

T ) v (

T ) 4

80

(

1

-e ) He H 4

80( e-

1

) ,

−

1000 t

= − >

da cui v t e e V

( ) 480

( 1

) , per .

t T Esercitazioni di Elettrotecnica – 2002/2003 – A. Maffucci

ESERCIZIO 10.6

La seguente rete rappresenta lo schema elettrico equivalente del circuito di carica della stazione

= =

spaziale orbitante. La carica avviene tra l'istante e l'istante , intervallo in cui

t 0 t T

>

l'interruttore A resta chiuso. Per , invece, il condensatore C viene collegato al resto della rete

t T <

attraverso la chiusura dell'interruttore B. Supponedo la rete a riposo per , valutare:

t 0

< <

a) la tensione sul condensatore v (t ) per 0 t T ;

>

b) W t T

l'energia massima erogabile da per ;

C

max

R

A A

1 B =

( ) 100 ( 20 )

e t sin t V

chiuso

=

+

= = Ω

t T

t 0

, T 10

R

1

+

e (t ) =

v (t ) 10

C mF

R aperto

C aperto

2

− = 2

T s

0 t

T

°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

=

< < <

a) Per il circuito è a riposo, quindi v (

t ) 0 . Per il circuito si riduce ad una

t 0 0 t T

semplice rete RC, descritta dall'equazione

dv v e

+ = τ =

dove R C .

1

τ τ

dt −

1

λ = − τ = −

La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è 1 / 10 s , quindi:

−

10 t

= +

v (

t ) Ke v (

t ) ,

P

→ ∞

dove si può valutare col metodo fasoriale ( t si tende ad un regime sinusoidale):

v (t )

P j

& &

= = = = − = −

E 10

, Z R 10

, Z 5 j ,

1 1 C ω

C

&

Z − j

1

.

11

c

= = ⇒ = −

V E 44

.

7 e v