Trasmissione del calore, Fisica Tecnica ambientale

Meccanismi di trasporto - Cap. 1.1

La trasmissione del calore è fondata sui fenomeni di trasporto, quei processi mediante il quale è possibile trasferire, attraverso il contorno di un volume di controllo, una determinata proprietà estensiva del sistema (energia/calore, massa o quantità di moto). A tal proposito si distinguono:

• Trasporto per collisione molecolare: la quantità in oggetto non avviene per spostamento macroscopico di materia nella direzione del trasporto.
• Trasporto per collisione turbolenta: possibilità di spostamento di materia nella direzione in cui avviene il trasporto.

Ad esempio, l'immissione di una goccia di inchiostro nell'acqua consiste nello spostamento generico delle molecole all'interno della miscela che diverrà omogenea spontaneamente - collisione molecolare (non vi è intervento/spostamento di materia). L'eventuale utilizzo di energia meccanica accelererebbe l'omogeneità, quindi sarebbe trasporto per collisione turbolenta.

Un fluido scorre su una superficie: il moto laminare sulla superficie di temperatura T_S comporta una variazione di temperatura del fluido con scambio di calore (direzione verticale, quindi ordinato, rispetto a un moto orizzontale) - collisione molecolare perché le direzioni dello scambio di calore e del moto non coincideranno mai (se il moto è disordinato vi sarà anche il momento in cui vi sarà componente verticale coincidente con la direzione dello scambio di calore, allora è turbolenta).

Flusso e densità di flusso di una grandezza - Cap. 3.1

Consideriamo una superficie di controllo e una generica grandezza estensiva X: il flusso di X attraverso la superficie verrà indicato con Φ_X.

La densità di flusso J_Xn dS = dΦ_X, il flusso è la quantità di X passante nell'unità di tempo attraverso la sezione: [dΦ_X]=[X][t]^-1 [J_X]= [X][t]^-1[L]^-2

Se n è rivolto verso l'interno del VC, Φ_X = ∫ J_Xn dS

Se n è rivolto verso l'esterno del VC, Φ_OUTX

Consideriamo un mezzo materiale in quiete (solido o fluido) con distribuzione continua di materia.

Principio dell'equilibrio locale

• Isolo volumi infinitesimi all'interno del volume totale.

REQUISITI:

• I tempi di rilassamento (per riequilibrare le proprietà al suo interno) << tempi di trasformazione
• Trasformazioni quasi statiche

Richiamo calcolo vettoriale

L'equipotenzialità è espressa dai punti in cui il gradiente è nullo (superfici ortogonali alla funzione); il gradiente è massimo quando f//superficie. La divergenza è un gradiente che opera R³ (grad. da R³ ↠ R). Dato lo scalare f, il Laplaciano f = div (grad f) = ∇²

Teorema della divergenza (Stokes):

Φ = ∫ v n dS = ∫ div v n dV >0 con n uscente.

Prendiamo un volumetto dV con relativa T₁, un altro volumetto dV a T₂: se T₁ > T₂ allora vi sarà un passaggio di energia da dV₁ a dV₂, ma noi vogliamo conoscere J_Q.

Postulato di Fourier

Prendiamo un cilindro perfettamente adiabatico (pareti isolanti sul contorno): sulle due facce abbiamo 2 temperature T₁ e T₂ costanti nel tempo. Ci aspettiamo pertanto un flusso di energia termica dalla temperatura più alta a quella minore, con T(y), avendo adottato y come coordinata libera assiale al cilindro: trasmissione del calore per conduzione.

J_Q = -δT/δy (λ) con λ definita come la conduttività termica del mezzo.

In R³ generalizziamo la forma come J_Q = - λ grad T. Il segno meno indica che il flusso ha verso opposto rispetto al gradiente.

Materiale

Nei gas λ ≅ √T/Mm

Nelle intercapedini vetricamera, per aver maggior isolamento, si tende a interporre altro gas al posto dell'aria, come l'argon e il cripton.

Dimostrazione del teorema di Fourier

ESAME

Bilancio di una generica grandezza estensiva X (X=energia):

dX/dt = Σ Φ_X^IN + Σ π'_INk

Prendiamo un volume di controllo all'interno del quale abbiamo un fluido o un solido in quiete.

J_Q = -λ gradT

Ora prendo un elementino del volume di controllo e la rispettiva normale entrante. dΦ_QIN (flusso termico IN)=J_Q n dS ↠ Φ_QIN = ∫ -λ gradT n dS

(T. DIVERGENZA) ∫ div J_Q dV = ma il t. divergenza prende il flusso positivo uscente quindi = -∫ div(-λ grad T) dV=∫ div (λ gradT) dV.

