Tutti i tipi di medie

Sintesi delle distribuzioni statistiche

È uno strumento importante per la sintesi delle distribuzioni statistiche e si classificano in due classi:

Medie analitiche

Le medie analitiche si ottengono tramite opportune operazioni matematiche a tutti i valori del carattere che formano la distribuzione statistica considerata. Sono applicabili solo a distribuzioni statistiche di caratteri quantitativi e vi rientrano la media aritmetica, geometrica, analitica e quadratica.

Medie lasche

Le medie lasche sono caratterizzate dal fatto che intervengono solo alcuni valori specifici della distribuzione, tipicamente quelli che occupano particolari posizioni all'interno della graduatoria dei valori osservati. Vi entrano la mediana, i quantili, i decili, il valore centrale e la moda.

Spesso i valori intermedi sono i più numerosi perciò, la distribuzione avrà una forma campanulare. Nonostante i valori osservati siano discreti, useremo una funzione continua: i dati osservati sono rappresentati dall'istogramma e poiché l'altezza delle barre è la densità, la funzione continua che rappresenta una distribuzione viene detta funzione di densità.

Media aritmetica

La media aritmetica di una distribuzione statistica disaggregata è la somma dei termini x₁, x₂, …, x_n divisa per N.

Proprietà

• Internalità: La media deve essere interna, cioè compresa tra x₁ e x₂ (Cauchy).
• Invarianza dell'ammontare complessivo: Indicata con f(x₁,x₂,x_n) un'operazione matematica sui termini della distribuzione, si definisce come media la quantità M che, sostituita ai termini della distribuzione, fa sì che l'operazione matematica predetta, applicata alla nuova distribuzione e quella originaria abbiano lo stesso risultato. In poche parole, la somma dei termini della distribuzione è uguale alla media aritmetica moltiplicata per il numero di unità.
• Baricentro: La somma algebrica degli scarti della media aritmetica è nulla. M è un valore intermedio rispetto alle quantità che sintetizza quindi, gli scarti negativi e positivi si compensano.
• Proprietà dei minimi quadrati con centro di ordine 2: La somma dei quadrati degli scarti in termini della distribuzione da una costante c è minima quando c è uguale alla media aritmetica. La somma dei quadrati degli scarti della media aritmetica è più piccola della somma dei quadrati degli scarti da un qualsiasi altro valore, la media è il valore di sintesi.
• Proprietà di linearità: Se si trasformano i termini x₁, x₂, x_n secondo la funzione y_i=a+b_xi con a e b costanti, la media My dei termini trasformati è legata alla media Mx dei termini originati dalla medesima trasformazione, ossia My=a+bMx. La proprietà transitiva afferma che se si aggiunge o sottrae una costante a ai termini della distribuzione, la media aritmetica è uguale alla media della distribuzione iniziale aumentata o diminuita di a. La proprietà di omogeneità dice che se i termini della distribuzione sono moltiplicati per la costante b la nuova media è b-volte la media aritmetica di quella iniziale.

Media aritmetica per distribuzioni di frequenze

La somma arriva a k perché sommo le modalità. Media aritmetica (dati raggruppati): quando le modalità sono raggruppate in classi, se non disponiamo della distribuzione aggregata il calcolo della media sarà approssimato. Sia μ₁ la media del carattere n₁ e lo stesso per il 2, 3 e così via. Queste quantità consentono di calcolare senza errore la media della distribuzione. Ciò perché μ_i*n_i fornisce il totale del carattere.