Trasmissione numerica - i segnali aleatori

Introduzione ai Segnali Aleatori

Ernesto Conte

9 marzo 2007 ii

Indice

1 Segnali aleatori 1

1.1 Segnali aleatori: definizione e classificazione . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Caratterizzazione statistica di segnali aleatori . . . . . . . . . . . . . 3

i-esimo

1.2.1 Caratterizzazione di ordine . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Caratterizzazione sintetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Segnali aleatori stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Caratterizzazione congiunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Processi complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Processi gaussiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Ergodicità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 Caratterizzazione energetica dei segnali . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8.1 Segnali di energia e di potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8.2 Densità spettrali di energia e di potenza . . . . . . . . . . . . 22

1.8.3 Segnali PAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.9 Legami Ingresso Uscita per sistemi LTI . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.9.1 Analisi dei sistemi LTI nel dominio del tempo . . . . . . . . . 35

1.9.2 Legami ingresso uscita per le PSD . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

iii iv

Capitolo 1

Segnali aleatori

1.1 Segnali aleatori: definizione e classificazione

X(t)

Un segnale aleatorio (s.a.) è una famiglia di v.a.

{X(t), ∈

t T} {Ω, }.

P

T, E,

con insieme di indici tutte definite sullo stesso spazio campione

T

L’insieme degli indici è usualmente denominato insieme dei tempi, essendo que-

T

sto il caso più comune; conseguentemente, se è discreto, tipicamente in tal caso

= =

T T

N Z,

o il s.a. si dice a tempo discreto; analogamente, si dice a tempo conti-

= = = [0, +∞).

T T T

R R

nuo se è continuo e, in tal caso, di norma, o I segnali

+

a tempo discreto sono pertanto le successioni di v.a. e, nel caso particolare di insieme

dei tempi finito, cioè: , {1,

= 2, . . . n}

T N n R

il s.a. si riduce ad ve.a.. Inoltre, se l’insieme dei tempi è non negativo (N o ) il

+

segnale è detto monolatero, altrimenti esso è bilatero.

I s.a., oltre che con riferimento all’insieme dei tempi, si classificano anche sulla

{X(t), ∈

t T}

scorta del tipo di v.a. che lo costituiscono: precisamente si dice ad

ampiezza discreta se i suoi campioni sono v.a. discrete, mentre si dice ad ampiezza

continua, o analogico, se i suoi campioni sono v.a. continue.

∈ {X(t), ∈

ω Ω, t

Se, fissato si considerano tulle le determinazioni delle v.a.

x(t):

T} si ha una funzione reale del tempo, diciamola tale funzione è denominata

X(t).

realizzazione, o determinazione o funzione membro, del s.a. In altri termini il

s.a. può anche essere definito come la corrispondenza T

∈ −→ ∈

X : ω Ω x(t) R

T 1 ∈

ω Ω

T

R

ove denota l’insieme di tutte le funzioni reali definite in . Infine, fissato e

A

1 A B B

Pi`

u in generale, considerati due insiemi e con si denota l’insieme di tutte le funzioni definite

A B

in ed a valori in 1 6

x(t, ω) t -

1 t t

2

ω 1

ω 2 ω

Figura 1.1: Rappresentazione grafica di un segnale aleatorio.

∈

t T, si ha un numero reale: in altri termini il s.a. è una funzione di due variabili una

∈ ∈

ω Ω t T,

e l’altra cioè: ∈ × −→ ∈

X : (ω, t) Ω x(t)

T R

In conclusione un s.a. può essere riguardato come un insieme di funzioni del tempo

X(t)

o come una famiglia di v.a.; in ogni caso va tenuto presente che la notazione pu ò

avere quattro diversi significati e cioè (fig. 1.1):

• ω

una famiglia di funzioni del tempo ovvero una famiglia di v.a. (t e variabili),

cioè il segnale aleatorio;

• ω

una singola funzione del tempo (t variabile e fissato); cioè una funzione

membro del segnale aleatorio;

• ω

una variabile aleatoria (t fissato e variabile);

• ω

un semplice numero (t e fissati);

X(t)

l’effettiva interpretazione di va dedotta di volta in volta dal contesto.

Esempio 1 Generatore di forme d’onda.

Si consideri lo spazio campione , {1,

Ω = 2, . . . n}

N n

con la legge di probabilità definita dall’equiprobabilità degli eventi elementari; allora

R

∈ −→ ∈

X : k Ω x (t) R (1.1)

k

x (t), k = 1, 2, . . . n, n X(t)

ove sono funzioni del tempo è un segnale aleatorio

k J

tempo continuo, bilatero, ed ad ampiezza discreta.

