Vettori della geometria euclidea

Vettori

Combinazione lineareDati numeri reali a₁, a₂, ..., a_n e i vettori \(\vec{V_1}\), \(\vec{V_2}\), ..., \(\vec{V_n}\), il vettore \(\vec{A} = a_1 \vec{V_1} + a_2 \vec{V_2} + ... + a_n \vec{V_n}\)si dice combinazione lineare dei vetto \(\vec{V_1}\), \(\vec{V_2}\), ..., \(\vec{V_n}\), a coefficienti a₁, a₂, ..., a_n.

Linearmente dipendentiI vettori \(\vec{V_1}\), \(\vec{V_2}\), ..., \(\vec{V_n}\) si dicono linearmente dipendenti se uno di essi si può esprimere come combinazione lineare degli rimanenti, ossia se esistono n^o n coefficienti reali a₁, a₂, ..., a_n non tutti nulli tali che \(a_1 \vec{V_1} + a_2 \vec{V_2} + ... + a_n \vec{V_n} = \vec{0}\)

Linearmente indipendentiI vettori \(\vec{V_1}\), \(\vec{V_2}\), ..., \(\vec{V_n}\) si dicono linearmente indipendenti se non sono linearmente dipendenti, ossia se l'unico modo per esprimere \(\vec{0}\) come loro combinazione lineare è di assumere i coefficenti nulli (tutti).

Casi particolari:

1. \(\vec{V}\) e \(\vec{W}\) sono linearmente dipendenti se si può scrivere a\(\vec{V}\) + a\(\vec{W}\) = \(\vec{0}\)con almeno un coefficiente non nullo per esempio a₁; si ha allora \(\vec{W} = \frac{-a_2}{a_1} \vec{V}\) quindi in particolare risulta che \(\vec{W}\) è compianato con \(\vec{V}\) e \(\vec{W}\).
2. \(\vec{v}\) e \(\vec{v}\) sono linearmente dipendenti se si può scrivere a\(\vec{v}\) + a\(\vec{v}\)\(\vec{0}\) con almeno un coefficiente non nullo per esempio a_i; si ha allora \(\vec{v}\) = l \(\vec{v}\) quindi in particolare risulta che \(\vec{v}\) ha la stessa direzione di \(\vec{v}\).
3. \(\vec{v}\) è linearmente dipendente se si può scrivere a\(\vec{v}\) = \(\vec{0}\)con a diverso nell'_o; si ha allora i = \(\vec{0}\).
4. I quattro vettori \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\), \(\vec{t}\) nello spazio della geometria, sono sempre linearmente dipendenti.

VETTORI

COMBINAZIONE LINEARE

Dati numeri reali a₁, a₂, ..., a_n e i vettori ^tV₁, ^tV₂,..., ^tV_n, il vettore a₁^tV₁ + a₂ ^tV₂ + ... + a_n ^tV_n si dice COMBINAZIONE LINEARE dei vettori ^tV₁,^tV₂,...,^tV_n a coefficienti a₁, a₂, ..., a_n.

LINEARMENTE DIPENDENTI

I vettori ^tV₁,^tV₂,...,^tV_n si dicono LINEARMENTE DIPENDENTI se uno di essi si può esprimere come combinazione lineare dei rimanenti, ossia se esistero n coefficienti reali a₁, a₂, ..., a_n non tutti nulli tali che a₁ ^tV₁ + a₂ ^tV₂ + ... + a_n ^tV_n = ^tO

LINEARMENTE INDIPENDENTI

I vettori ^tV₁,^tV₂,...,^tV_n si dicono LINEARMENTE INDIPENDENTI se non sono linearmente dipendenti, ossia se l'unico modo per esprimere ^tO come loro combinazione lineare è di assumere i coefficienti nulli (tutti 0).

Casi particolari:

1. ^ti ^tv sono linearmente dipendenti se si può scrivere a₁ ^ti + a₂ ^tV^o + a₃ ^tW con almeno un coefficiente non nullo, per esempio a₁; si ha allora i = ^a₂/_a1 ^tv + ^a₃/_a1 ^tw quindi in particolare risulta che i é complanare con ^tv e ^tw.

