Trasmissione numerica - i segnali aleatori

Tale risultato è noto come Legge dei grandi numeri: pertanto la condizione di ergodicità

della media (1.31) generalizza alle sequenze correlate tale legge.

Più in generale si pone il problema di stabilire sotto quali condizioni una determi-

nata caratteristica probabilistica del segnale (media, valore m.s., funzione di autocor-

relazione, CDF, ecc.) possa essere misurata, con sufficiente accuratezza, come media

temporale di una funzione membro, eventualmente opportunamente pre-elaborata, su

di un’intervallo d’osservazione finito. Precisamente occorre stabilire in quali ipotesi la

media temporale di una opportuna funzione del segnale converga, in media quadratica,

alla grandezza di interesse al crescere del numero dei campioni; in altri termini occorre

stabilire, supposto il segnale tempo discreto, sotto quali ipotesi

< g[X(n)] >= E[g[X(n)]]

1.8 Caratterizzazione energetica dei segnali

1.8.1 Segnali di energia e di potenza

I segnali, e quindi anche i segnali aleatori, sono spesso classificati sulla scorta del loro

contenuto energetico. Precisamente si definisce l’energia di un segnale la quantità:

Z



 2

|X(t)| dt segnale tempo continuo





 T

,

E (1.33)

X X



 2

 |X(n)| segnale tempo discreto

 n∈T

X(·)

Quando è aleatorio l’energia varia da realizzazione a realizzazione e, quindi, è

una v.a.; pertanto per carattarezzirare da un punto di vista energetico un s.a. se ne

considera l’energia media : ,

E ]

E[E (1.34)

X X

Un segnale dicesi di energia se la sua energia media è finita e non nulla;

conseguentemente per un segnale di energia si ha:

})

P ({E = +∞}) = 0

X

e quindi l’energia delle singole realizzazioni deve essere finita almeno con probabilità

uno.

Si noti che l’energia non è additiva, ma, come è facile verificare, l’energia del

Z(·) = X(·) + Y (·)

segnale somma vale:

E = E + E + E + E (1.35)

Z X Y XY Y X

20

∗

E = E

ove è l’energia mutua, definita da:

XY Y X

Z





 ∗

X(t)Y (t)dt

E segnale tempo continuo







 T

,

E ] = #

"

E[E (1.36)

XY XY  X





 ∗

X(n)Y (n)

E segnale tempo discreto



 n∈T

L’energia mutua e da conto di come interagiscono i due segnali in termini energetici; se

l’energia mutua è nulla si ha che l’energia del segnale somma è la somma delle energie

ed i segnali si dicono ortogonali.

Se l’energia è infinita il segnale viene caratterizzato, da un punto di vista energetico,

dalla sua potenza. Ricordiamo che si definisce valor medio temporale, o semplicemente

valor medio se la dizione è non ambigua, la quantità:

Z

 1

 2

 |X(t)| dt

lim segnale tempo continuo



 T

 T →T T

,

< X(·) > (1.37)

X

 1



 2

|X(n)|

lim

 segnale tempo discreto

 N

N →T n

La potenza di un segnale è allora semplicemente la media temporale del segnale

modulo quadro 2

, |X(·)|

< >

P (1.38)

X

P è a sua volta aleatoria per cui se ne considera il valor

Nel caso di segnali aleatori X

medio: ,

P ]

E[P (1.39)

X X P è finita e non

e si chiamano segnali di potenza i segnali per i quali la potenza media X

nulla; per tali segnali si ha P ({P = +∞}) = 0

X

e quindi la potenza delle singole realizzazioni deve essere finita (con probabilità uno).

Anche la potenza non è in genere additiva, ma vale una relazione analoga a quella

stabilita per l’energia; precisamente, la potenza del segnale somma:

Z(·) = X(·) + Y (·)

vale: P = P + P + P + P

Z X Y XY Y X

∗

P = P

ove è la potenza mutua definita da:

XY Y X ∗

, , ]

P ] X(·)Y (·) >

E[P E[< (1.40)

XY XY {z }

| P XY

21

Si noti che, ipotizzando di poter scambiare le operazioni di media statistiica con

quella d’integrazione o di media temporale, nel caso di segnali d’energia si ha:

Z



 r (t, t)dt segnale tempo continuo

 XX



 T

E =

X X





 r (n, n) segnale tempo discreto

 XX

n∈T

ed analogamente nel caso di segnali di potenza:

 < r (t, t) >

 segnale tempo continuo

XX

P =

X  < r (n, n) > segnale tempo discreto

XX

Se il segnale è stazionario almeno in senso lato,

r (t, t) = r (0), r (n, n) = r (0)

XX XX XX XX

conseguentemente l’energia è infinita: in altri termini un segnale d’energia è neces-

sariamente non stazionario. Tale affermazione si giustifica anche sul piano intuitivo

se si tiene presente che le realizzazioni di un segnale di energia hanno energia finita

e, quindi, asintoticamente devono essere trascurabili il che contrasta con l’ipotesi di

stazionarietà. In altri termini i segnali stazionari almeno in senso lato sono segnali di

potenza e per tali segnali si ha: 2

P = r (0) = ]

E[|X(·)|

X XX

cioè la potenza è l’autocorrelazione nell’origine ovvero il valore m.s. del segnale.

