Trasmissione numerica - i segnali aleatori

Segnali a tempo discreto

Il segnale a tempo discreto si dice a tempo discreto quando l'insieme dei tempi è discreto, cioè un insieme finito o numerabile. I segnali a tempo discreto sono pertanto le successioni di variabili aleatorie e, nel caso particolare di insieme dei tempi finito, cioè {1, 2, ..., n}. Il segnale a tempo discreto si riduce ad una variabile aleatoria se è continuo. Inoltre, se l'insieme dei tempi è non negativo (N o ), il segnale è detto monolatero, altrimenti è bilatero.

I segnali a tempo discreto si classificano anche sulla base del tipo di variabili aleatorie che li costituiscono: si dice ad ampiezza discreta se i suoi campioni sono variabili aleatorie discrete, mentre si dice ad ampiezza continua, o analogico, se i suoi campioni sono variabili aleatorie continue.

Se, fissato un insieme di tempi T, si considerano tutte le determinazioni delle variabili aleatorie x(t): T, si ha una funzione reale del tempo, denominata X(t), realizzazione, determinazione o

funzione membro, del s.a. In altri termini il s.a. può anche essere definito come la corrispondenza T∈ ℝ → ∈X : ω Ω x(t) ℝ → ω ΩTRove denota l'insieme di tutte le funzioni reali definite in . Infine, fissato eA1 A B BPiù in generale, considerati due insiemi e con si denota l'insieme di tutte le funzioni definiteA Bin ed a valori in 1 6x(t, ω) t -1 t t2ω 1ω 2 ωFigura 1.1: Rappresentazione grafica di un segnale aleatorio.∈t T, si ha un numero reale: in altri termini il s.a. è una funzione di due variabili una∈ ∈ω Ω t T,e l'altra cioè: ∈ × ℝ → ∈X : (ω, t) Ω x(t)T RIn conclusione un s.a. può essere riguardato come un insieme di funzioni del tempoX(t)o come una famiglia di v.a.; in ogni caso va tenuto presente che la notazione può avere quattro diversi significati e cioè (fig. 1.1):• ωuna famiglia di funzioni del tempo ovvero

Una famiglia di v.a. (t e variabili), cioè il segnale aleatorio;

• ω una singola funzione del tempo (t variabile e fissato); cioè una funzione membro del segnale aleatorio;
• ω una variabile aleatoria (t fissato e variabile);
• ω un semplice numero (t e fissati); X(t) l'effettiva interpretazione di va dedotta di volta in volta dal contesto.

Esempio 1 Generatore di forme d'onda.

Si consideri lo spazio campione, {1, Ω = 2, . . . n}N n con la legge di probabilità definita dall'equiprobabilità degli eventi elementari; allora R ∈ −→ ∈ X : k Ω x (t) R (1.1) kx (t), k = 1, 2, . . . n, n X(t) ove sono funzioni del tempo e un segnale aleatorio k J tempo continuo, bilatero, ed ad ampiezza discreta.

Esempio 2 Sinusoide a fase uniforme

Ω = [0, 2π)

Sia con legge di probabilità uniforme (la probabilità di un sotto-intervallo [0, 2π) di e proporzionale alla lunghezza dell'intervallo); allora R ∈ −→

delX(t )X(t )···X(t )i1 2ve.a.  X(t )1 X(t )2 ≡ ≡ ≡ ,X XX   (1.4)..tt i  .X(t )iX(t), iottenuto campionando il s.a. comunque si scelgano gli istanti di campionamen-to  t 1 t 2 ,≡ ∈ Tt t   (1.5).i .. t i∈i N. X evidenzia la dipendenzae per ogni valore di Si noti che la notazione t ii idel ve.a. dagli istanti di tempo e da stesso. Tuttavia, nel seguito, quando non èXnecessario sottolineare tali dipendenze si utilizzeranno le notazioni semplificate otX. t tConsiderazioni analoghe valgono per ei3In altri termini, un s.a. si caratterizza se si assegna la caratterizzazione dei vettoridi dimensione finita, ma arbitraria, comunque estratti dal s.a.. Ad esempio, supposto,per fissare le idee, il segnale ad ampiezza continua occorre assegnare la successione dipdf congiunte: ≡(x; f (x , x , . . . , x ; t , t , . . . t )f t) (1.6)1 2 i 1 2 iX(t ),X(t )...X(t )X t i i∈N1

2iove

$\left[x1\right]$

$\left[x2\right]$

$i\in Rx$

(1.7)..

$.x$ è il vettore dei valori che il ve.a. dei campioni considerati (1.4) può assumere. Notiamo esplicitamente che la notazione utilizzata evidenzia che la pdf congiunta di ordine del X(t) is.a. dipende anche dagli istanti di tempo considerati, come del resto è ovvio in quanto al variare di tali istanti si ottiene un diverso ve.a..

{Ω, P(·)}

X(t)E

Se è assegnato lo spazio di probabilità ed il s.a. allora, almeno in linea di principio, si possono calcolare le distribuzioni di probabilità del vettore dei campioni (1.4) comunque lo si scelga. ∈n−sima x [0, 1)

Esempio 4 cifra frazionaria della rappresentazione binaria di X(n)

Si riprenda in esame il processo dell’esempio 3: iniziamo col determinare X(1) la pmf del primo ordine, di cioè della prima cifra frazionaria. Dalla definizione di tale s.a. segue immediatamente che e più in generale è una v.a. bernoulliana; inoltre si ha:

Considerato: in altri termini i campioni del segnale sono v.a. identicamente distribuite.

Per la caratterizzazione di ordine superiore occorre valutare probabilità congiunta del tipo:

P({X(n1) = j1, X(n2) = j2, ..., X(ni) = ji})

A tal fine, per fissare le idee, valutiamo:

P({X(1) = 1} ∩ {X(2) = 0})

Come è immediato verificare risulta:

P({X(1) = 1} ∩ {X(2) = 0}) = 4

P({X(1) = 1} ∩ {X(2) = 0} ∩ {X(3) = 1}) = 8

Poiché inoltre:

P({X(1) = 1}) = P({X(2) = 0}) = P({X(3) = 1}) = 1/2

gli eventi considerati sono statisticamente indipendenti. Con considerazioni analoghe è possibile dimostrare che comunque si estraggano v.a. dal processo in esame questi risultano statisticamente indipendenti. Conseguentemente la pmf congiunta di campioni è data semplicemente dal prodotto delle pmf marginali; in altri termini si ha:

p(j1, j2, ..., ji; n1, n2, ..., ni) = p(j1; n1) * p(j2; n2) * ... * p(ji; ni)

probabilità che sotten-dono: infatti possono essere assegnati direttamente dando una famiglia di distribuzio-ne di probabilità consistente. Invero sussiste il seguente teorema che ci limitiamo adenunciare:

Teorema di estensione di Kolmogorov: Assegnata una famiglia consistente di distri-∈i P (·), i Nbuzioni (CDF, pdf o pmf ) di ordine comunque sceltoX(t )X(t )···X(t )i1 2· · · ∈t , t , t T,e comunque scelti gli istanti di tempo esiste un processo aleatorio1 2 iconsistente con tale famiglia.

Esempio 5 Processo di Bernoulli

Un processo di Bernoulli è una successione di v.a. binarie iid