Per ipotesi λ(x,y,z, t(x,y,z)) non dipende né dalla T né dalla posizione quindi ↠ Φ_QIN =∫ λ div(grad T) dV=∫ λ⋅∇² T dV= ∫ λ⋅ (d² T/dx² + d² T/dy² + d² T/dz²)

Bilancio energetico per il volumetto

dE/dt= Σ Φ_XIN^INk + Σ π'_XIN con π' densità di potenza (W/m³); il mezzo, però, non è in moto quindi

dE/dt = dU/dt = dQ_IN -dW_OUT/dt; il mezzo è incomprimibile quindi dW=0 e si ipotizza che non vi siano transizione di fase quindi la temperatura varia (durante la transizione di fase T=cost.)

dQ_IN = dM c_massa dT = ρ c dV dT quindi dE/dt= (ρ c dV )δT/δt = λ⋅∇² T dV + π' dV

Equazione di Fourier

δT/δt = λ/(ρc) ∇² T + π'/(ρc)

Per la geometria piana:

δT/δt = λ/(ρc) ⋅ (d² T/dx² + d² T/dy² + d² T/dz²) + π'/(ρc)

ρc = C [J/m³⋅K] Capacità termica volumica

λ/C = Diffusività termica [m²/sec]

Risoluzione dell'Equazione di Fourier, Caso generale - Cap. 10.1

δT/δt = α ∇² T + π'/(ρc)

Condizioni iniziali: T(x,y,z,t=0) = T₀ per ogni x ∈ V

Condizioni al contorno per ogni x e t ∈ S:

1. Specie - Dirichlet: T(x,y,z,t) = f(x,y,z,t) ∀ x,t>0
2. Specie - Newmann: grad T(x,y,z,t)= g(x,y,z,t) ∀ x,t>0 se il grad T=0 allora il contorno è adiabatico
3. Specie- Robin: relazione fra T e grad T (es. condiz. invernale)

Supponiamo che il fluido abbia una temperatura propria T∞ e il volume abbia una temperatura al bordo di T: il flusso di calore per conduzione generato deve uguagliare quello conduttivo (= ΔT per coefficiente di proporzionalità detto coefficiente convettivo)

4. Specie: quando vi è l'interfaccia tra due materiali solidi si impone l'uguaglianza tra i flussi: -λ grad T (da sinistra)=-λ grad T (da destra)

Casi particolari e semplificazioni dell'equazione - Cap. 11.1

• δT/δt=0 Regime stazionario α ∇² T + π'/(ρc)=0 Poisson
• π'=0 Non vi è generazione di potenza δT/δt = α ∇² T
• δT/δt=0 π'=0 Reg. stazionario, no potenza ∇² T=0 Laplace

Resistenza termica convettiva - Cap. 2.2

Parete indefinita L e ,L e >>L e =L definita come "parete indefinita in y e z". λ e temperature superficiali costanti e uniformi: problema monodimensionale T(x).

δT/δt=0 π'=0 ∇² T =0

d² T/dx² =0 x=0 T(x)=T₁ x=L T(x)=T₂

dT/dx=A T=Ax+B condizioni al contorno: x=0 B=T₁ x=L T₂=A L+B--> A=T₂-T₁/L

T(x)= (T₂-T₁)x/L + T₁ (RETTA) J_Q = -λ grad T= -λ dT/dx i= -λ (T₂-T₁)/L

|J_Q|= φ = λ (T₂-T₁/L) indipendente da x

es. i=ΔV/R Ritroviamo una proporzionalità/analogia tra φ e i, dV e dT, R e L/λ.

Per questo può essere introdotta una resistenza termica/conduttiva definita come = L/λ=[m²K/W] oppure generalizzando = ΔT/φ.

R= ΔT/ A Φ con Φ densità di flusso [k/W] nella conduzione

R_Z= L/ λA con A_Z =(Ly⋅Lz)

Parete con più strati - Cap. 3.2

Abbiamo 3 strati e λ₁, λ₂, λ₃.

Impongo π'=0 dT/dt=0 T(0)=T₁ T(L₁+L₂+L₃)=T₂

d² T/dx² =0

• x=0 T=T₁
• x=L₁ -λ₁ dT/dx = -λ₂ dT/dx_{x L1-}
• x=L₁+L₂ -λ₂ dT/dx = -λ₃ dT/dx_{x (L1+L2)-}

T(x)=A₁ x+B₁ con 0<x<L₁ e così via.

Se considero 3 strati e mi metto in corrispondenza dell'interfaccia tra 1 e 2 questa stessa deve avere regime stazionario dE/dt=0 e nessuna generazione π'=0.

