Trasmissione del calore

Nei paragrafi che seguono l'equazione di bilancio verrà scritta per le grandezze estensive massa, energia ed entropia con riferimento sia ai sistemi chiusi che a quelli aperti.

2.2. Bilancio di massa per un sistema chiuso

Nell'ambito dei fenomeni non relativistici, cui si è interessati, si ritiene che la massa sia una grandezza conservativa, ovvero che la massa non possa né generarsi né consumarsi.

L'equazione di bilancio (2.1), per la proprietà estensiva massa, è, per un sistema chiuso, banale:

Δm = 0, sistema chiuso (2.3)

relativamente all'intervallo di tempo Δθ; ovvero, dividendo per Δθ, ed eseguendo il limite per Δθ tendente a zero, si ha anche:

d_m/d_θ = 0, sistema chiuso (2.4)

Le equazioni (2.3, 4) hanno uno scarso interesse pratico, poiché l'informazione che forniscono coincide con la definizione stessa di sistema chiuso, ovvero di sistema confinato da una superficie impermeabile rispetto a flussi di massa, Fig. 2.1.

Figura 2.1. - Un sistema chiuso è delimitato da una superficie di controllo che non è attraversata da flussi di massa, è quindi Δm = 0.

Nei paragrafi che seguono l’equazione di bilancio verrà scritta per le grandezze estensive massa, energia ed entropia con riferimento sia ai sistemi chiusi che a quelli aperti.

2.2. Bilancio di massa per un sistema chiuso

Nell’ambito dei fenomeni non relativistici, cui si è interessati, si ritiene che la massa sia una grandezza conservativa, ovvero che la massa non possa né generarsi né consumarsi.

L’equazione di bilancio (2.1), per la proprietà estensiva massa, è, per un sistema chiuso, banale:

Δm = 0, sistema chiuso (2.3)

relativamente all’intervallo di tempo Δθ; ovvero, dividendo per Δθ, ed eseguendo il limite per Δθ tendente a zero, si ha anche:

d = 0, sistema chiuso (2.4)

Le equazioni (2.3, 4) hanno uno scarso interesse pratico, poiché l’informazione che forniscono coincide con la definizione stessa di sistema chiuso, ovvero di sistema confinato da una superficie impermeabile rispetto a flussi di massa, Fig. 2.1.

Figura 2.1. – Un sistema chiuso è delimitato da una superficie di controllo che non è attraversata da flussi di massa, è quindi Δm = 0.

2.3. Bilancio di massa per un sistema aperto

Si consideri ora un sistema aperto, delimitato cioè da una superficie di controllo che consente, almeno in alcune zone (ingressi o uscite), il passaggio di massa. Si inizi col considerare, per semplicità, un sistema aperto con un solo ingresso ed una sola uscita, Fig. 2.2. L'equazione di bilancio (2.1), indicando rispettivamente con m_e ed m_u le aliquote di massa rispettivamente entrate ed uscite, durante l'intervallo di tempo Δθ, e con Δm la variazione, durante Δθ, della massa contenuta nel volume di controllo, Fig. 2.2, si scrive:

m_e = m_u + Δm (2.5)

Figura 2.2 - Un sistema aperto con un solo ingresso ed una sola uscita, la superficie di controllo è in parte costituita da superfici reali, ed in parte da superfici ideali, tratteggiate, là dove si verifica il passaggio della massa.

Dalla (2.5) si deduce che qualora, durante Δθ, entri più massa di quanta ne esca il contenuto di massa in V.C. cresce di Δm, che è positivo; qualora Δm risulti negativo, significa che m_u > m_e. Se, infine, m_e = m_u sarà Δm = 0, ovvero la massa contenuta nel volume di controllo è costante nel tempo.

