Tutti i quesiti di Matematica Alpha Test con soluzioni e riassunti per l'accesso alle Professioni sanitarie e Medicina

INSIEMI, NUMERI E OPERAZIONI

• Insiemi:

  Un insieme può essere definito come una raccolta di oggetti. Un insieme A è meglio definito quando esiste una legge specifica o universale che permette di stabilire se un qualunque elemento X appartiene o meno all’insieme A.

Due insiemi A e B sono uguali quando contengono gli stessi elementi.

L'insieme vuoto è un insieme privo di elementi.

L’insieme ambiente o universo contiene l’totalità dei possibili elementi.

Corrispondenze tra insiemi:

• Corrispondenza univoca: Tra due insiemi A e B vi è una corrispondenza univoca quando ad ogni elemento A è corrisponde uno e un solo elemento di B. La corrispondenza univoca tra due elementi A e B viene curata detto funzione o applicazione (di A su B).
• Corrispondenza biunivoca: Quando ad ogni elemento di A è corrisponde uno e un solo elemento di B e viceversa; a ogni B corrisponde uno solo elemento di A. La corrispondenza biunivoca viene curata detta trasposizione fra A e B.

Operazioni con gli insiemi:

• Intersezione: è l’insieme degli elementi appartenenti contemporaneamente ad A e ad B.

  A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

• Unione: è l’insieme degli elementi appartenenti ad A oppure a B ossia elementi ad al più ad uno indistinto.

  A ∪ B = {x | x ∈ A oppue x ∈ B}

NATURALI INTERI RAZIONALI REALI

NUMERI NATURALI N

Costituiscono un insieme significativo, derivano dalla naturale azione del contare mai o detta che il quesito fra due naturale sta anche esso un naturale.

Scomposizione in fattori primi: per ogni numero naturale si può ricavare con detto operazioni con la scomposizione univoca in fattori primi e unici.

Massimo comune divisore: di due o più interi è il maggiore fra gli stessi divisori comuni.

Minimo comune multiplo: si può su due o più monomi è il prodotto di tutti i fattori comuni e non, presi una sola volta con l’esponente maggiore.

NUMERI INTERI RELATIVI Z

Sono costituiti dai numeri naturali (numeri interi positivi), dallo zero e dai numeri interi negativi.

Sono un insieme infinito Z = {... - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, + ...}

VALORE ASSOLUTO

Il valore assoluto è il numero stesso privo di segno.

NUMERI RAZIONALI Q

Sono costituiti da tutte le possibili frazioni (rapporti fra numeri interi relativi).

N ⊂ Z ⊂ Q

Una frazione si dice ridotta ai minimi termini quando il M.C.D. è 1.

CONFRONTO FRA FRAZIONI

Per confrontare fra frazioni è utile esprimerle ricorrendo al minimo comune denominatore.

Se il confronto risulta essere fra due frazioni a/b e c/d, si osservano i prodotti a × d e c × b: il prodotto più grande contiene il numeratore della frazione maggiore.

NUMERI DECIMALI E FRAZIONI GENERATRICI

Ogni numero razionale può essere espresso in numero decimale:

• decimale limitato
• decimale periodico

Esempio 0,26

• 6 è il periodo
• 2 è l’antiperiodo

Per ricavare la frazione generatrice da un decimale illimitato:

Il numeratore: differenza tra la cifra costituente l’intero periodo seguita dall’antiperiodo e la cifra tutta l'antiperiodo.

Nel denominatore: 9 per ogni cifra periodo e tanti zeri quante sono quelle dell’intervallo antiperiodo.

Se c’è necessario un confronto fra frazioni e decimali è utile esprimere tutto o in decimale o in frazione.

PERCENTUALI

Una percentuale è una frazione con denominatore pari a 100.

Se 100% rappresenta un’unità quindi dividendo si moltiplica qualsiasi numero per il 100% insomma cambiale se vogliamo.

PROBLEMI DI INTERESSE

La tassa di interesse va sempre intesa in base annua a meno che le proporzioni mari sappiano attualizzare.