Il volumetto interposto sulla linea di separazione avrà una densità di flusso φ₁ = φ₂ = φ₃

φ₁ =T₁-T₁₂ /R₁₂ con R₁ =L₁ /λ₁

φ₂ =T₁₂-T₂₃ /R₂₃ T₂₃-T₃ =φ₃R₃

T₁₂ Temperatura sul bordo, all'interfaccia.

Dato che φ₁ = φ₂ = φ₃ mettendo a sistema risulta che (T₁-T₃)=φ(R₁+R₂+R₃)

φ=(T₁-T₃)/R_TOT

Nel complesso quindi il sistema equivale ad una parete singola avente R_EQ=R_TOT e φ=(T₁-T₃)/R_EQ.

In questo modo si può notare chiaramente come vi sia una forte analogia con le resistenze termiche (in questo caso in serie).

Dimostrare analogia elettrica

Avendo 3 resistenze in serie e conoscendo la differenza di potenziale agli estremi, è ovvio ottenere una corrente pari a i=ΔV/R_EQ (analogia con il caso termico osservata in seguito alla dimostrazione): nel caso di un circuito elettrico le temperature di interfaccia sono relative ai nodi di congiunzione.

es. Noti T₁ T₃ L λ φ=T₁-T₃/R_EQ =T₁-T₁₂/R₁₂ T₁₂ = T₁ - φR₁₂ T₂₃ = T₁₂ - φR₂₃

Il coefficiente angolare della spezzata è ottenuto tramite:

φ=T₁-T₁₂/(L₁ /λ₁) T₁₂-T₂₃/L = φ/λ₁ -ΔT/Δx|≈

T₁₂-T₂₃/L₂ = φ/λ₂ -ΔT/Δx|≈

T₂₃-T₃/L₃ = φ/λ₃ -ΔT/Δx|≈

Sia λ₂ > λ₁, la pendenza di 2 è minore rispetto a 1; λ è inversamente proporzionale alla pendenza.

Convezione

Nel caso in cui un fluido è praticamente in quiete, allora abbiamo uno scambio di energia per collisione molecolare.

Convezione naturale, se il moto delle porzioni di fluido è conseguenza della differenza di temperatura tra due superfici o tra due porzioni di fluido (che causa densità diverse, innescando spinte di Archimede).

Convezione forzata, se il moto del fluido è generato esternamente da una forzante (ventilatore, vento, pompa).

Nel grafico vediamo come all'avvicinarsi di un'altra temperatura vi sia una perturbazione progressiva che influenza la T (asintottico relativo a T∞). Ovviamente nel momento in cui il fluido viene a contatto con la superficie (avente T_S) questo ne eredita la medesima temperatura.

Postulato di Newton o definizione

Φ_{CV(CONVETTIVO)} = A h (T_S-T∞)

φ= Φ_{CV(CONVETTIVO)} /A del coefficiente convettivo h

h = Φ_{CV(CONVETTIVO)} /A (T_S-T∞) = [W/ m² K] T∞ indica la temperatura del fluido (x=∞)

Scambio termico

Quando vi è contatto abbiamo uno scambio termico per conduzione, in caso contrario lo scambio termico avviene per convettività.

φ = -λ δT/ δz h(T_S-T∞) = -λ δT/ δz →

• F = ma 3 eq. scalari
• Cons. Massa 1 eq. scalare
• Cons. Energia 1 eq. scalare
• Eq. di stato 1 eq. scalare

TOT = 6 eq. a disposizione per risolvere in teoria il problema che ci richiede il calcolo delle 6 incognite (v, T, p, φ)

Il coefficiente convettivo h dipende da:

• Proprietà termofisiche fluido
• Forzanti del moto convettivo (v∞, ΔT)
• Geometria

Valori di h:

• CV Naturale: 1-20
• CV Forzata: 40-250
• CV in Ebollizione: 1800-45000

Aria: 1-20, Acqua: 250-750

= 1/(A h) = [K/W] R_CV = 1/h = [K⋅m²/W]

Grafico

dE/dt= Φ_IN - Φ_OUT + π'_IN - π'_OUT = -λ A(dT/dx) +hA( T_S-T∞)+ π'_IN - π'_OUT

Se consideriamo dV→0 allora dE/dt, π'_IN, π'_OUT λ (dT/dx) = h( T_S-T∞) valutato in x=L.

es. Condizione al contorno di 3^° specie, valide sia in regime stazionario sia in assenza di questo stesso.

