Trasmissione del calore - Teoriario

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Q2 2∫ ∫= −kFourier per una parete piana si integra da Fourier generico, mentre l’andamento dx dtKA=x 0 t 11&x tQ∫ ∫= −kdella temperatura all’interno della parete si ottiene da cioè sarà lineare a partire dadx dtKAx t0 11un valore t verso un valore t < t ; è evidente dal coefficiente angolare della retta che più il1 2 1materiale conduce male e più rapida sarà la caduta di temperatura;

*Nel caso di (cioè l >> r1,r2) t = t(r, z, φ); se la temperatura è uniformeparete cilindrica indefinitasulla faccia interna della parete 1, cioè t(r1, z, φ) = t1 e anche sulla parete 2, cioè t(r2, z, φ) = t2,allora le superfici isoterme saranno quelle coassiali alle 1 e 2 con r1 < r < r2 e il flusso termico avràδ t= − &direzione radiale, cioè flusso monodimensionale; per trovare la legge di Fourier perq K δ r &r tQ2 2dr∫

∫ = −kuna parete piana si integra da Fourier generico , mentre l’andamento delladtπ2 Kl rr t 11& t (r)r Q dr∫ ∫ = −ktemperatura all’interno della parete si ottiene da cioè è logaritmico e come nelladtπ2 Kl rr t 11parete piana la caduta di temperatura sarà tanto maggiore quanto è minore la conducibilità termica.

2. Convezione
Scambio di energia termica che si stabilisce fra una temperatura t ed un fluido (cioè un gas o un liquido) a contatto con la stessa. Si distingue tra convezione:
- naturale: il moto del fluido è determinato dalle sole forze di galleggiamento indotte dalla differenze di densità dovute a variazioni di temperatura (il termosifone);
- forzata: il moto relativo del fluido rispetto alle pareti è dovuto anche ad altre cause oltre al solo galleggiamento. ad es. Dovuto ad agenti esterni (un ventilatore, una pompa, il vento);

Per la convezione vale la in essa compare h, il coeff.di scambio convettivo, che è la Legge di Newton; è diverso dalla conducibilità K che compare in Fourier, perché dipende da diversi fattori, tipo la geometria della parete, le proprietà termodinamiche del fluido...se abbiamo aria stagnante, è impossibile che a regime l'aria a contatto con una parete a temperatura diversa rimanga ferma; la sua temperatura varia dalla t della parete fino alla ts ∞ dell'aria indisturbata in modo continuo; se invece la parete è in acqua stagnante abbiamo un insieme di particelle più fredde rispetto a quelle circostanti alla parete che sono più calde per Archimede un Vg verso l'alto pari al peso del fluido spostato: corpo immerso in un fluido riceve una spinta S=ρ∞ aumentando la t aumenta il volume delle particelle il cui peso è P= ρVg è quindi la risultante S-P>0 ecco la spinta verso l'alto; le particelle più vicine alla parete.

inizieranno a salire, così come quelle che lesostituiranno e si creerà un moto convettivo ascensionale in senso orario se t > t (antiorario se t < t );s ∞ s ∞si definisce starto limite fluidodinamico la regione di spazio in corrispondenzaConvezione forzata:della piastra all’interno della quale sono presenti gradienti di velocità delle particelle di fluido;, per x<0 efondamentalmente quando una piastra viene investita da una corrente fluida con velocità w∞-x=0 (prima che tocchi la piastra) la velocità è proprio w ,mentre appena entra in contatto con la prima,∞le cose cambiano. Infatti per x=0 la velocità è y=0 (per continuità) e da questo punto in poi le velocitàsaranno sempre minori di w fino ad una certa altezza δ(x) dalla quale la velocità del fluido ricomincia∞ad essere costantemente w . Se prendo un x>x’ anche δ(x’)> δ(x) e