1.8.2 Densità spettrali di energia e di potenza

x(t) y(t)

Innanzi tutto ricordiamo che se e sono due segnali deterministici di energia

la loro energia mutua, per la relazione di Parseval, vale:

Z Z 1

∞ 2

∗ ∗

= X(f )Y (f )df = X(ν)Y (ν)dν

E E

xy xy 1

−∞ − 2

che porta immediatamente ad interpretare la funzione integranda come spettro di ener-

x(·) y(·).

gia mutua o densità spettrale di energia mutua (ESD mutua) di e Notiamo

esplicitamente che in questa definizione l’ordine dei due segnali è importante, dal mo-

mento che il secondo dei due spettri deve essere coniugato. Dunque l’ESD mutua è la

funzione ∗

,

(·) X(·)Y (·)

S xy 22

e ovviamente si ha ∗ (·)

(·) =

S S

xy yx

Se i due segnali coincidono, allora si ottiene la densità spettrale d’energia:

2

, |X(·)|

(·)

S (1.41)

xx

Ricordiamo che la banda di un segnale è qualitativamente definita come la gamma

di frequenze contenente le componenti significative del segnale e può essere valutata in

base a considerazioni energetiche: precisamente, per i segnali di energia essa pu ò esse-

re definita come l’intervallo di frequenze in cui è allocata una determinata frazione del-

l’energia totale, ad esempio il 90%, il 95%, il 99%, ecc.; inoltre, se i segnali sono reali,

comunemente si prendono in esame solo le frequenze positive (banda monolatera).

Esempio 9 Impulso rettangolare

x(t) A T

Sia un impulso rettangolare di ampiezza e durata ; ricordando che

t ←→

AΠ AT sinc(f T )

T

si ottiene immediatamente la seguente espressione per l’ESD dell’impulso rettangolare

2

(f ) = E T sinc (f T )

S xx x

2

E = A T x(t).

ove è l’energia di

x E (k)/E

È interessante valutare la frazione di energia dell’impulso rettangolare

x x

compresa nell’intervallo di frequenze

k k

− ≤ ≤

f k = 1, 2, . . .

T T

Integrando l’ESD si ha: Z Z

k k

E(k) T 2

2 sinc (u)du

= T sinc (f T )df = 2

E k 0

− T k = 1,

Valutando numericamente l’integrale si ha che per cioè nel lobo principale, la

= 2

frazione di energia è pari al 90 %; includendo anche una coppia di lobi laterali (k

la frazione di energia sale al 95 %, mentre per racchiudere il 99 % dell’energia occorre

= 10).

portare in conto nove coppie di lobi laterali (k Conseguentemente la banda

J

1/T 2/T 10/T

monolatera al 90 % è , quella al 95 % è e quella al 99 % è .

2

|X(·) + Y (·)|

Si noti infine che sviluppando è immediato mostrare che l’ESD del

x(·) + y(·)

segnale somma è data da:

(·) = (·) + (·) + (·) + (·) = (·) + (·) + 2<e{S (·)}

S S S S S S S (1.42)

x+y x y xy yx x y xy

23

Per i segnali aleatori di energia è possibile introdurre l’ESD mutua ed auto come

media statistica di quella valutata sulla generica funzione membro, ma tale caso non è

di grossa rilevanza pratica perché i segnali d’interesse sono di norma segnali di potenza.

Per i segnali di potenza ha interesse considerare la distribuzione in frequenza della

X(·) Y (·)

potenza mutua (1.40) di e e si definisce lo spettro di potenza mutua o densit à

X(·) Y (·), (·),

S

spettrale di potenza mutua di e e la si denota col simbolo il limite

XY

1 ∗ (f )]

[X (f )Y

(f ) = lim

S E (1.43)

T

XY T

2T

T →∞

X (f ) Y (f )

dove e denotano gli spettri dei segnali troncati. In altri termini la PSD

T T

mutua è il limite dell’ESD media dei segnali troncati divisa per l’ampiezza dell’inter-

vallo di osservazione al crescere di tale ampiezza. Analogamente nel caso di segnali a

tempo discreto, con ovvio significato dei simboli, si pone

1 ∗

(ν) = lim [X (ν)Y (ν)]

S E (1.44)

XY N N

2N + 1

N →∞ ≡

X(·) Y (·)

Ponendo nelle definizioni (1.43) e (1.44) si ottiene la definizione della

X(·)

PSD del segnale

2 2

|X |X

(f )| (ν)|

E E

T N

(f ) = lim (ν) = lim

S S (1.45)

XX XX

2T 2N + 1

T →∞ N →∞ P (·),

In altri termini la PSD è il limite della media del periodogramma definito da:

1 1

2 2

, ,

|X |X

P (f ) (f )| P (ν) (ν)| (1.46)

T T N N

2T 2N + 1

Si noti che, dalle definizioni introdotte, segue che l’ESD e la PSD sono funzioni

reali non negative, ≥

(·) 0

S XX

e che gli spettri mutui di energia e di potenza soddisfano la seguente proprietà di

simmetria: ∗

(·) = (·)

S S

XY Y X

che per segnali reali diventa: (·) = (−(·))

S S

XY Y X

Sottolineamo esplicitamente che il significato computazionale della definizione

della PSD è relativamente modesto dal momento che esistono metodi di calcolo di

(·)

S ben più potenti di quello basato sulla (1.45). Tali metodi utilizzano il legame,

XX

che verrà derivato in seguito, esistente tra spettri di potenza e funzioni di correlazione

(teorema di Wiener Khintchine). Il seguente esempio viene infatti sviluppato pi ù che

altro per evidenziare i limiti di applicabilità della definizione.

