Dimostrazioni più richieste di Analisi matematica 1

FUNZIONE CONCAVA

Sia f[ab]→IR ∀ x₁,x₂ in [ab] si ha:

f si dice concava in [ab] se

(₂)−(₁)

f(x) ≥f(x₁) + ( x-x₁)

₂−₁

si dice strettamente concava se vale ”>”

FUNZIONE CONVESSA

Sia f[ab]→IR ∀ x₁,x₂ in [ab] si ha:

f si dice convessa in [ab] se

(₂)−(₁)

f(x) ≤f(x₁) + ( x-x₁)

₂−₁

si dice strettamente convessa se vale ” < ”

(₂)−(₁) ₁ ₂

f(x₁) + ( x-x₁)→

₂−₁

FLESSI ∈

Sia [ab] → IR,x˳ [ab], f derivabile in x˳ oppure f’̟(x˳) = f’̠(x˳)=±∞

Se Ǝ un intorno destro di x˳, del tipo(x˳,x˳+δ) in cui f e` convessa( risp. Concava) e un intorno sinistro di x˳, del

tipo (x˳-δ,x˳) in cui f e` concava (risp.convessa) allora x˳ si dice p.to di FLESSO per f.

Sia x˳ p.to di flesso allora x˳ e` p.to di estremo per f’ quindi se e1 derivabile due volte in x˳ si f’’(x˳)=0.

TEST di CONVESSITA`

Sia f:(ab)→ ↔

Se f(x) è derivabile in (ab) allora f è convessa(concava) in (ab) f’ è crescente (decrescente) in (ab)

∀ ∈

↔f’’(x) ≥ 0(≤ 0) x (ab)

Se f(x) è derivabile due volte in (ab) allora f è convessa(concava) in (ab)

Strettamente togliendo gli uguali.

. Enunciare il Teorema di De l’Hopital

43 ∈

Siano f,g definite e derivabili in un intorno di x˳ escluso al piu` x˳, x˳ a IR U{±∞} con g(x)≠0 e

g’(x) ≠0.

Se: ( )

lim ˳ = 0 = lim ()

1. → →˳

()

lim ˳ = ±∞ = lim ()

Oppure → →˳

2. Esiste (eventualmente anche ±∞) ′()

lim = ∈ {±∞}

′()

→˳

Allora esiste anche ()

lim =1

()

→˳

0 ∞

Si applica con le forma indeterminate: e

0 ∞

applica

Si anche se il limite e` solo limite destro o lim sinistro.

′()

lim = ∃

E` importante che altrimenti non si puo` concludere nulla.

→˳ ′()

Enunciare la formula di Taylor di ordine n con resto (a scelta) nella forma di Peano

44.

o di Lagrange.

∈

Sia f:[ab]→IR ,x˳ (ab),f derivabile n-volte in x˳, si chiama polinomio di Taylor di grado n, centrato in x˳, il

polinomio: ʿᴺʾ(˳)

"(ₒ)

′ 2

ₓₒ(x) (ₒ) (ₒ)( ₒ) ( ₒ)

T̪ = + − + − + ( − ˳)ᴺ

2! !

ʿᴷʾ(ₒ)

ₓₒ(x) ∑

T̪ = ( − ₒ)ᴷ

!

=0

FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO DI PEANO

"(ₒ) ʿᴺʾ(˳)

′ 2

ₓₒ(x) (ₒ) (ₒ)( ₒ) ( ₒ)

T̪ = + − + − + ( − ˳)ᴺ + o((x-xₒ)ᴺ)

2! !

ʿᴷʾ(ₒ)

ₓₒ(x)

T̪ = ∑ ( − ₒ)ᴷ+o((x-xₒ)ᴺ)

!

=0

RESTO DI PEANO :

R̪ .ₓₒ(x)= o((x-xₒ)ᴺ) x→xₒ

. Scrivere la definizione di serie convergente, divergente, irregolare (o

45

indeterminata). Presentare un esempio per tipo.

SERIE CONVERGENTE

Data la successione {an} chiamiamo successione delle somme parziali n-esime o ridotta n-esima la

successione:

Sn=aₒ+a₁+…..+an ∞

∑

Diremo che la serie numerica e`:

∈

- CONVERGENTE a S se: lim = ∈

→∞

Es: ∞ 1

∑

2

=0

- DIVERGENTE a±∞ se: lim = ±∞

→∞

Es: ∞

∑1

=0

- IRREGOLARE se: lim = ∄

→∞

Es: ∞

∑(−1)ᴺ

=0

. Definire le serie telescopiche e discuterne le proprieta di convergenza. Esibire un

46

esempio di serie ` telescopica . ∞

∑

Si chiama serie telescopica una serie del tipo

=1

=1

∑

− − − + − − −

= e Sn = = +……+ =

+1 +1 1 2 2 3 +1 1 +1

∞

Affinchè la serie telescopica sia convergente il termine deve tendere a 0 per n→

+1

Es ∞ 1

∑ → ( ℎ 1)

( 1)

+

=1

Scrivere la definizione di serie geometrica. Enunciare e dimostrare quando converge /

47.

diverge / e` irregolare .