2

Esempio 2 Sinusoide a fase uniforme

Ω = [0, 2π)

Sia con legge di probabilità uniforme (la probabilità di un sotto-intervallo

[0, 2π)

di è proporzionale alla lunghezza dell’intervallo); allora R

∈ −→ ∈

X : θ Ω A cos[2πf t + θ] R (1.2)

0 J

X(t)

è un segnale aleatorio tempo continuo, bilatero, ed ad ampiezza continua.

∈

n−sima x [0, 1)

Esempio 3 cifra frazionaria della rappresentazione binaria di

Ω = [0, 1)

Sia con legge di probabilità uniforme (la probabilità di un

[0, 1)

sotto-intervallo di è proporzionale alla lunghezza dell’intervallo); allora

−

n sima cifra frazionaria della

∈ × −→

X : (x, n) Ω N (1.3)

∈

x [0, 1)

rappresentazione binaria di

è un segnale aleatorio tempo discreto, monolatero, ed ad ampiezza continua, ovvero è

J

una successione di v.a. binarie.

1.2 Caratterizzazione statistica di segnali aleatori

1.2.1 Caratterizzazione di ordine

i-esimo

L’interpretazione di un s.a. come famiglia di v.a. è particolarmente utile nel definirne la

caratterizzazione probabilistica. Infatti questa consiste nell’assegnare la distribuzione

i P (·),

di probabilità (in alternativa CDF, pdf o pmf ) di ordine del

X(t )X(t )···X(t )

i

1 2

ve.a.  

X(t )

1

 

X(t )

2

 

≡ ≡ ≡ ,

X X

X   (1.4)

..

t

t i  

.

X(t )

i

X(t), i

ottenuto campionando il s.a. comunque si scelgano gli istanti di campionamen-

to  

t 1

 

t 2

 

,

≡ ∈ T

t t   (1.5)

.

i ..

 

t i

∈

i N. X evidenzia la dipendenza

e per ogni valore di Si noti che la notazione t i

i i

del ve.a. dagli istanti di tempo e da stesso. Tuttavia, nel seguito, quando non è

X

necessario sottolineare tali dipendenze si utilizzeranno le notazioni semplificate o

t

X. t t

Considerazioni analoghe valgono per e

i

3

In altri termini, un s.a. si caratterizza se si assegna la caratterizzazione dei vettori

di dimensione finita, ma arbitraria, comunque estratti dal s.a.. Ad esempio, supposto,

per fissare le idee, il segnale ad ampiezza continua occorre assegnare la successione di

pdf congiunte:

≡

(x; f (x , x , . . . , x ; t , t , . . . t )

f t) (1.6)

1 2 i 1 2 i

X(t ),X(t )...X(t )

X t i i∈N

1 2

i

ove 

 x 1 

 x 2 

 i

∈

= R

x 

 (1.7)

.. 

 .

x i

è il vettore dei valori che il ve.a. dei campioni considerati (1.4) può assumere. Notiamo

i

esplicitamente che la notazione utilizzata evidenzia che la pdf congiunta di ordine del

X(t) i

s.a. dipende anche dagli istanti di tempo considerati, come del resto è ovvio in

quanto al variare di tali istanti si ottiene un diverso ve.a..

{Ω, P (·)} X(t)

E,

Se è assegnato lo spazio di probabilità ed il s.a. allora, almeno

in linea di principio, si possono calcolare le distribuzioni di probabilità del vettore dei

campioni (1.4) comunque lo si scelga. ∈

n−sima x [0, 1)

Esempio 4 cifra frazionaria della rappresentazione binaria di

X(n)

Si riprenda in esame il processo dell’esempio 3: iniziamo col determinare

X(1)

la pmf del primo ordine, di cioè della prima cifra frazionaria. Dalla definizio-

X(1), X(n),

ne di tale s.a. segue immediatamente che e più in generale è una v.a.

bernoulliana; inoltre si ha: ( 1

∈ ∈

P ({x [0, 1) : x [0, 0.5)}) = j = 0

se

2

P ({X(1) = j}) = 1

∈ ∈ j = 1

P ({x [0, 1) : x [0.5, 1)}) = se

2

per cui in definitiva risulta:

1

∼

X(1) 1,

B 2

X(n);

Analogamente si calcola la distribuzione di precisamente si ha:

( 1

∈ ∈ }) j = 0

P ({x [0, 1) : x A = se

0 2

P ({X(n) = j}) = 1

∈ ∈ })

P ({x [0, 1) : x A = j = 1

se

1 2

ove: n−2 n−1

1 2 3 2 2

∪ ∪ · · · ∪

A = [0, ) [ , ) [ , )

