Turbomacchine, prof. Ravaglioli

AP1

Principio di conservazione dell’energia, si distinguono sistemi aperti e sistemi chiusi.

In un sistema chiuso vi è trasformazione di energia ma non trasferimento di massa. In un sistema chiuso il fluido

2

varia la sua energia interna(U), quella potenziale (gz) e cinetica (u /2). Può anche scambiare calore o lavoro. I calori

sono positivi se entranti e negativi uscenti, al contrario invece il lavoro.

+ + = − .

L’equazione per lo scambio di energia diventa: (sistemi chiusi)

Tutte quelle energie sono energie specifiche, ovvero per unità di massa.

= + , = + +

L’ENTALPIA, definita come in forma differenziale diventa:

Sostituendo dU dall’equazione dell’energia interna si ottiene:

⏞

= + +

= 0

In una trasformazione ideale si ha e quindi si può scrivere il calore scambiato come:

= − = +

SI definisce calore specifico la quantità di energia necessaria ad aumentare la temperatura di un grado a una massa

di un kg e si può scrivere: =

= =

Ricordando che per le isobare vale: e per le isocore si ha rispettivamente:

= ( ) = ( )

= =

=

Nei gas perfetti si ha

Per i sistemi aperti si scrive l’equazione di bilancio considerando il contributo di:

- energia interna

- en. Cinetica

- en. Potenziale

- en fornita dalla massa per via di un campo di pressioni in cui la massa si muove.

Anche in questo sistema si considera un volume di controllo determinato

da una specifica superficie con l’unica differenza che quest’ultima è

aperta.

Ipotizzando che il fluido in ingresso e uscita sia stazionario si può

calcolare il contributo di energia dovuto alla massa come il prodotto tra

la massa entrante e lo spostamento che questa compie.

=

1 1 1 1 1

Riscrivendo l’equazione di bilancio aggiungendo i nuovo termine e

sostituendo poi la definizione di entalpia si ottiene:

+ + ℎ = −

Che è l’equazione fondamentale del moto dei fluidi in sistemi aperti.

AP2

Si definisce entropia la quantità + + ℎ −

=[ ]

= =

= 0

Nel caso di trasformazioni ideali si ha e quindi:

=

Una trasformazione isoentropica è una trasformazione in cui non c’è variazione di entropia, e per valere ciò questa

= 0 = 0

deve essere adiabatica e reversibile, ovvero deve valere

=

Ricordando la legge dei gas perfetti si evidenzi R.

R rappresenta la costante dei gas perfetti ed equivale a:

0

=

8,314 29

Nel caso dell’aria, mentre è costante e pari a , il peso molecolare è pari a , e si ottiene infine:

0 ∗

1

[ ]

= 8314 ∗ ∗ = 287

29

ℎ = + =

Da qui, ricordando la definizione di entalpia come e sostituendo si ottiene:

ℎ = +

Da cui riprendendo le definizioni di calore specifico: = −

Per comodità molto spesso i gas perfetti vengono considerati gas ideali e di conseguenza con e costanti in

modo da ottenere: ( )

ℎ = → Δℎ = −

2 1

L’Entropia nel caso dei gas ideali/perfetti diventa quindi:

2 2

1

2

∫ ∫

= → Δ = = = ln

1

1 1

AP3

TIPOLOGIE DI TRASFORMAZIONI NOTEVOLI:

La trasformazione in cui incorre un fluido ideale è una trasformazione politropica.

≡ .

In particolare vale

Questa non è la trasformazione reale che avviene nella turbomacchina, ma è una trasformazione che ha qualcosa in

comune, ovvero il punto di inizio e punto di fine.

Il percorso che lega punto di inizio e fine può anche essere molto diverso tra le due trasformazioni.

= )

E’ una trasformazione ideale e di conseguenza reversibile. (

≠ 0

Non è una trasformazione adiabatica e di conseguenza

In particolare al variare del valore si possono avere 3 tipi di trasformazione:

= 1

- isoterma

= 0

- isobara

= =

- isoentropica

= ∞

- isocora

Applicando le relazioni di Poisson si può scrivere questa trasformazione nei seguenti modi:

≡ .

- −1

−1

≡ .