SERIE GEORMETRICA

Detta”q”=ragione o base e q∈

∞

∑ qᴺ

= 1+q+q²+....+qᴺ

n=0

Se: ∞

∑

1 1

- q= → →allora diverge a +∞

=0

∞

∑ ᴺ

- q≠1 → =0 ∞

∑ ᴺ = lim ( ∑ ᴷ )

→∞

=0 =0 =0

∑

= 1 + + ²+. . . . +ᴺ= ᴷ

1

Per q≠ +1

1 −

∑ ᴷ = →

1−

=0 +1

1 −

lim 1 −

→∞ | |

0 < 1

+1 +∞ > 1

{

lim =

→∞ ∄ ≤ −1

Quindi: 1 | | < 1

∞ 1−

∑ ᴺ = +∞ ≥1

=0 { ≤ −1

Enunciare e dimostrare la proprieta fondamentale delle serie a termini non negativi.

48. ∞

∑

Sia data con an≥0 allora la serie non e` irregolare quindi o diverge o converge.

=0

DIM : Se an≥0 So=aₒ

S1= aₒ+a₁

S2=aₒ+a₁+a₂ In generale Sn₊₁≥Sn

Allora la successione delle somme parziali Sn e` monotona crescente quindi ammette limite

lim = sup {| ∈ }

→∞

∀

Il teorema vale anche se an ≤0

∑ ∑ (−1)(−) ∑

= = − (−) → o tutti positivi o tutti negativi

∀ ≥ ()

Il teorema vale se an≥0 esiste n(segnato)∈

∀ ≥ ()

(i) an≥0 ∀ ≥ ()

(ii) an ≤o

. Scrivere la definizione di serie armonica e di serie armonica generalizzata. Enunciare

49.

le proprieta` di convergenza .

SERIE ARMONICA

Si dice serie armonica ∞ 1

∑

=1

SERIE ARMONICA GENERALIZZATA

Si dice serie armonica generalizzata ∞ 1

∑ ᵅ

=1

PROPRIETA` DI CONVERGENZA ∞ 1

∑ ↔ > 1

ᵅ

=1

∞ 1

∑ ↔ ≤ 1

ᵅ

=1

Enunciare e dimostrare la condizione necessaria per la convergenza delle serie. Tale

.

50.

condizione e anche sufficiente? Motivare la risposta.

La condizione necesaria per la convergenza di una serie e` che:

lim = 0

→+∞

DIM: ∞

∑ ` ↔ lim = ∈

→∞

=0

S a

n+1=Sn+ n+1

a

Sn=Sn-1+ n

A n= Sn-Sn-1 lim = lim − = lim − lim = − = 0

−1 −1

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

Va a zero in quanto sono entrambe convergenti a S.

Tuttavia questa condizione non e` sufficiente in quanto puo` succedere che il

∞

lim → 0 ∑

→+∞

Es. ∞ 1

∑

=1

1 → 0 +∞

ma la serie diverge a

51.Enunciare il criterio della radice e il criterio del rapporto per serie a termini positivi e

dimostrarne

uno a scelta.

Criterio della radice:

∃ lim √

Sia ∑ una serie a termini non negativi. Se = l ϵ R+ U {+∞}

→+∞

allora si ha:

1) se L < 1 la serie è convergente

2) se L > 1 la serie è divergente

3) se L = 1 non si può concludere nulla.

Criterio del rapporto:

+1

∃ lim

Sia ∑ una serie a termini positivi. Se = l ϵ R+ U {+∞}

→+∞

allora si ha:

1) se L < 1 la serie è convergente

2) se L > 1 la serie è divergente

3) se L = 1 non si può concludere nulla.

Dimostrazione:

lim √ =

→ + ∞

∀ > 0 ∃̅ tale che

| √ − | < ∀ ≥ ̅

− < √ < + ∀ ≥ ̅

∀ > 0 ∃̅ tale che

( − ) < < ( + ) ∀ ≥ ̅

l > 1 l < 1

- Se l < 1

> 0 + = < 1 < ∀ ≥ ̅

Scegliamo tale che quindi abbiamo ,

∑

Quindi la serie è minore della serie geometrica di ragione q < 1 che è convergente e per il

criterio del confronto converge anche la serie data .

- Se l > 1

> 0 − = > 1 > , ∀ ≥ ̅

Scegliamo tale che quindi abbiamo

La serie geometrica di ragione q > 1 è divergente quindi per il criterio del confronto diverge anche

la serie data.

- Se l = 1

(1 − ) < < (1 + )

↓ ↓

Convergente Divergente

52.Enunciare il criterio del confronto o, a scelta, del confronto asintotico per le serie a termini

positivi.

Criterio del confronto: ∀n

Siano { } e { } due successioni con 0 ≤ ≤ ,

allora si ha: ∑ ∑

1) se la serie è convergente allora anche allora anche la s