2. ^ti ^tj sono linearmente dipendenti se si può scrivere a₁ ^ti + a₂ ^tO con almeno un coefficiente non nullo, per esempio a₁; si ha allora i = ^d/i ^tj quindi in particolare risulta che i é ha la stessa direzione di ^tj.

3. ^ti ^tk linearmente indipendente se si può scrivere a₁ ^ti ^tO con a nuovo null lo =; si ha allora i = ^ti.

4. Quattro vettori ^ti ^tj ^tk nello spazio della geometria, sono sempre linearmente dipendenti.

Componenti di un Vettore

Fissato un sistema di riferimento cartesiano R(O, x, y, z)di origine O, ad ogni punto P(x, y, z) è associato un vettoreV = OP e viceversa ad ogni vettore V è associato un univoco segmento orientato di origine O eestremo P(x, y, z), quindi è possibile identificare ogni vettore applicato inO con le coordinate cartesiane del suo estremo.

In particolare i vettori i^(1, 0, 0), j^(0, 1, 0), k^(0, 0, 1) sono versori con la stessa direzionee con lo stesso verso degli assi coordinati;i, j, k si dicono versori guidarisultati: le coordinate (x, y, z) di P si dicono componenti di V rispetto alsistema di riferimento R(O, x, y, z), risulta quindi che si può scrivere in modo univoco V = xi + yj + zk.

Operazioni

Dati due vettori V₁ = (x₁, y₁, z₁) eV₂ = (x₂, y₂, z₂) e un numero reale m,si ha V₁ + V₂ = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂) e mV₁ = (mx₁, my₁, mz₁).

Prodotto Scalare

Dati due vettori V, w, si dice prodotto scalare di V e w il numero reale V ● w = |V| |w| cos θdove 0 ≤ θ ≤ π è l'angolo compreso tra i e j.

Ricordiamo che due vettori V e w non nulli si dicono ortogonali se V ● w = 0, si dicono paralleli se V ● w = 1 oppure V ● w = π.

Corollario 1

Dati due vettori V₁ = (x₁, y₁, z₁) eV₂ = (x₂, y₂, z₂), i cui componenti rispettoa un sistema di riferimento R(O, x, y, z) si ha, per le proprietà del prodotto scalare,V₁ ● V₂ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.

Corollario 2

Per ogni vettore V si ha:V = (xi)i + (yj)j +(zk)k.Sapendo ciò si può scrivere in modo unico V = xi + yj + zk e facendociò per esempio il prodotto scalare di simili numeri per il vettore V e si ottiene V = xi + yj + zk.

Prodotto Vettoriale

Dati due vettori V, w, si dice prodotto vettoriale di V e w il vettore V × w...

così definito:

• v^ w ha direzione perpendicolare al piano di v e w
• il verso di v^w è determinato dalla regola della mano destra, ossia v, w, v^w (nell’ordine) formano una terna destrorsa di vettori
• il modulo di v^w è v^w = |v||w|sin α

Osservazione

Dalla definizione segue il modulo |v^w| e uguale all’area del parallelogramma avente come lati adiacenti v e w; inoltre se n è un versore ortogonale sia a v che a w, v^w = |v^w|n.

Proprietà

1. (anticommutativa) v^w = -w^v
2. (umi) μv^w = v^(μw) = μ(v^w)
3. v^(v+w) = v^v + v^w

Dalla proprietà e dall’osservazione precedente segue che, dati due vettori v = (x1,y1,z1), w = (x2,y2,z2), io componenti rispetto R(O, x, y, z), si ha v^w = (x1y2 + y1z2 + z1y2) i - (y2z1 - z2y1) j + (X1y2 - x2y1) k, ossia (per ricorcio alla nozione di determinante)

tale espressione si può riscrivere simbolicamente nel seguente modo:

| i j k |

| x1 y1 z1 |

| x2 y2 z2 |

Prodotto misto

Dati tre vettori u, v, w di dice prodotto misto di u, v, w il numero reale u(v^w), ovvi ayyamente si esegue prima il prodotto vettoriale e poi quello scalare, altrimenti (v^w) u non ha senso. Suppo riunio