24

Esempio 10 PSD di una sinusoide a fase aleatoria

X(t) = A cos(2πf t + Θ) A f Θ

Sia con e costanti e variabile aleatoria unifor-

0 0

(0, 2π).

memente distribuita in Utilizzando la trasformata dell’impulso rettangolare e

la regola di modulazione, si ha:

t

x (t) = AΠ cos(2πf t + Θ)

T 0

2T

l jΘ −jΘ

−

X (f ) = AT sinc[2(f f )T ]e + AT sinc[2(f + f )T ]e

T 0 0

∗

x (t) X (f )X (f ) Θ

da cui, valutando l’ESD di come e mediando su si ha

T T T

1

1 2 2

2 2

} −

E{|X (f )| = A 2T sinc [2(f f )T ] + 2T sinc [2(f + f )T ]

T 0 0

2T 4 → ∞,

T

onde, passando al limite per si ricava:

1 2 −

A [δ(f f ) + δ(f + f )]

(f ) =

S 0 0

XX 4

Pertanto la PSD di una sinusoide a fase iniziale uniforme è costituito da due righe

J

±f

(δ-impulsi) alle frequenze .

0

Come evidenziato da tale esempio, la PSD può essere valutata mediante definizione

se è disponibile l’espressione analitica della generica funzione membro (segnali a para-

metri aleatori). Ma, poiché, in genere, di un segnale aleatorio è nota la caratterizzazione

statistica nel dominio del tempo, la PSD viene comunemente valutata col: (·)

S

Teorema 1 (Wiener-Kintchine): La densità spettrale di potenza mutua dei

XY

X(·) Y (·),

due segnali e è la trasformata di Fourier della loro funzione di mutua

correlazione media definita da:

∗ ∗

,< ,<

− −

r (τ ) (t τ )] > r (m) (n m)] >

E[X(t)Y E[X(n)Y (1.47)

XY XY

in particolare della funzione di mutua correlazione per segnali congiuntamente SLL.

(·) X(·)

S

Corollario 1 La densità spettrale di potenza di è la trasformata di

XX

Fourier della sua funzione di auto correlazione media:

∗ ∗

,< ,<

− −

r (τ ) (t τ )] > r (m) (n m)] >

E[X(t)X E[X(n)X (1.48)

XX XX

Analogamente a quanto visto per i segnali di energia, la PSD consente di definire

la banda per i segnali di potenza in termini energetici come la gamma di frequenze in

cui è allocata una prefissata frazione della potenza totale, come illustrato dal seguente

25

Esempio 11 PSD e banda di un segnale con acf esponenziale

X(t)

Sia un segnale SSL, a media nulla ed autocorrelazione

−|τ |/T

r (τ ) = P e

XX X

ci proponiamo di determinare PSD e banda di tale segnale.

Ricordando che: 2T

−|τ |/T ←→

P e P

X X 2

1 + (2πf T )

a norma del Teorema di WK si ottiene immediatamente la seguente espressione per

l’PSD del segnale in esame: 2T

(f ) = P

S XX X 2

1 + (2πf T )

−B ≤ ≤

P (B) f B

La potenza di tale segnale nella banda è quindi:

X

Z B 2T 2

P (B) = P df = P arctan (2πBT )

X X X

2

1 + (2πf T ) π

−B

∞

B = P B

che per restituisce la potenza totale . Pertanto, la banda monolatera cui

X

−

1

compete la frazione dell’energia totale si ottiene risolvendo l’equazione

2

− arctan [2πBT ]

1 = π

da cui si ricava:

π

1 −

tan [1 ]

B =

2πT 2

In particolare:

1 2

π '

B = Hz

tan 0.95

0.05 2πT 2 T J

è la banda al 95% dell’energia.

Si osservi che anche per i segnali di potenza, come è facile verificare, la PSD del

segnale somma è data da una relazione del tutto analoga alla (1.42). Conseguentemen-

te, se i due segnali sono incoerenti allora, a norma del teorema di Wiener-Kinchine, la

loro PSD mutua è nulla; pertanto non solo l’autocorrelazione di una somma di segnali

incoerenti è la somma delle singole autocorrelazioni, ma anche la PSD della somma di

segnali incoerenti è la somma delle PSD dei singoli addendi.

Si osservi infine che le considerazioni svolte con riferimento ai segnali di potenza

aleatori valgono anche per i segnali deterministici, solo che in tal caso l’operazione di

media statistica è ridondante. 26

1.8.3 Segnali PAM

Di notevole interesse per le applicazioni sono i segnali PAM, cioè i segnali del tipo

+∞

X −

X(t) = A(n)p(t nT ) (1.49)

n=−∞

p(t)

ove è un segnale impulsivo, cioè un segnale di energia, anche se è utile includere

δ(t), A(n)

come caso limite l’impulso ideale ed è una sequenza in genere aleatoria, det-

ta sequenza modulante. L’andamento tipico di un segnale PAM è riportato in fig. 1.2:

a(n)

precisamente nella fig. 1.2b è riportata una realizzazione della sequenza modulan-

A(n) x(t) p(t)

te ed in fig. 1.2c la corrispondente realizzazione del segnale PAM, con

T /2

impulso rettangolare di durata (fig. 1.2a).

6

p(t)

a) -

t

T

2

6

a(n)

b) -

n

6

x(t)

c) -

t

T

a), b) c).

Figura 1.2: Impulso base sequenza modulante e segnale PAM

Sono, per esempio, di tipo PAM i segnali utilizzati nelle trasmissioni numeriche

multilivello: precisamente in tal caso una sorgente discreta emette, in modo cadenzato,

T a(n)

ogni secondi, un simbolo ed un modulatore di dati, disposto in cascata, genera

27 a(n) x(t)

- -

Sorgente Modulatore

numerica 6

∼ p(t)

Figura 1.3: Generazione di segnali PAM.

−

a(n)p(t nT )

l’impulso di ampiezza proporzionale al simbolo emesso dalla sorgente

(fig. 1.3).