0 n n n n n

2 2 2 2 2

n−1

2 3 4 2

1 ∪ ∪ · · · ∪

, ) [ , ) [ , 1)

A = [

1 n n n n n

2 2 2 2 2

4

{X(n) = j} X(n)

In altri termini l’evento è la probabilità che assuma valori nel plu-

1

A j n, e quindi probabilità

rintervallo che, indipendentemente da e da ha lunghezza

j 2

1 . Pertanto la pmf del prim’ordine è:

2 1 ∈ {0,

p (x) = x 1}

X(n) 2

ovvero sinteticamente:

1 ∀ ∈

∼ n

X(n) 1,

B N

2 o

1

Si noti che per il s.a. in esame la pmf del ordine non dipende dall’istante di

tempo considerato: in altri termini i campioni del segnale sono v.a. identicamente

distribuite.

Per la caratterizzazione di ordine superiore occorre valutare probabilità congiunte

del tipo: } ∩ {X(n } ∩ · · · ∩ {X(n })

P ({X(n ) = j ) = j ) = j

1 1 2 2 i i

A tal fine, per fissare le idee, valutiamo la

∩ {X(2) ∩ {X(3)

P ({X(1) = 1} = 0} = 1})

Come è immediato verificare risulta: 1

∩ {X(2)

P ({X(1) = 1} = 0}) = 4

1

∩ {X(2) ∩ {X(3)

P ({X(1) = 1} = 0} = 1}) = 8

Poiché inoltre 1 1 1

P ({X(1) = 1}) = P ({X(2) = 0}) = P ({X(3) = 1}) =

2 2 2

gli eventi considerati sono statisticamente indipendenti. Con considerazioni analoghe

è possibile dimostrare che comunque si estraggano v.a. dal processo in esame que-

i

ste risultano statisticamente indipendenti. Conseguentemente la pmf congiunta di

i

campioni è data semplicemente dal prodotto delle pmf marginali; in altri termini si

ha: · · · · · ·

p (j , j j ; n , n , n ) =

1 2 i 1 2 i

X(n ),X(n )···X(n )

i

1 2

i

Y (1.8)

1

p (j ; n ) =

k k

X(n ) i

2

k

k=1 i

Si noti che la pmf congiunta dipende solo dal numero di campioni considerati

J

idipendentemente dagli istanti in cui tali campioni sono presi,

Riguardare un s.a. come una famiglia di segnali deterministici risulta particolar-

mente utile se è possibile fornire un’espressione analitica del s.a. in termini di una o

5

più v.a.: tale, ad esempio, è il caso della sinusoide a fase aleatoria dell’esempio 2, che

può, equivalente, essere definita in modo come segue: ∼

X(t) = A cos[2πf t + Θ] , Θ 2π)

U(0, (1.9)

0

Più in generale per tale tipo di segnali, detti anche segnali a parametri aleatori, si ha

X(t) = g(t; Y) Y

ove è un ve.a. di assegnata pdf congiunta. In questo caso la carat-

terizzazione probabilistica del segnale aleatorio può ottenersi da quella dei parametri

con le tecniche di trasformazioni di ve.a.

Non sempre i s.a. sono assegnati a partire dallo spazio di probabilità che sotten-

dono: infatti possono essere assegnati direttamente dando una famiglia di distribuzio-

ne di probabilità consistente. Invero sussiste il seguente teorema che ci limitiamo ad

enunciare:

Teorema di estensione di Kolmogorov: Assegnata una famiglia consistente di distri-

∈

i P (·), i N

buzioni (CDF, pdf o pmf ) di ordine comunque scelto

X(t )X(t )···X(t )

i

1 2

· · · ∈

t , t , t T,

e comunque scelti gli istanti di tempo esiste un processo aleatorio

1 2 i

consistente con tale famiglia.

Esempio 5 Processo di Bernoulli

Un processo di Bernoulli è una successione di v.a. binarie iid

∼ ∀ ∈

X(n) B(1, p), n T X(n)

ed è quindi un s.a. tempo discreto ed ad ampiezza discreta; inoltre è un processo

= =

T T

N, Z.

di Bernoulli monolatero se mentre è bilatero se

i

Considerati campioni consecutivi del processo: 

 X(k) 

 X(k + 1) 

 ,

=

X 

 .. 

 . −

X(k + i 1)

posto  

x 0

 

x 1

  i

∈ {0,

= 1}

x  

..