se congiungo tutte le ordinate y = δ(x) ottengo una curva che suddivide lo spazio della lastra in 2 sottoregioni distinte: quella INTERNA, caratterizzata da gradienti di velocità w in direzione y diversi da zero e maggiori di zero (strato limite fluidodinamico) e quella ESTERNA, costante e pari a w (regione indisturbata). Nello strato limite predominano i cosiddetti sforzi viscosi, che in sostanza sono una sorta di pressione che permettono il cosiddetto moto in regime laminare, cioè permettono al fluido di muoversi sulla piastra con velocità tutte nella stessa direzione e verso; questi sforzi sono tanto maggiori quanto è maggiore il gradiente di velocità in direzione trasversale; mano a mano che i gradienti diminuiscono, anche gli sforzi viscosi lo fanno e, arrivando a δ(x), scompaiono. Ad un certo punto, se la piastra è abbastanza lunga, lo strato limite diventerà molto spesso e grande e gli sforzi viscosi nonriusciranno più a mantenere l'ordine “laminare”: si transita verso il cosiddetto regime turbolento; il passaggio non è immediato, ma si ha una fase intermedia di transizione; cominciano a prevalere le forze di inerzia sugli sforzi viscosi, ho un moto caotico e lo strato cresce molto più velocemente di prima visto che ora le particelle si muovono in tutte le direzioni; continua però a permanere una sottile zona di regime laminare detta sottostrato laminare. Lo scambio di energia termica tra fluido e parete è ovviamente più efficace nella zona a regime turbolento, dove le particelle si mescolano e si facilita lo scambio termico. Stesso discorso si può fare mettendo al posto della velocità la temperatura, cioè si mantiene il profilo di velocità uniforme; stavolta, con la piastra a temperatura t e il fluido a t , la temperatura tende a diminuire da t (quando il fluido è a contatto con la piastra)fino a t (quando raggiungiamo la solitas ∞δ(x)); al solito la linea che congiunge tutti i δ(x) divide lo spazio in due regioni: una regione interna, cioè lo strato limite termico (in cui i gradienti di temperatura sono diversi da zero in direzione y); una regione esterna, cioè in cui i gradienti sono nulli e la temperatura è uniforme. t ∞dal momento che nella convezione forzata la transizione da moto a regime laminare a Reynolds: quello a regime turbolento dipende dall'intensità delle forze di inerzia, Reynolds mostrò sperimentalmente che è possibile predire il verificarsi della transizione analizzando in numero in corrispondenza di un valore dell'ascissa x: adimensionale di Reynolds locale ρ ρw x w _forze inerzia∞ ∞= = =Re, e Reynolds si rese conto che quando tale numero x μμ _ cosforze vis ex≈ < 55 Re, (2 3,5) 10 si determinava la transizione suddetta; in

particolare sex x Re 2 x10 regime> 5 laminare mentre se Re 3,5 x10 regime turbolento (all’interno dell’intervallo non possiamodire con sicurezza se la transizione si sia verificata o meno). Lo scambio di energia termica trafluido e parete è ovviamente più efficace nella zona a regime turbolento, dove le particelle simescolano e si facilita lo scambio termico.il esprime la relazione tra l’altezza dello strato limite di velocità ePrandtl: numero di Prandtll’altezza dello strato limite termico, dove a è la diffusività termica che mi dice con quale efficienza idisturbi termici si trasmettono nel fluido (cioè dire che a è elevato vuol dire che il calore sitrasmette bene nel fluido e determina subito variazioni di temperatura); nei gas il numero di Prandtlè intorno all’unità, cioè strato limite di velocità e temperatura hanno la stessa dimensionegrossomodo; nei liquidi Pr >> 1

Cioè, lo strato limite di velocità è molto più alto rispetto allo stratolimite di temperatura; è il rapporto il flusso scambiato per convezione tra parete e fluido e un flusso conduttivo diusselt: riferimento che verrebbe scambiato in una parete fittizia realizzata con un materiale della stessa conducibilità K del fluido, alla cui faccia sia applicata una differenza di temperatura t - t e il cui spessore sia pari alla lunghezza della pista; quindi tale numero esprime l'efficienza tra scambio termico convettivo e un ipotetico scambio termico conduttivo. È un numero ≥1 perché lo scambio convettivo, grazie ai moti di agitazione delle particelle, è più efficace di quello conduttivo; si utilizza nella convezione naturale ed è il parametro che al posto di Renolds ci dà informazioni sul regime di moto; β è il coefficiente di comprimibilità isobarica del fluido; il numero forze _ di

Galleggiamento x forze inerzia=Grdi Grashof altro non è che il rapporto tra , cioè2( forze vis cos e)quando Gr è molto elevato le forze di galleggiamento unite a quelle di inerzia sono più intense di quelle viscose e ovviamente sarà più probabile le transizione dal regime laminare al turbolento;: semplicemente definito come Ra = Gr x Pr e troviamo spesso Nu = f(Ra);Rayleigh3.

Irraggiamento termicoMentre conduzione e convezione richiedono per potersi realizzare un mezzo materiale, l'irraggiamento si può avere anche nel vuoto. Qualsiasi sostanza in natura emette onde elettromagnetiche se è a T>0 K, perché a questa T gli atomi si muovono velocemente, e i corpi per questo hanno un'energia interna. L'irraggiamento termico è quel modo di trasferimento termico legato alla capacità della sostanza di emettere onde elettromagnetiche e alle interazioni che qualunque sostanza ha con l'energia.

raggiante emessa per effetti termici.ρ α τ ρ α τ+ + = = ⋅ = ⋅ = ⋅= + + 1 R G ; A G ; T GG R A T R A Tρ α τρ α τ = = == + + + + = ; ;G R A T 1λ λ λ λ λ λ λ λ λ λG G G2+∞ 10∫ ∫λ λ= ≅G G d G dλ λ− 10 10In generale è vero che tutto quello che vale per T (es. T ≈ 0) vale anche per le singole T ; cos