Si noti che per i segnali PAM il calcolo del loro spettro di potenza può essere

condotto secondo la definizione. Precisamente ci proponiamo di determinare la PSD

mutua tra i due PAM isocroni: +∞

+∞ X

X −

− B(n)q(t nT )

A(n)p(t nT ) Y (t) =

X(t) = (1.50)

n=−∞

n=−∞ T 2N + 1

aventi cioè stesso periodo . Consideriamo impulsi dei segnali PAM, cioè i

segnali: N N

X X

− −

X (t) = A(n)p(t nT ) Y (t) = B(n)q(t nT )

N N

n=−N n=−N

Trasformando secondo Fourier si ha:

N

X −j2πnf T

A(n)P (f )e = P (f )A (f T )

X (f ) = N

N n=−N −N

A (ν) A(n) N

ove è la trasformata della successione troncata tra ed valutata in

N

ν = f T ; analogamente, con ovvio significato dei simboli, si ha

Y (f ) = Q(f )B (f T )

N N

Conseguentemente, dalla definizione di PSD, si ha:

1 ∗

,

(f ) lim (f )]

[X (f )Y

S E

XY N N

(2N + 1)T

N 1

1 ∗

lim [P (f )A (f T )Q (f )B (f T )]

= E N N

T 2N + 1

N

1 1

∗

= P (f )Q (f ) lim [A (f T )B (f T )]

E N N

T 2N + 1

N

28

Il limite all’ultimo membro della relazione precedente è, per definizione, la PSD mutua

(ν) ν = f T

S tra le due sequenze modulanti valutato in per cui,in definitiva, si ha:

AB 1 ∗

(f ) = P (f )Q (f )S (f T )

S (1.51)

XY AB

T 1/T

Pertanto la PSD mutua tra due PAM isocroni, a meno del fattore , è data dal

prodotto della ESD mutua tra i due impulsi base ∗

(f ) = P (f )Q (f )

S pq

e la PSD mutua tra le due sequenze modulanti.

Ponendo nella (1.50) ≡ ≡

p(t) q(t); A(n) B(n)

la (1.51) diventa 1 2

|P

(f ) = (f )| (f T )

S S (1.52)

XX AA

T

che esprime la PSD di un segnale PAM. Pertanto la PSD di un segnale PAM è pari, a

1

meno del fattore di scala , al prodotto della ESD dell’impulso base per la PSD della

T ν = f T

sequenza modulante, valutata per .

Esempio 12 Segnale numerico sincrono A(n)

Un caso molto comune di segnale PAM è quello la cui sequenza modulante è

una successione di v.a. iid, che modella l’emissione di simboli da parte di una sorgente

numerica senza memoria secondo lo schema generale di fig. 1.3.

In fig. 1.4 è riportato una possibile realizzazione di tale segnale nel caso di sequenza

A(n)

modulante binaria, nel caso cioè che le v.a. siano bernoulliane, sia nel caso di

≡

T

impulso base di tipo rettangolare di durata (impulso NRZ Non-Return to Zero) che

T

di impulso rettangolare di durata inferiore a (impulso RZ), precisamente di durata

T /2 nel caso di figura. Poiché l’informazione binaria è affidata alla presenza o meno

p(t)

dell’impulso nel corrispondente intervallo di bit, tale tecnica di segnalazione viene

chiamata segnalazione ON-OFF.

Ricordando che l’autocorrelazione di una sequenza di v.a. iid vale:

+∞

X

2

2

2

2 −

⇔ δ(ν k)

+ µ

(ν) = σ

δ(m) + µ

r (m) = σ S AA

AA A

A

A

A k=−∞

si ha che la PSD del numerico sincrono senza memoria è data da:

+∞ 2

X

2 k

µ k 1

A 2 2

− |P

P

(f ) = δ f σ (f )|

+

S (1.53)

XX A

T T T T

k=−∞ 29

6 6

p(t) p(t)

- -

t t

T T /2

Impulso NRZ Impulso RZ

6

a(n) -

n

Sequenza modulante

6

x(t) -

t

T

Segnale binario sincrono ON-OFF NRZ

6

x(t) -

t

T

Segnale binario sincrono ON-OFF RZ

Figura 1.4: Segnalazione binaria ON-OFF.

30

ed il suo spettro di potenza è interamente determinato dallo spettro d’energia dell’im-

p(t)

pulso base. In particolare se l’impulso è un impulso rettangolare NRZ di ampiezza

unitaria la ESD vale: 2

(f ) = T sinc (f T )

S (1.54)

pp

tutte le righe spettrali, tranne quella a frequenza zero, corrispondente alla potenza in

continua, si annullano, e la parte continua della PSD è proporzionale allo spettro di

energia dell’impulso NRZ. In altri termini lo spettro di potenza del segnale numerico

sincrono senza memoria NRZ è 2

2

2 T sinc (f T )

δ(f ) + σ

(f ) = µ

S XX A

A B

Tale relazione in particolare evidenzia che tale segnale ha una banda sostanzialmente

1/T

pari alla cadenza con cui i simboli sono emessi dalla sorgente. T /2,

Se invece si utilizza un impulso rettangolare RZ di ampiezza unitaria e durata

la ESD vale:

1

1 2

T sinc fT

(f ) =

S (1.55)

pp 2 2

lo spettro di potenza è:

+∞

X

1 k 1

k 1

2 2

2 2

−

(f ) = sinc

µ σ T sinc fT

δ f +

S XX A A

4 2 T 4 2

k=−∞

Quindi nella PSD del segnale numerico sincrono senza memoria RZ oltre alla riga a

frequenza zero, associata alla potenza in continua, sono presenti righe spettrali alle

1/T

frequenze armoniche dispari della cadenza , e la banda è pari al doppio della ca-

denza. Pertanto il segnale numerico sincrono senza memoria RZ ha il vantaggio di

semplificare il recupero del sincronismo, grazie alla presenza di righe spettrali a fre-

quenza armonica della cadenza, ma al prezzo di una dimezzamento della potenza e di

un raddoppio della larghezza di banda.