-

Per rappresentare queste trasformazioni si utilizzano i diagrammi

termodinamici, in particolare il diagramma pressione-volume e

quello temperatura-entropia.

+ =

Partendo dall’equazione dividendo per T:

+ =

Separando le variabili:

( )

− =

=

Ponendo :

( ) (∗)

− = −

= :

Applicando un differenziale logaritmico alla

ln() ln()

= → ln + ln = ln + ln

Differenziando:

+ = 0+

(∗)

Sostituendo nella :

( )

− ( + )=−

Separando di nuovo le variabili:

( ) −( )

− = − +

≝ −

Essendo :

−

+( ) =0

−

Integrando questa equazione si arriva a: −

−

≡ .

,

Ovvero si è ricavata l’equazione di una politropica in cui si è messo in evidenza a cosa equivale l’esponente

ovvero: − −

= =

− −1

Non tutte le trasformazioni termodinamiche però possono essere effettuate.

Bisogna valutare la percorribilità dei diagrammi termodinamici.

=

Per una trasformazione politropica per cui vale il vincolo è insito nella impossibilità di di essere

negativo. In parole povere la variazione di entropia può solo aumentare. Andando a sostituire alla precedente

relazione il valore di c trovato precedentemente si ottiene:

−

= >0

−1

Questa proprietà deve essere sempre vera nel caso di compressioni o espansioni.

< 0

Nelle espansioni si ha necessariamente e di conseguenza sono possibili solo trasformazioni in cui:

− < 0 − 1 > 0

-

− > 0 − 1 < 0

-

La seconda però è impossibile di conseguenza vale solo:

− < 0 − 1 > 0

Che analiticamente viene tradotta in: 1<< <0

Nelle compressioni si fa il medesimo ragionamento considerando

−

> 0

Di conseguenza deve valere ottenendo così 2 possibilità:

−1

− > 0 − 1 > 0

-

− < 0 − 1 < 0

-

La seconda però anche in questo caso è impossibile e di conseguenza rimane solo:

− > 0 − 1 > 0

Che può essere tradotto come: >

AP4

ANDAMENTO DI ISOBARE/ISOCORE SUL DIAGRAMMA T-S

Per descrivere questo andamento bisogna ricavare S in funzione di T nelle trasformazioni isobare e isocore.

=

Ricordando la relazione si hanno i 2 casi:

=

- Isobara:

=

- Isocora:

Per trovare l’andamento di T in funzione di S si integrano queste equazioni

ottenendo rispettivamente:

(isobare) (isocore)

Δ = ln ln

0 0

Di conseguenza riarrangiando i termini e scrivendo T(S) si ottiene:

Δ Δ

(isobare) (isocore)

=

0 0

L’andamento di queste due trasformazioni nel grafico TS è quindi esponenziale.

In particolare considerando due isobare a due >

pressioni costanti diverse si può notare che se 2

allora calcolando il valore della temperatura in

1

condizioni entropiche equivalenti si trova per le 2

pressioni differenti valori che tendono a

distanziarsi con l’aumentare della temperatura,

ovvero: − < −

2 1 3 4

Ciò significa che le isobare divergono. AP5

STUDIO DI TRASFORMAZIONI REALI

Nello studio di trasformazioni di compressione/espansione reali si ipotizza innanzitutto di essere nel caso di

= 0

trasformazioni adiabatiche con conseguente

L’equazione fondamentale del moto dei fluidi in sistemi aperti (AP1) diventa così:

+ + ℎ = − → = −ℎ

⏟ ⏟

0

0

Ricordando la definizione di entalpia come:

=

Si ottiene che il lavoro di un fluido equivale a:

2 2

∫ ∫

= − = − = − Δ

12

1 1

Δ = Δℎ.

Nel caso di una isobara

Graficamente si ottiene perciò che il lavoro scambiato è l’area

sottesa alla curva della trasformazione nell’intervallo considerato.

Nello studio di trasformazioni reali si fa uso quindi di trasformazioni ISOENTROPICHE che oltre a essere reversibili

sono anche adiabatiche, al contrario delle politropiche.