Radicali e numeri reali

Numeri razionali, irrazionali e reali

Vi è corrispondenza biunivoca tra i numeri razionali e il punto della retta orientata. L’estensione di radice porta a un numero decimale senza periodo ovvero ad un numero irrazionale. Per risolvere alcuni problemi viene hue inseriti i numeri reali R. - L’insieme dei numeri reali R è l’unione dei razionali degli irrazionari R = Q∪I. - L’insieme R é in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta orientata.

Radicale algebrico

È ogni numero reale la cui potenza n-esima si segnala al numero reale a.

• Con a = 0 *n pari assume due valori reali opposti.
• Con a > 0 e n dispari un valore positivo.
• Con a < 0 e n pari nessun valore reale.
• Con a < 0 e n dispari un valore negativo.

Radicale aritmetico

È quel numero reale non negativo la cui potenza n-esima è uguale ad a.

Proprietà invariantiva dei radicali aritmetici

È importante osservare che la proprietà invariantiva vale nel caso in cui la base abbia potenza che costruisce il radicando sia positiva.

Operazioni con i radicali aritmetici

• Prodotto fra radicali: ⁿ√a x ⁿ√b = ⁿ√ab
• Quoziente fra radicali: ⁿ√m/n a = m/n ⁿ√a^m
• Potenza: (ⁿ√a)^m = ⁿ√a^m
• Radice di radice: ⁿ√m√ a = ^mn√a
• Trasporto fuori radice: se a>0 ⁿ√a^m x b = a ⁿ√b
• Trasporto dentro radice: se a>0 a ⁿ√a^m/ b = ⁿ√a^{m x b}

Somma di radicali aritmetici simili

Per poter calcolare la somma aritmetica è necessario che i due radicali siano simili. Due o più radicali si dicono simili quando hanno lo stesso indice, lo stesso radicando e differiscono eventualmente solo per un fattore moltiplicativo.

Equazioni di grado superiore al secondo

Per risolvere tali equazioni, raccolte in gruppi, scomponile in fattori per poi sfruttare la regola del cambiamento del prodotto:

x^3 - 5x² + 4x = 0

x (x² - 5x + 4) = 0

x = 0 x² - 5x + 4 = 0

x₁ = 0 x₂ = 1 x₃ = 4

Da alcuni conti, può essere utile effettuare un cambio di variabile:

x^4 - 5x² - 36 = 0

x² = t

t^2 - 5t - 36 = 0

Un’equazione di n° grado che contiene solo le potenze pari dell’incognita, viene detta biquadratica.

Proporzioni

L’uguaglianza tra due rapporti è detta proporzione:

• a : b = c : d
• a = c Conseguardi
• b = d Conseguardi
• a : c : d Custodianti

Le proporzioni endesi e significano col prodotto degli estremi a : d = b : c

Equazioni in due incognite

ax + by = c Per risolverle Si ottiene un valore attribuito ad una incognita e si ricava l’altra

Un’equazione in due incognise assume in generale infinite soluzioni.

Sistema di equazioni

Insieme di due o più equazioni delle quachi si branca trovare una soluzione comune.

Viene la soluzione di un sistemao Si tratta di trovare un’intersezione fra gli insiemi delle soluzioni delle singole equazioni.

Grado di un sistema

= è il prodotto dei gradi delle equazioni che lo costituiscono

I sistemi di primin gradi vengono detti sistemi lineari

Un sistema lineare può essere:

• possibile
• impossibile

deteminato - 1 soluzione

indeterminato - infinite soluzioni

Nessuna soluzione

Non esiste un sistema lineare con 2 o 3 soluzioni.

È possibile determinare il carattere di un sistema lineare senza doverlo risolvere:

1. se ^a/_a₂ = ^b₁/_b₂ = ^c₁/_c₂

determinato

1. se ^a/_a₂ = ^b₁/_b₂ ^c₁/_c₂

indeterminato

1. se ^a/_a₂ ≠ ^b/_b₂

impossibile

Se c₁ c₂

e

= {a1 + b1

{a1 + b2 = c