La presenza nella segnalazione ON-OFF di righe spettrali costituisce uno spreco di

potenza: infatti è possibile dimostrare che il tasso di simboli errati, dovuti al rumore che

si aggiunge al segnale nella trasmissione, diminuisce all’aumentare della separazione

tra i due livelli del segnale. A ciò si può facilmente ovviare, utilizzando una sequenza

modulante a valor medio nullo. Nel caso binario con bit equiprobabili, ciò si realizza

codificando i bit emessi dalla sorgente come segue

−→ −→ −1

A(n) = 1 B(n) = 1 A(n) = 0 B(n) =

−1.

in altri termini si convertono gli zeri in Nella fig. 1.5 è riportato un tipico andamen-

to di tale PAM sia nel caso di impulsi NRZ che di impulsi RZ. Poiché in questo caso

l’informazione è affidata al segno dell’impulso tale tipo di segnalazione è denominata

31 6

a(n) -

n

Processo di Bernoulli

6

b(n) -

n

Sequenza modulante

6

x(t) -

t

Segnale binario sincrono antipodale NRZ

6

x(t) -

t

Segnale binario sincrono antipodale RZ

Figura 1.5: Segnalazione binaria antipodale.

32

a(n) b(n) x(t)

- - -

Sorgente Codificatore Modulatore

numerica 6

∼ p(t)

Figura 1.6: Segnalazione con codifica di linea.

antipodale. La PSD di un segnale antipodale è proporzionale alla ESD dell’impulso

impiegato; in particolare per un impulso rettangolare NRZ di ampiezza unitaria, la cui

ESD è data dalla (1.54) si ha: 2

(f ) = T sinc (f T )

S XX

ed è dato da

1 1

2

(f ) = T sinc fT

S XX 4 2

nel caso di impulso RZ (vedi (1.55)).

Dal confronto di tali spettri si evince che il segnale binario sincrono antipodale

NRZ ha una banda metà di quello RZ ed una potenza doppia. Da tale punto di vista

il confronto è nettamente a vantaggio del segnale NRZ. Tuttavia si noti che il segnale

RZ, anche se non in modo evidente, contiene informazione sulla cadenza: è infatti

sufficiente raddrizzare il segnale RZ, prenderne cioè il modulo, per ottenere un segnale

J

T

periodico di periodo da cui estrarre la cadenza.

Il segnale numerico sincrono impiegante un impulso base di tipo rettangolare ha

uno spettro di potenza di tipo passa basso, pertanto per poterlo trasmettere è necessario

un canale che abbia una buona risposta nell’intorno della frequenza zero. Ma molti

canali, in particolare quello telefonico, hanno una cattiva risposta in bassa frequenza:

in tal caso si pone il problema di modificare la distribuzione spettrale della potenza

allo scopo di adattare le caratteristiche spettrali del segnale a quelle del canale. Dalla

PSD

espressione generale (1.52) della si evince che tale risultato si può conseguire o

cambiando l’impulso base o agendo sulla sequenza modulante. Di norma si preferisce

questa seconda strada in quanto perseguibile con tecniche numeriche; precisamente

lo schema di generazione del segnale di fig. 1.3 si modifica in quello di fig. 1.6 ove

lo schema di codifica va scelto in modo da conferire le proprietà desiderate alla PSD

(codifica di linea). In generale però per sagomare lo spettro è necessario far ricorso ad

una codifica con memoria che, introducendo una correlazione tra i simboli emessi dalla

sorgente senza memoria, consente di ottenere una PSD radicalmente diversa dalla ESD

dell’impulso base (correlative coding). 33

Esempio 13 Segnale binario sincrono: caso generale

Nella segnalazione binaria ON-OFF ed in quella antipodale l’informazione sul sim-

bolo binario emesso dalla sorgente è affidata alla presenza o meno dell’impulso (ON-

OFF) ovvero al suo segno (Antipodale). Più in generale è possibile utilizzare due

p (t) p (t)

diversi impulsi, siano e per rappresentare il simbolo emesso dalla sorgente:

0 1 nT p (t)

precisamente se il simbolo emesso all’istante è zero si trasmette l’impulso 0

p (t).

altrimenti si trasmette In tal caso il segnale binario è esprimibile come

1

+∞ +∞

X X

− − −

X(t) = A(n)p (t nT ) + [1 A(n)]p (t nT ) (1.56)

1 0

n=−∞ n=−∞

Il segnale (1.56) può essere riguardato come la somma di due PAM isocroni ON-OFF, il

A(n) p (t) B(n) =

primo con modulante ed impulso base ed il secondo con modulante

1

−

1 A(n) p (t).

ed impulso base 0 A(n) p;

Se la sorgente è senza memoria è un processo di Bernoulli di parametro −

B(n) q = 1

conseguentemente anche è un processo di Bernoulli, ma di parametro

p; pertanto, come è immediato verificare auto e mutue correlazioni di tali sequenze

valgono: 2

r (m) = pqδ(m) + p

AA 2

r (m) = pqδ(m) + q

BB −pqδ(m)

r (m) = + pq

AB

Pertanto calcolando lo spettro di potenza del segnale (1.56) come somma della PSD del

primo addendo, più quella del secondo più le loro PSD mutue, con facili manipolazioni

algebriche, si perviene alla seguente espressione per la PSD di tale segnale, cioè:

+∞ 2

X k k k

1 −

qP + pP δ f

(f ) =

S 0 1

x 2

T T T T

k=−∞

pq 2

|P −

+ (f ) P (f )|

0 1

T

1.9 Legami Ingresso Uscita per sistemi LTI

Il problema che ora affrontiamo è quello di determinare i legami tra alcune gradez-

ze globali, quali la media, la funzione di autocorrelazione e la PSD, dell’ingresso e

dell’uscita di un sistema LTI (Fig. 1.7a): in particolare ci proponiamo di determina-

re la caratterizzazione statistica globale dell’uscita da quella dell’ingresso. L’analisi

sarà preliminarmente effettuata nel dominio del tempo e poi estesa, con l’ausilio del

Teorema WK, al dominio della frequenza.