• Nel grafico abbiamo il caso di una parete lambita da due fluidi avente T∞₁ e T∞₂:
• φ= T∞₁ - T∞₂ /R_CV = T₁ - T∞₂ /R_CV3
• Φ= T∞₁ - T∞₂ /R = +R_EQ +R_CV +R_CD1 +R_CD2 +R_CD3 +R_CV2

(T_S3 è la temperatura in L₁+L₂+L₃)

Resistenze convettive

Le resistenze convettive sono quelle esterne alle pareti; pertanto φ= T∞₁ - T∞₂ /R_CV1 +R₁ +R₂ +R₃ +R_CV2

Qui abbiamo una parete formata da due strati sovrapposti: C.I. π'=0 δT/δt=0 T(x,y) e φ(x,y). In questo caso viene meno la monodimensionalità adottata finora che ci permetteva di esprimere T(x) quindi una sola variabile. Se λ≈λ_A λ_B possiamo approssimare i flussi:

CASO I. - Superficie ortogonale all'asse x (isotermia):

R_CV1 = 1/h (S₁ +S_A) = L/λ_A S_A = L/λ_B S_B

φ_A = Φ_A /S_A = T_S1 - T_S2 /R_CD A S_A S₁ - S₂

φ_B = λ_B /L (T_S1 - T_S2)

Φ= T_S1 - T_S2 /R_EQ

Φ = Φ_A + Φ_B = T_S1 - T_S2 /R_CD A S_A T_S1 - T_S2 /R_CD B B

= T_S1 - T_S2 [1/(L/λ_A S_A)+1/(L/λ_B S_B)] da cui

1/R_EQ =1/R_A + 1/R_B Analogia con resistori elettrici in //

R_EQ = R_CV1 + R_A + R_B + R_CV2

CASO II. - Superficie // asse delle x (adiabaticità):

Φ = Φ_A + Φ_B = T_∞1 - T_∞2 /R_EQ con R_EQ = 1/[1/R_A]+[1/R_B]

R_EQ = R_A + R_CV1 A_A A_B CV2 A_EQ B_CV1 +R_B B_CV2 B

Quindi il caso I non coincide con il caso II perché differiscono in termini di R_EQ dato che λ_A λ_B: si può procedere aggiungendovi una correzione dovuta ai ponti termici.

Ad esempio la finestra (W), composta da un telaio (F) ed un vetro (G):

Φ = Φ_W + Φ_G + Φ_F + Φ_PT

Equazioni di stato

T(x=0)=T₁ T(x=L)=T₂ π'=cost. δT/δt=0

λd² T/dx² + π' =0

T(x=0)=T₁ T(x=L)=T₂ d² T/dx² = - π'/λ

dT/dx= - x(π'/λ) +c T(x)= -π' x /2λ + C x + C

Il profilo della temperatura è una parabola; in assenza di generazioni però questa avrà un andamento lineare. Imponendo le condizioni al contorno:

T(0)=T₁=C

T(L)= -π' L /2λ + C L + T₁ C =[T₁ -T₂/L + π'L/2λ]

T(x)= -π' x /2λ + (T₁ -T₂/L + π'L/2λ) x + T₁ =T₁ +(T₁ -T₂) x/L+ π'x (L-x)/2λ

φ(x)= -λ dT/dx= π'x-λC = - π'x-λ[T₁ -T₂/L+ π' L/2λ] = λ(T₁ -T₂)/L + π'(x-L/2)

Il binomio appena ottenuto sarebbero i contributi φ _I +φ _II

CASO I: (sistema) λ d² T/dx² = 0 + condizioni iniziali

CASO II: (sistema) d² T/dx² = -π'/λ + condizioni iniziali

Quindi vale la sovrapposizione degli effetti, in particolare si scompone il problema di Fourier nel caso I e nel caso II.

Illustrare analogia fenomeni termici elettrici evidenziando le condizioni per le quali è valido

Nel caso in cui, però, vi sia generazione l'analogia elettrica viene a mancare. L'analogia è valida solo in assenza di generazione, ovvero π'=0.

Parete lambita da 2 fluidi, con generazione: π' = cost. δT/δt=0

Cambiano le condizioni al contorno:

d² T/dx² = - π'/λ

• x= -L/2 h (T_S -(-πL /8λ -c L/2 +c ))= -π'L/2 -λc T +πL /8λ +c L/2 -c = -π'L/2 h -λc /h₂ S S _{1 2} S _{1 2} S₁ S
• T(x)= -π' x /2λ + C x + C
• dT/dx= -π' x/λ + C -λdT/dx= π' x -λC

Sommiamo le equazioni e otteniamo:

T_S -T_D +c L= π'L/2 (1/h _S-1/h _D) -λc (1/h _S+1/h _D)= c [L+λ (1/h _S+1/h _D)]=T_S -T_D + π'L/2 (1/h _S-1/h _D)