 

.

x i−1

la loro pmf congiunta vale:

j=i−1

Y

1−x w(x) i−w(x)

x − −

p (x; i) = (1 p) = p (1 p)

p j

j

X j=0 (1.10)

j=i−1

X

,

w(x) x

ove i

j=0 6

Come è immediato verificare, la successione di tali pmf è consistente: pertanto essa, a

norma del Teorema di Kolmogorov, definisce un segnale aleatorio.

i

Si osservi che la pmf congiunta dipende dal numero dei campioni considerati,

k.

ma non dall’istante iniziale Inoltre, aver considerato i campioni consecutivi non è

limitativo perché la pmf congiunta dei campioni, per l’indipendenza è data dal pro-

dotto delle pmf marginali dei singoli campioni; inoltre, essendo le v.a. identicamente

distribuite, tale pmf marginale non dipende dagli istanti di tempo in cui i campioni so-

X

no presi. In conclusione la pmf congiunta è data in ogni caso dalla (1.10), ove è il

i

vettore di campioni comunque scelti.

Tipicamente un processo di Bernoulli è associato ad un esperimento aleatorio con-

E

sistente in una serie infinita di prove relative al verificarsi o meno di un evento nella

generica prova; ogni prova può, quindi, avere due esiti, convenzionalmente denominati

successo S ed insuccesso I. Le successive prove sono indipendenti e sono effettuate

p,

sotto identiche condizioni, la probabilità di successo in una generica prova è la pro-

−

q = 1 p.

babilità di insuccesso è Ad esempio, se l’esperimento è una serie di lanci

p = q = 0.5;

di una moneta ben bilanciata allora se l’esperimento è l’osservazione del

comportamento delle autovetture a un dato bivio assumendo come successo la svolta a

destra, e se si osserva che la percentuale di autovetture che svoltano a destra nel lungo

62% p = 0.62; n-sima

termine è allora se l’esperimento consiste nell’osservare la cifra

x [0, 1) p = q = 0.5.

frazionaria di un numero reale scelto a caso in allora All’espe-

X(n) X(n) = 1

rimento è associato un segnale nel seguente modo: se nell’ennesima

X(n) = 0, X(n)

prova si è avuto un successo, altrimenti in altri termini e l’indica-

E n-sima

tore dell’evento relativamente all’ prova: il segnale che cosı̀ si ottiene è un

processo di Bernoulli.

Notiamo esplicitamente che il processo di Bernoulli assegnato direttamente descri-

ve svariati esperimenti tutti però riconducibili allo schema precedentemente delineato

J

(processi aleatori equivalenti).

Esempio 6 Successioni di v.a. indipendenti

Si osservi che la proprietà fondamentale del processo di Bernoulli, e cioè la possibi-

lità di caratterizzare il segnale aleatorio a partire dalla caratterizzazione del singolo

campione, deriva dall’indipendenza statistica dei suoi campioni e quindi vale, mutatis

mutandis, più in generale per le successioni di v.a. indipendenti. Supposto, ad esempio,

i

il segnale ad ampiezza continua la pdf congiunta di ordine e data da:

f (x , x , . . . , x ; n , n , . . . n ) =

1 2 i 1 2 i

X(n ),X(n )...X(n ) (1.11)

i

1 2 · · ·

= f (x ; n )f (x ; n ) f (x ; n )

1 1 2 2 i i

X(n ) X(n ) X(n )

i

1 2

Notiamo esplicitamente che, come evidenzia la notazione utilizzata, la pdf dipende non

7

i x , x , . . . x i

solo dalle variabili reali , ma anche dagli istanti temporali, congruente-

1 2 i

mente con quanto visto in generale per un qualunque s.a.

Se le v.a. della successione oltre ad essere indipendenti sono anche identicamente

distribuite (successioni di v.a. iid) allora la pdf marginale del singolo campione non

dipende dal tempo, dovendo essere sempre la stessa per un qualunque valore dell’indice

della successione; conseguentemente anche la pdf congiunta non dipende dagli istanti

J

di tempo considerati.

1.2.2 Caratterizzazione sintetica

Non sempre è disponibile la caratterizzazione completa, o per lo meno quella di ordi-

i,

ne di un segnale aleatorio; inoltre in diversi problemi la caratterizzazione completa

del segnale non è necessaria: in tali situazioni, si può far ricorso ad una caratteriz-

zazione sintetica dello stesso, cioè in termini di alcune funzioni che ne descrivono il

comportamento medio. µ (·) X(·),

La prima di tali funzioni è la media statistica del segnale cioè la

X

funzione: ∈

µ (t) = t T

E[X(t)]

X X(t)

in altri termini la media del processo è la media statistica della v.a. in funzione

∈

t T.

dell’istante di campionamento 2

X (·)

Analogamente si definiscono il valor quadratico medio (o valore m.s.), il

2

X (·) σ (·) X(·)

valore efficace (o valore rms) e la varianza di

rms X

p

2

2 2

X (t)