34

1.9.1 Analisi dei sistemi LTI nel dominio del tempo

Iniziamo col valutare la media dell’uscita. Riferendoci, per fissare le idee, ai segnali a

tempo discreto, si ha: ∗ ∗ ∗

µ (n) = (n)] = E[h(n) X(n)] = h(n) = h(n) µ (n)

E[Y E[X(n)]

Y X

e quindi ∗

µ (·) = h(·) µ (·) (1.57)

Y X

In altri termini la media statistica dell’uscita è la risposta del sistema alla media

statistica dell’ingresso (Fig. 1.7b).

X(·) Y (·) µ (·) µ (·)

- - - -

X Y

h(·) h(·)

a) b)

Figura 1.7: Legame ingresso - uscita per la media statistica.

Nel caso in cui l’ingresso sia SSL il legame diventa:

∞

X

µ = µ h(m) = µ H(0) (1.58)

Y X X

m=−∞ H(0)

ove si è introdotto il guadagno in continua del sistema

∞

X h(m)

H(0) = m=−∞

Pertanto, la media dell’uscita è proporzionale a quella in ingresso, con costante di

proporzionalità pari al guadagno in continua.

Nel caso di segnali non stazionari mediando, rispetto alla variabile temporale,

entrambi i membri della (1.57) si ha ∞

X

, −

h(m)µ (n m) >

Y < µ (n) > = < X

dc Y m=−∞ ∞

X

− h(m)

= < µ (n m) > = X H(0)

X dc

{z }

| m=−∞

| {z }

X dc H(0)

quindi, in definitiva, risulta: Y = H(0) X (1.59)

dc dc

35

X (·) Y (·)

- -

1 1

h (·)

1 (·)

r (·)

r

- -

X X Y Y

1 2 1 2

(·)

r h h

1 2

X (·) Y (·)

- -

2 2

h (·)

2

a) b)

Figura 1.8: Legame tra le mutue correlazioni degli ingressi e delle uscite.

cioè la proporzionalità si ha tra le componenti continue.

Notiamo esplicitamente che il legame stabilito tra le componenti continue è vali-

do anche per i segnali deterministici di potenza, anche se, in questo caso, la media

statistica è pleonastica.

Notiamo altresı̀ che nel derivare il legame tra le componenti continue dell’ingresso

e dell’uscita, si è implicitamente supposto che entrambi i segnali fossero segnali di po-

tenza finita. Tale ipotesi la riterremo valida anche nel seguito e, precisamente, faremo

l’ipotesi che il sistema LTI non alteri la natura del segnale in ingresso, nel senso che

l’uscita corrispondente ad un segnale di energia finita sia ancora un segnale di ener-

gia finita ed, analogamente, che l’uscita corrispondente ad un segnale di potenza finita

sia ancora un segnale di potenza finita. Tale condizione è ad esempio soddisfatta se il

sistema è stabile.

Passiamo ora alle funzioni di autocorrelazione. Precisamente consideriamo la situa-

zione di Fig. 1.8, da cui, particolarizzando segnali e sistemi, è possibile ricavare i vari

X (n) X (n)

casi di interesse; supponiamo inoltre che i due segnali d’ingresso e siano

1 2

a tempo discreto e congiuntamente SSL. Precisamente, con riferimento alla Fig. 1.8,

(n, k)

r tra le due uscite in

ci proponiamo di determinare la mutua correlazione Y Y

1 2

(m) h (m)

r tra i due ingressi e delle risposte impulsive e

funzione di quella 1

X X

1 2

h (m) dei due sistemi LTI.

2 Dalla definizione di mutua correlazione si ha:

+∞

X ∗

∗ − (k)] =

h (i)E[X (n i)Y

(k)] =

(n, k) = (n), Y

r E[Y 1 1

1

Y Y 2

2

1 2 i=−∞ (1.60)

+∞

X −

(n i, k)

h (i)r

= 1 X Y

1 2

i=−∞

ove, nell’effettuare i passaggi, si è utilizzata la linearità della media. D’altra parte la

36

(n, k)

r è data da:

mutua correlazione X Y

1 2 +∞

X ∗ ∗

∗ −

(n, k) = (n), Y (k)] =

r h (j)E[X (n)X (k j)] =

E[X 1

X Y 1

2 2

2

1 2 j=−∞

+∞

X ∗ −

(n k + j)

h (j)r

= X X

2 1 2

j=−∞ (1.61)

ove, nell’effettuare l’ultimo passaggio, si è utilizzata la SSL dei due ingressi. Tale re-

(n, k)

r dipende solo dalla differenza

lazione evidenzia che la mutua correlazione X Y

1 2

− −j

m = n k; j

per cui, cambiando nell’ultima sommatoria in si ha:

+∞

X ∗

∗ − ∗ (m)

(m j) = h (−m) r

h (−j)r

(m) =

r (1.62)

X X

X X

X Y 2

2 1 2

1 2

1 2 j=−∞ −

(n k),

(n, k) = r

r allora dalla (1.60) segue che

Poichè, come già osservato X Y

X Y 1 2

1 2

(n, k)

r dipende solo dal ritardo ed il legame (1.60) può essere riscritto

anche la Y Y

1 2

come convoluzione +∞

X − ∗ (m)

(m i) = h (m) r

h (m)r

(m) =

r (1.63)

1 X Y

1 X Y

Y Y 1 2

1 2

1 2 i=−∞ (m)

r la sua espressione (1.62) si ha:

Sostituendo infine in tale relazione a X Y

1 2 ∗ ∗

∗ (m)

(−m) r

(m) = h (m) h

r (1.64)

X X

1

Y Y 2 1 2

1 2

che esprime il legame cercato.

