Trasporto di Materia

Trasporto di materia

Bilancio di materia

dN_i/dt = N_i,in - N_i,out + r_i V

Termine di generazione e scomparsa di i:

dN_i/dt = M_i M_i^ant Σ_i r_i V se moli non si conservano 1 mole

Metodi di trasporto

1. Diffusione o dovuta dalla conduzione per trasporto di materia

C_A = moli_A / m³

ρ_A = k_A / μ₃ → C_A = ρ_A / M_A per molocolore

Frazione molare

X_A = u_moles / m_total

ΣX_i = 1

Frazione massiva

W_A = k_gA / k_gtot

ΣW_i = 1

Legge di Fick

J_A = - ρ D_AB ∇ W_A

coeff. di diffusione [k_g / m²] [k_g / m³] [m² / s] [d / m]

Bilancio di materia

1. dN_i/dt  ṁ_in + ṁ_out + r_iV = termine di generazione e scomparsa di i
2. dM_i/dt = M_in - M_out + Σ_inr_iV (se n_moli non in conversione nC o HCC allora 1 mol)

Metodi di trasporto

1. Diffusione o simile alla conduzione per trasporto di materia

C_A = moli_A m^-3

ρ_A = k_gA m^-3

C_A = ρ_A/W_A peso molecolare

Frazione molare

X_A = moli_A moli_tot

Σ_i X_i = 1

Frazione massiva

W_A = k_gA k_gtot

Σ_i W_i = 1

Legge di Fick e coefficiente di diffusione

J_A = - ρ D_AB ∇W_A

[k_g/m²s][k_g/m³][m²/s][1/m]

Portata totale della specie

A_ṁA = ^_ṁA / _A [ kg / m³ ]

Con 2 specie:

_ṁA = ρ_A v_A

_ṁ = _ṁA + _ṁB

Portata

v = ρ_A v_A + ρ_B v_B

Velocità media

v = ^{ρ_A v_A + ρ_B v_B} / _ρ

⟹ v = ω_A v_A + ω_B v_B

ω = ^ρ_A / _ρ

_ṁ = ρ_A v_A = j_A + ρ_A v^- — contributo convettivo — contributo diffusivo

Fick + velocità media

j_A = - ρ D_AB ▽ w_A + w_A (_ṁA + _ṁB)

_j̇A - _ṁA - ρ_A v = ρ_A (v_A - v^-) ⟹ ρ

_̇j̇B = ρ_B (v_B - v^-)

j_A + j_B = 0

D_AB = D_BA

Velocità di reazione

R2: velocità di reazione [conc. attraz.] constante di Arrhenius

Rs: A → B

R2 = K C_A

A + B → C + D

R = K K_A C_A C_B

r_i = (_i ∑ _j D_j R_j) V_i

Velocità di prod./consumo della specie i-esima

Esempio di reazione

A + B R₂ ← C + D

A + C → D + E

E + D → 2A

r_A = (-R₃ - R₂ + 2R₃) W_A

Equazioni differenziali

dC_A/dt = -K C_A C_B

dC_B/dt = -K C_A C_B

C_A⁰ - C_A = C_B⁰ - C_B

C_B = C_A = C_A⁰ - C_B⁰

dC_A/C_A (C_A - C_A⁰ + C_B⁰) = -kd dt

Se C_A⁰ = C_B⁰

dC_A/C_A² = -kd dt

Reazioni in parallelo

A _ka B^k_b C^k_c D

dC_A/dt = R_A = -k₁C_A - k₂C_A = -(k₁+k₂)C_A

C_A = C_A ^o e^{-(k₁+k₂)t}

Reazioni in serie

A _ka B _k1 C _k2 D

dC_A/dt = R_A = -k₁C_A

C_A = C_A ^o e^-k₁t

dC_B/dt = k₁C_A - k₂C_B

eq omogena

dC_B/dt = -k₂C_B

C_B = A e^-k₂t + B e^-k₁t

dC_B/dt = - A k₂ e^-k₂t - B k₁ e^-k₁t

= k₁C_A ^o e^-k₁t - k₂( A e^-k₂t + B e^-k₁t)

⟹ - B k₁ = k₁C_A ^o - B k₂

⟹ B = ^{k₁C_A o}/_k2-k1

per trovare A:

C_B(t=0) = 0

0 = A + B ⟹ A= -B

C_B = [ - ^k₁/_k2-k1 C_A ^o e^-k₂t + ^k₁/_k2-k1 C_A ^o e^-k₁t ]

Equazione di continuità

ρ_A dW_A/dt + ρ ∇•(v_AW_A) = ∇•(ρ_AD_A∇W_A) + V_A

es. H passa da 1 a 2

ȷ̂_A = -ρ_AD_A∇W_A

Eq. di cont. assumendo costante variazione sup. y e z:

