Vettori, funzioni composte e derivate direzionali

Vettori, funzioni composte e derivate direzionali

Per i vettori valgono determinate proprietà: dati due vettori u = (u₁, u₂) e v = (v₁, v₂), la loro somma è uguale a u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂). Dato un numero α, il prodotto αu = (αu₁, αu₂) vale la proprietà commutativa e associativa.

Esiste il numero 0 dello spazio vettoriale tale che 0 + u = u per ogni vettore, quindi u' = -u. Inoltre, presi due numeri α, β ∈ R, valgono le proprietà α(u + v) = αu + αv e αβu = (αβ)u. Ogni vettore moltiplicato per 1 è uguale al vettore stesso (elemento neutro della moltiplicazione).

Un vettore si può indicare come: u = (u₁, u₂, u₃).

Norma del vettore

Dato un vettore u, viene definita la norma del vettore come: |u| = √(u₁² + u₂²). Valgono le seguenti proprietà: |αu| = |α| |u| e |u + v| ≤ |u| + |v|.

Prodotto scalare

Viene definito il prodotto scalare fra due vettori u = (u₁, u₂) e v = (v₁, v₂) come u · v = u₁v₁ + u₂v₂.

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

|u · v| ≤ |u| |v|. Quindi se entrambi i vettori sono non nulli:

-1 ≤ (u · v) / (|u| |v|) ≤ 1.

E quindi esiste un unico angolo θ compreso nell'intervallo [0, π] tale che il coseno dell'angolo è uguale proprio alla quantità compresa fra -1 e 1, e quindi:

u · v = |u| |v| cos θ.

Equazioni in forma vettoriale

Dati due vettori A = (x₁, y₁) e B = (x₂, y₂), viene definita l'equazione parametrica vettoriale della retta P(t) = A + t(B - A), con t ∈ [0, 1].

Infatti, per t = 0 avremo la coincidenza con A, mentre per t = 1 la coincidenza con B. L'equazione si riduce a:

• x(t) = x₁ + t(x₂ - x₁)
• y(t) = y₁ + t(y₂ - y₁)

Chiamando v = B - A, abbiamo le equazioni P(t) = A + tv, in modo che il vettore v' sia uguale al vettore v per una certa quantità λ ≠ 0. Si prova che le due equazioni delle rette sopra o sono coincidenti.