Una analoga derivazione vale per segnali e sistemi continui. In definitiva risulta

∗

∗ ∗ ∗

(−(·))

(·) h (·) h

(·) = r

r (·)

(·) r

= r (1.65)

1

X X

Y Y h h

X X

2

1 2

1 2 1 2

1 2

| {z }

r (·)

h h

1 2 (·)

r tra le due uscite dei sistemi LTI di

In altri termini la mutua correlazione Y Y

1 2 (·)

r alla

Fig. 1.8a si ottiene come l’uscita del sistema LTI di risposta impulsiva h h

1 2

(·)

r tra i due ingressi (Fig. 1.8b).

mutua correlazione X X

1 2

Si noti che, da quanto detto, segue che se i due ingressi di Fig. 1.8a sono

congiuntamente stazionari in senso lato, allora tali sono anche le corrispondenti uscite.

Particolarizzando lo schema generale di Fig. 1.8a come in Fig. 1.9a è immediato

derivare il legame ingresso-uscita per la funzione di autocorrelazione. In questo caso,

dall’equazione (1.65) si ottiene: ∗

∗ ∗ ∗

r (·) = r (·) h(·) h (−(·)) = r (·) r (·) (1.66)

Y Y XX XX hh

| {z }

r (·)

hh

37

X(·) Y (·)

- -

h(·) r (·) r (·)

- -

XX Y Y

r (·)

hh

X(·) Y (·)

- -

h(·)

a) b)

Figura 1.9: Legame ingresso uscita per l’autocorrelazione.

X(·) Y (·)

- -

h(·) r (·) r (·)

- -

XX Y X

h(·)

X(·) X(·)

- - -

a) b)

Figura 1.10: Schema di calcolo della mutua correlazione tra uscita ed ingresso.

cioè l’autocorrelazione dell’uscita è pari alla convoluzione dell’autocorrelazione del-

r (·)

l’ingresso e di quella della risposta impulsiva: in altri termini, l’autocorrelazio-

hh r (·)

ne della risposta di un sistema LTI è pari alla risposta all’ingresso del sistema

XX

r (·)

avente risposta impulsiva (Fig. 1.9b). Si osservi inoltre che se l’ingresso del si-

hh

stema LTI è stazionario in senso lato, allora dall’equazione (1.57) segue che la media

statistica dell’uscita è indipendente dal tempo: dunque, se l’ingresso di un sistema LTI

è SSL tale è anche il corrispondente segnale di uscita.

Dalla relazione (1.66) segue che, se l’ingresso ha un’autocorrelazione impulsiva,

2

σ δ(·)

diciamola si ha:

X 2 ∗ 2 2

∗ ∗ ∗

r (·) = σ δ(·) h(·) h (−(·)) = σ δ(·) r (·) = σ r (·) (1.67)

Y Y hh hh

X X X

cioè l’uscita ha un’autocorrelazione proporzionale a quella della risposta impul-

siva del sistema. Pertanto è possibile generare un segnale con una preassegna-

ta autocorrelazione filtrando, con un filtro LTI, un segnale con autocorrelazione

impulsiva.

L’equazione (1.65) consente anche di ricavare come casi particolari le mutue cor-

relazioni uscita-ingresso e ingresso-uscita. Invero, sulla scorta della Fig. 1.10a, si

ha: ∗ ∗ ∗

r (·) = r (·) h(·) δ(−(·)) = r (·) h(·) (1.68)

Y X XX XX

38

X (·) Y (·)

- -

1 1

H (·)

1 (·) (·)

S S

- -

X X Y Y

1 2 1 2

∗

H (·)H (·)

1 2

X (·) Y (·)

- -

2 2

H (·)

2

a) b)

a) b)

Figura 1.11: Legame I/O per le PSD mutue: sistemi effettivi, sistema euivalente.

che esprime il legame tra la mutua correlazione fra l’uscita e l’ingresso di un sistema

LTI: dunque la mutua correlazione uscita-ingresso può calcolarsi come risposta del

sistema LTI all’autocorrelazione dell’ingresso (Fig. 1.10a). In modo analogo si ottiene

∗

∗

r (·) = r (·) h (−(·)) (1.69)

XY XX

Con considerazioni simili a quelle precedentemente svolte, dall’espressioni stabilite

per le mutue correlazioni uscita-ingresso e ingresso−uscita, segue che se il segnale

d’ingresso è SSL allora uscita ed ingresso del sistema LTI sono congiuntamente SSL.

Si noti infine che i vari legami stabiliti (1.65, 1.66, 1.69, 1.68) valgono anche

se i segnali aleatori non sono stazionari: in tal caso però occorre considerare le

mutuecorrelazioni medie (1.47) e le autocorrelazioni medie (1.48).

1.9.2 Legami ingresso uscita per le PSD

Sulla scorta del Teorema di Wiener-Khinchine è immediato stabilire i legami esistenti

tra le PSD in ingresso ed in uscita a sistemi LTI semplicemente trasformando gli analo-

ghi legami tra le correlazioni precedentemente stabiliti. Nel seguito faremo riferimento

alle PSD che è il caso di maggiore interesse, anche se le relazioni stabilite, grazie alla

simbologia unica per PSD e ESD, valgono senza alcuna modifica anche per gli spettri

di energia.