ρ dW_A/dt + ρ v_rx dW_A/dt = ∂/∂_x (ρD_A dW_A/∂_x)

∂/∂_x (ρ_AD_A ∂W_A/∂_x) = 0

Ammiano che ρ_eρ_A ∂²W_A/∂n² = 0

{ n = 0 W_A = W_A1 { n = S W_A = W_A2

Se Dcon sec. = 0 → eq. di partenza è una retta

W_A = C₁x + C₂

W_A1 = C₂ W_A2 = C₁S + W_A1

C₁ = (W_A2 - W_A1 )/ S→

W_A = (W_A1 - W_A2)n/S + W_A1

ȷ̂_A = -ρ_AD_A ∇W_A = -ρ_A D_A dW_A/d_x + ȷ̂ = ρ_A D_A (W_A1 - W_A2) / S

Portata totale forza motrice

Resistenza al trasporto di materia

Lastra piana

Per tubi: Resistenza

Coefficiente di diffusione gas-gas

D_AB = ¹/₃ λv

Velocità libero cammino medio v = √^8kT/_πm

λ = ¹/_{√2 πu d²}u = c N_av = ^p/_kT

D_AB = ²/₃ √(^k/_π)³ √T^{3 1}/_d²p

Se una d mol D_AB = ²/₃ √(^k/_π)³ √T^{3 1}/_p √(^d_a+d_o/₂)² √(¹/_mA + ¹/_mB)

Liquido-liquido

D_AB = KT ^μ_A/_FA

Se Re << 1 F_A/_μA = 6πημ_BR_A

^{(2μ_A + R_Aβ_AB)}/_{(3μB + RAβAB)} for β_AB → ∞

F_A/_μA = 6πημ_BR_A

D_M = K T / (6πη μ_{BRA) for βAB → 0}

F_A/_μA = 2/3 × 6πημ_{BRA = 4πη μBRA}

D_AB = K T / (6πη μ_BRA)

Convezione materiale

Strato limite

Profilo velocità

ṁ_A = A K_m (P_As - P_A∞)

ṁ_A = K_m (P_As - P_A∞)

A contatto con la super:

ṁ_A = -ρ D dw_A/dy |_y=0

K_m = -ρ D (dw_A/dy |_y=0)/(P_As - P_A∞)

(K_m D)/D = cost Re^α Sc^β Sh

Numero di Schmidt

Sc = μ/(ρ D) = ν/D

Formula di Sherwood

Formule utili

Legge di Fick e velocità di diffusione

Ṁ = _{D A Δc}/^S = _Δc/^R

Calcolo concentrazione

c = _m/^V = _p/^RT

P-datum = 101.3 kPa T: 1°C = 274 K

Calcolo resistenza

1. Cilindro R = _{ln re + s}/^r_i/_{2π L D}
2. Sfera R = ₁/^r_e + ₁/^{r_e + s}/_{4π D}
3. Lastra piana R_p = _Sp/^{D_p A} R_i = _Si/^{D_i A}

Passaggio di fase (es. vap.) e scambiatori

ṁ C_p (T_out - T_in) = ṁ_vap. [ΔH_ev + C_p (T_amb. - T_out)]

Calcolo coefficiente globale di scambio

¹/_U = Σ¹/_hi + ^S/_k + ^S/_he

U = ¹/_{(¹/hi + ^S/k + ln ^De/2 k + ¹/he)}

U (T_sup - T_ain) = h_e A_tot (T_ino - T_ain)

Calcolo h_i, h_e

h_i = Nu_i (^λ/_Di) oppure k

Nu_i = const. Re_i^α Pr_i^β

Re_i = ^{ρ_w V_x D_i}/_μvap

Pr_e = ^{μ_e C_p}/_λvap

Calcolo portata evaporante

_ṁev = hm A (β_sup - β_bulk)

h_ms = ^{Sh D_v,arnm}/_L0 lunghezza

Convettiva aria

Bilancio di materia

dm_N/dt = -ṁ_Nm_N(t=0), m_N⁰ = π/6 D₀³ ρ_M

ṁ_N = P_M ṁ

= P_M K_m ΔC_N= P_M ṁ π D² K_m (C_N^s - C_N^∞)

= P_M ṁ π D² K_m P_N^s/RT

K_m = Sh . D/δ

dm_N/dt = -P_M π D² Sh . D/δ P_N^s/RT

Se m_N = π/6 D³ ρ_N

dm/dt = D³ π/6 ρ_N dD/dt

π/6 ρ_N 3 D² dD/dt = -π D² P_M N Sh D/δ P_N^s/RT

D dD/dt = 2/ρ_N P_M N Sh D/δ P_N^s/RT

D dD/dt = -βD(t=0) = D₀

D² - D₀²/2 = -β t