Vettori della geometria euclidea

VETTORI

COMBINAZIONE LINEARE

Dato numeri reali a₁, a₂, ..., an e i vettori V̅₁, V̅₂, ..., V̅n, il vettore a₁ V̅₁ + a₂ V̅₂ + ... + an V̅n si dice COMBINAZIONE LINEARE dei vettori V̅₁, V̅₂, ..., V̅n e a₁, a₂, ..., an i coefficienti.

LINEARMENTE DIPENDENTI

I vettori V̅₁, V̅₂, ..., V̅n si dicono LINEARMENTE DIPENDENTI se uno di essi si può esprimere come combinazione lineare dei rimanenti, ossia se esistono n coefficienti reali a₁, a₂, ..., an non tutti nulli tali che a₁ V̅₁ + a₂ V̅₂ + ... + an V̅n = 0̅.

LINEARMENTE INDIPENDENTI

I vettori V̅₁, V̅₂, ..., V̅n si dicono LINEARMENTE INDIPENDENTI se non sono linearmente dipendenti, ossia se l'unico modo per esprimere 0̅ come loro combinazione lineare è di assumere i coefficienti nulli (tutti).

Casi particolari:

1. v̅ e i v̅̌ sono linearmente dipendenti se si può scrivere a v̅ + a₁ v̅̌ + a₂ w̅ = 0̅ con almeno un coefficiente non nullo, per esempio a₁; si ha allora v̅ = aₓ v̅̌ + a₂ w̅, quindi è particolare risulta che v̅ è complanare con v̅̌ e w̅.
2. v̅ e v̅̌ sono linearmente dipendenti se si può scrivere a v̅ + a₁ v̅̌ = 0̅ con almeno un coefficiente non nullo, per esempio a₁; si ha allora v̅ = d₂ v̅, quindi in particolare risulta che v̅ ha la stessa direzione di v̅̌.
3. v̅ è linearmente dipendente se si può scrivere a v̅ = 0̅ con a non nullo, eₒ, si ha allora v̅ = 0̅.
4. Quattro vettori i̅ᵢ, j̅ᵢ, bᵢ, t nello spazio della geometria sono sempre linearmente dipendenti.