Ricordando, ad esempio, che la mutua correlazione tra le uscite di due sistemi LTI

(vedi fig. 1.11a) è data dalla (1.65) trasformando secondo Fourier si ha

∗ (·)

(·)S

(·) = H (·)H

S (1.70)

X X

1

Y Y 2 1 2

1 2

In altri termini al fine del calcolo dello spettro di potenza incrociato tra le due usci-

te è sufficiente sostituire i due sistemi con un unico sistema di risposta armonica

∗

H (·)H (·) sollecitato dalla PSD mutua tra i due ingressi, come schematizzato in

1 2 39

fig. 1.11b. In modo analogo è possibile stabilire gli altri legami di interesse: cosı̀ lo

spettro di potenza dell’uscita è legato a quello dell’ingresso dalla relazione

2

|H(·)|

(·) = (·)

S S (1.71)

Y Y XX 2

|H(·)|

cioè la PSD dell’uscita è pari a quella dell’ingresso per , comunemente deno-

minata funzione di trasferimento dell’energia; infine le PSD mutue uscita-ingresso e

ingresso-uscita sono date da ∗

(·) = H(·)S (·) (·) = H(·) (·)

S S S

Y X XX XY XX

I vari legami considerati sono riassunti nella fig. 1.12.

X(·) Y (·)

- -

H(·)

a)

(·) (·) (·)

S S S

(·) (·) (·)

S S S

Y Y Y X XY

- - - - - -

XX XX XX ∗

2 H(·) H (·)

|H(·)| b)

a) b)

Figura 1.12: Legami I/O per PSD: sistema effettivo, sistemi equivalenti.

Dalla relazione (1.70) segue che, se le risposte armoniche dei due filtri di fig. 1.11a

non si sovrappongono, cioè non sono mai entrambe diverse da zero ad una stessa fre-

quenza, allora le due uscite sono incoerenti anche se gli ingressi, supposti SSL, sono

correlati. Ciò comporta che è possibile generare segnali incoerenti da un unico segnale

SSL filtrandolo con due sistemi LTI le cui risposte armoniche non si sovrappongano se-

condo quanto illustrato in fig. 1.13. Se poi l’ingresso è gaussiano SSL le due uscite non

solo sono incoerenti, ma anche statisticamente indipendenti. Una ulteriore conseguen-

za della (1.70) è l’incoerenza di due segnali SSL qualsiasi che non si sovrappongono

nel dominio della frequenza: è sufficiente infatti osservare che tali segnali restano inal-

terati per effetto di un filtraggio LTI da parte di due sistemi le cui risposte armoniche

valgano uno ove la PSD del singolo segnale è non nulla e zero altrove. In particolare,

dati un segnale ed un disturbo, il rumore nella banda del segnale è sempre incoerente

con quello fuori banda. ∆P

Si osservi che la potenza in uscita ad un filtro passa banda ideale, centrato

X

f ∆f

alla frequenza , di guadagno unitario e banda , vale:

o Z

Z 12

f + ∆f

+∞ 0

(f )df = (f )df

∆P = S S

Y Y XX

X 1

f −

−∞ ∆f

0 2

40

Y (·)

- -

1

H (·)

1

X(·) - Y (·)

- -

2

H (·)

2

Figura 1.13: Generazione di due segnali incoerenti da un unico segnale.

Pertanto la potenza delle componenti spettrali di un segnale appartenenti ad un certo

intervallo di frequenze, si ottiene integrando su tale intervallo la sua PSD; inoltre la

X(t)

densità spettrale di potenza di può anche essere definita come:

∆P X

(f ) = lim

S XX ∆f

∆f →0

A tale interpretazione corrisponde un metodo sperimentale per la misura della PSD

∆P

mediante un filtro a banda stretta. Precisamente, la potenza in uscita ad un fil-

X

f ∆f

tro centrato alla frequenza e di banda è proporzionale al valore della PSD del

0

X(t)

segnale in ingresso valutata alla frequenza di centro banda. Si ha infatti:

Z

Z +∞

+∞ 2

(f )|H(f )| df

(f )df =

∆P = S

S XX

Y Y

X −∞

−∞ Z +∞

∼ 2

|H(f ∝

)| df (f )

(f ) S

S

= XX 0

XX 0 −∞

Si osservi che la relazione precedente è valida quale che sia la forma della rispo-

sta armonica del filtro, purché la sua banda sia sufficientemente stretta sı̀ da ritenere

costante in tale banda loa PSD del segnale d’ingresso. È quindi possibile misurare lo

spettro di potenza di un segnale se si ha a disposizione uno strumento che misura la

potenza ed un filtro passa banda, a banda stretta, con frequenza centrale accordabile

in modo da analizzare la banda d’interesse. Ovviamente lo stesso risultato pu ò esse-

re ottenuto operando in parallelo con un banco di filtri a banda stretta le cui risposte

armoniche siano centrate alle frequenze a cui si vuol misurare la PSD e ricoprano la

banda di interesse. X(·)

Dalla relazione (1.71) si ha che è possibile generare un segnale aleatorio SSL

con assegnata PSD, o equivalentemente con assegnata correlazione, filtrando un rumore

W (·)

bianco avente PSD unitaria con un filtro LTI la cui funzione di trasferimento di

energia sia pari alla assegnata PSD desiderata, come schematizzato in fig. 1.14.

Per rumore bianco si intende un segnale aleatorio SSL a media nulla con autocor-

relazione impulsiva e quindi PSD costante: una sequenza di variabili aleatorie a media

41