Vettori, funzioni composte e derivate direzionali

EQUAZIONI IN FORMA VETTORIALE

( ) )

A= x , y ≠ B=( x , y

Dati due vettori , viene definita l’equazione parametrica

1 1 2 2 [ ]

( )

( )= ( ) ( )

( )= ∈

)

vettoriale della retta , con , se si

P t x t , y t

P t A+ t( B−A t 0, 1

hanno le equazioni dei punti sul segmento AB, infatti per t=0 avremo la

coincidenza con A, mentre per t=1 la coincidenza con B. L’equazione si riduce

a:

{ ( )=x +t ( −x )

x t x

1 2 1

( )= +t ( − )

y t y y y

1 2 1 ' '

( )= ( )=

Chiamando , abbiamo le equazioni , in modo

B− A=v +t

P t A+t v , P t A v '

che il vettore sia uguale al vettore per una certa quantità . Si

v ' v λ ≠ 0

prova che le due equazioni delle rette sopra o sono coincidenti o parallele. Le

componenti del vettore sono dette numeri direttori della retta.

v

Dato I sottoinsieme di e delle componenti vettoriali di una funzione

R ( )

( ) ( )

( ) ∈

(t ) , data la funzione vettoriale e dato un insieme A

g : t I → x t , y t

x t , y ∀ ∈

2

aperto di , supponiamo che , cioè si ha che

)⊆ t I

g( I A

R

( ) ( )

( )= ( ) ( ) ( )=f ( )

∈ , allora si definisce la funzione composta .

g t x t , y t A F t g t t

A tal proposito valgono le proprietà: è continua in un certo punto se e

g 0

t

solo se le componenti e sono continue in , stesso concetto

(t) (t)

x y 0

( )

' ' '

( ) ( ) ( )

=

vale per la derivabilità (e in particolare .

g t x t , y t

0 0 0

La formula di derivazione delle funzioni composte è la seguente:

( )

( )

' ' '

( ) ( ) ( )

=

F t f g t , g t . ( )

2

Esempio: si hanno la funzione e la funzione

( )= ∈

g t t , t , t R

{ 2

x y ( )

x , y ≠(0, 0)

( ) =

f x , y ( )

( )

, notiamo che la funzione composta è

f g t

4 2

+

x y

( ) =(0,

0 x , y 0)

definita in tutto (si fa riferimento al parametro t), la funzione vettoriale è

R =0

t

derivabile nel punto , la funzione è derivabile in (0, 0), tuttavia se si

f

0 2

( )=(t

va a considerare la funzione composta sostituendo a avremo

)

x , y , t

{ 1 ( )

x , y ≠( 0,0)

( )

( ) =

f g t , il che ci dice che la funzione composta non è continua e

2 ( )=(0,

0 x , y 0) =0

t

quindi non derivabile nel punto , nonostante le due funzioni lo fossero.

0

g t

TEOREMA: se è derivabile in e è differenziabile in

f

0 0

( )

( ) ( ) ( ) ( ) t

( )=f ( )

=

g t x t , y t , allora è derivabile in e inoltre risulta:

F t g t

0 0 0 0

( )

( ) ( ) ( )

' ' ' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∇

=f + =

F t x t , y t x t f x t , y t y t f g t ∙ g t

0 x 0 0 0 y 0 0 0 0 0

DERIVATE DIREZIONALI

2

Data una funzione con aperto di ,

f : A → R A R

| |

| |

( ) λ=( )

∈ =1

x , y A , α , β : λ , se esiste finito il limite:

0 0

( ) ( )

+tα +tβ −f

f x , y x , y

0 0 0 0

lim t

t→ 0 (x )

, y

Allora la funzione è derivabile nel punto secondo la direzione ,

f λ

0 0

∂f (x )

, y

(x )

f , y

il valore del limite si indica come o , se il vettore è

λ

λ 0 0 0 0

∂λ

del tipo (1, 0) o (0, 1) verranno rispettivamente le derivate parziali rispetto a

ed a . Il rapporto incrementale viene fatto lungo una direzione

x y

specifica (come se fosse l’equazione parametrica di una retta) del tipo:

{ ( ) =x +tα

x t 0

( )= +tβ

y t y 0

Che è l’equazione della retta con direzione , ma prima abbiamo visto come

λ ( )

( )= ( ) ( )

questo sistema si può scrivere semplicemente come , quindi

g t x t , y t

( )

( )=f ( )

tenendo presente che , il limite si può scrivere come

F t g t

( )−F ( )

F t 0 .

lim t

t→ 0

La derivata direzionale è il caso più generale della derivata parziale quindi,

geometricamente ha un’interpretazione ben precisa. Preso un grafico

( )

x , y

, se preso un punto appartenente al piano , data una

(x ) xy

z=f , y 0 0

specifica direzione , si disegni un piano perpendicolare al piano , che

λ xy

abbia come direzione la stessa direzione di , parallelo all’asse . La

λ z

derivata direzionale risulta essere la pendenza della retta tangente al grafico

intersezione fra il grafico della funzione e il piano appena creato, nel punto

(x )

, y .

0 0 ⃗

v

λ=

Dato un vettore qualsiasi, il coefficiente si stabilisce così: .

λ | |

| |

v

√

3 2

Esempio: , calcolo della derivata direzionale lungo il vettore

( ) =

f x , y 8 x y

⃗ =i+ nel punto (0, 0).

v j ( )

1 1

λ= ,

Si calcola con la formula sopra che la direzione è uguale a , se

λ √ √

2 2

si va a fare il limite del rapporto incrementale, sostituendo a e le due

x y

componenti del vettore , identiche, il risultato sarà:

λ ( )

( )

1 1 ( )

−f

f , 0, 0

√ √

2 2 =√

lim 2

t

t→ 0

Quindi, data la funzione sopra, se si prende il piano secante il grafico della

funzione (corrispondente a dato che il vettore ha componenti identiche

y=x

ed il punto è (0, 0)) e se ne calcola la pendenza della retta nell’origine, essa

verrà radice di due.

{ 2

x y ( )

x , y ≠( 0,0)

( ) =

f x , y ⃗ =3i−4

Esempio: , nel punto (0, 0).

2 2 v j

+

x y

( )=(0,

0 x , y 0) 3 4 )

λ=( ,−

Il procedimento è analogo, il vettore viene , e il risultato viene

λ 5 5

−36 .

125 ( ) ∈

x , y A

2

TEOREMA: data una funzione con A aperto di , ,

f : A → R f

R 0 0

λ=( ) ∃ (x )

α , β , f , y

∀

differenziabile nel punto direzione e risulta:

→ λ 0 0

( )

( ) ( )

∇

=

f x , y f x , y ∙ λ

λ 0 0 0 0