COMPRESSIONI

COMPRESSIONE ISOENTROPICA (DC2isA)

= → =

Si parte dal considerare che

Il lavoro scambiato in questa trasformazione come visto prima è

= −Δℎ

pari a

Si sa inoltre che tra una isoentropica e una isobara si ha:

Δℎ = Δℎ

Δ = Δℎ

Avendo visto prima che nel caso di una isobara si ha: si

ottiene infine: = Δ = − Δ

2

(

− = − 1)

Per convenzione sui segni il lavoro speso si indica con negativo e quindi: 1

1

Ricordando inoltre che il rapporto di temperature può essere scritto come rapporto di pressioni sfruttando le leggi di

= .

Poisson nella forma Si ottiene:

−1

−1

2

[(

− = ) − 1]

1

1

= = −

Ricordando la definizione di e quella di si può sostituire nella equazione precedente la relazione:

=

−1

−1

⏞ 2

[( )

= − 1]

Ottenendo così: 1

−1

1

COMPRESSIONE POLITROPICA (non adiabatica):

+

= − = −

Per definizione: mentre l’equazione dei fluidi diventa e di conseguenza:

ℎ

2 2

⏞ ⏞

∫ ( ) ∫ (

= − − = − − )

1 1

−

=

Ricordando da AP3 che e con la solita convenzione sui segni si arriva a:

−1 −

( )

− = − Δ

−1 −1

2 2

( )

= . =

In una politropica si ha E di conseguenza: ottenendo: . Sostituendo nella equazione del

−1

1 1

lavoro si ottiene: −1

−

2

( ) [(

− = − ) − 1]

1

−1

1

Applicando la relazione: −

− =

−1 −1

e andando a sostituire si ottiene il lavoro politropico di compressione:

−1

negativo

2

⏞ [(

= ) − 1]

1

−1

1

=

Infine se si vuole ottenere il lavoro reale di compressione basta considerare ottenendo quindi:

−1

−1

2

[(

= ) − 1]

1

−1

1

RENDIMENTI

Una volta calcolati i vari lavori si possono calcolare i rispettivi rendimenti come:

= e =

pol_ iso_

Svolgendo i calcoli: −1

2

[( )

− 1]

1

− 1

−1

1

= = = ∗

_ −1

−1

2

[( )

− 1]

1

− 1

1

Mentre per la isoentropica: −1 −1 −1

2

[( )

− 1]

2 2

1 ( ) ( )

−1 −1

− 1

1

1 1

= = = =

_ −1 −1 −1 1

∗

2 2 2

[( ) ( )

− 1] −1 ( ) −1

1

− 1

1 1 1

Fatto ciò si possono fare varie considerazioni. Indicando con il

2

=

rapporto si nota come il rendimento della politropica sia

1

indipendente da e di conseguenza costante, mentre per la

.

isoentropica il rendimento varia proprio in funzione di

= + Δ + Δ = + Δ

Inoltre ricordando che si può

scrivere: + Δ

= =

_ + Δ + Δ

= =

_ + Δ + Δ

< <

Δ Δ

La quantità è definita controrecupero. Nella politropica la quantità quantifica le perdite della trasformazione

Reale non reversibile. Il problema è che questo calore dovuto ad attriti causa una contro-espansione, o una extra-

Δ.

perdita ESPANSIONI

ESPANSIONE ISOENTROPICA

E’ la trasformazione che passa da . Come visto per le

4

compressioni si ha

= −Δ = − Δ

Svolgendo i calcoli e ricordando che per una isoentropica vale

−1

4 4

=( ) =

e si ottiene:

−1

3 3

4

( )

= − Δ = − = (1 − )→

4

−1

−1

1

4

(1 )

= − ( ) = (1 − ( ) )

−1

3

Questo è il lavoro di espansione isoentropico ed è positivo perché è ceduto dal fluido

ESPANSIONE POLITROPICA −1

4 4

( )

Δ =

È quella trasformazione che passa da senza disperdere calore essendo adiabatica. Ponendo

4

3 3

e con lo stesso procedimento della isoentropica: −1

ℎ

4 4

4

⏞ ⏞

∫ ( ) ∫ ( [1 ]

= − − = − − ) = − ( )

3

−1

3

3 3

ESPANSIONE REALE

È la trasformazione che passa da ma a differenza della politropica questa a causa della no