L'estensione al caso di superficie di controllo con più ingressi e/o più uscite, Fig. 2.3, è immediato:

Σ m_e = Σ m_u + Δm (2.6)

Capitolo secondo

Nello studio dei sistemi aperti è più usuale, anziché parlare di "aliquota di massa entrata durante il tempo Δθ, parlare di portata (di massa o massica) entrata (in un certo istante)". La portata massica è così definita:

(2.7)

Figura 2.3 - Sistema aperto delimitato da una superficie di controllo che presenta più ingressi (3) e più uscite (2).

dove: Δm è l'aliquota di massa che attraversa un generico elemento della superficie di controllo durante il tempo Δθ, ed ṁ è il simbolo adottato per la portata massica. Ovviamente, al contrario, se è nota ṁ e si vuol calcolare Δm, si ha

(2.8)

L'unità di misura SI di ṁ è il kg/s. Poiché il Sistema Tecnico (ST) adotta come unità di misura fondamentale il peso anziché la massa, detta chilopond [kp], si definisce la portata di peso o ponderale, il cui simbolo sarà sempre ṁ, la cui unità di misura nel ST è il kp/h.

L'equazione di bilancio di massa in termini di portate si ottiene dividendo le (2.5, 6) per Δθ ed eseguendo il limite per Δθ tendente a zero: stante la definizione (2.7) si ottiene:

Equazioni di bilancio per la massa, l'energia, l'entropia

_e = _u + ^d/_dθ m_v.c.      (2.9)

Σ_e = Σ_u + ^d/_dθ m_v.c.      (2.10)

avendo indicato con m_v.c. la massa contenuta nel volume di controllo.

Si noti che poiché il volume di controllo è fisso nello spazio, la derivata che compare nelle (2.9, 10) è quella locale ovvero fatta soltanto rispetto al tempo.

Una categoria di fenomeni molto importanti nella pratica professionale è quella dei così detti fenomeni in regime stazionario cioè di quei fenomeni caratterizzati da una trascurabile variazione col tempo delle proprietà in ciascun punto della regione di spazio considerata. Gli impianti, durante il loro funzionamento, hanno, usualmente, lunghi periodi di regime stazionario e brevi periodi di "regime transitorio", ad esempio quello di "avvio" e quello di "spegnimento". Le equazioni (2.9, 10) hanno forma generale, è utile, però, particolarizzarle per il regime stazionario. In questo caso il contenuto di massa nel volume di controllo non potrà variare nel tempo:

^d/_dθ m_v.c. = 0 … regime stazionario      (2.11)

e quindi le (2.9, 10) diventano:

_e = _u      (2.12)

Σ_e = Σ_u      (2.13)

In condizione di regime stazionario la somma delle portate massiche entranti eguaglia quella delle portate massiche uscenti. Se il sistema ha un solo ingresso ed una sola uscita, la portata massica entrante è uguale a quella uscente.

È utile correlare la portata massica alle proprietà termodinamiche. Ciò può essere fatto molto semplicemente per i casi in cui il flusso attraverso i condotti collegati al volume di controllo è monodimensionale, ovvero è tale che le proprietà hanno un valore uniforme in ciascuna sezione ortogonale alla direzione del moto: variano soltanto lungo la coordinata che identifica il moto del fluido; detta ad esempio x tale

coordinata, Fig. 2.4, per la temperatura e per la densità si avrà \( T = T(x) \) e \( \rho = \rho (x) \).

Figura 2.4. - Nel moto monodimensionale le proprietà del fluido hanno un valore uniforme in ciascuna sezione ortogonale alla direzione del moto x; le proprietà variano soltanto al variare di x.

Si consideri quindi uno dei condotti di collegamento al volume di controllo in cui il flusso sia monodimensionale, Fig. 2.5. Sia \( \Delta m_1 \) la massa che, nel tempo \( \Delta \theta \), entrerà, attraversando la superficie di controllo, in V.C.. La massa \( \Delta m_1 \) è contenuta in un cilindro di base \( A_1 \), sezione trasversale del condotto, e di altezza \( w_1 \Delta \theta \), avendo indicato con \( w_1 \) il valore uniforme della velocità del fluido nella sezione \( A_1 \). Indicando con \( \rho_1 \) la densità del fluido e con \( v_1 \) il suo inverso, il volume specifico, si ha:

\[\Delta m_1 = \rho_1 A_1 w_1 \Delta \theta = \left(\frac{1}{v_1}\right) A_1 w_1 \Delta \theta\] (2.14)

Figura 2.5 - La massa \( \Delta m_1 \) che sta per entrare in V.C. è contenuta nel volume \( A_1 w_1 \Delta \theta \).

Dividendo la (2.14) per \( \Delta \theta \), ed eseguendo il limite per \( \Delta \theta \) tendente a zero, si ottiene:

Equazioni di bilancio per la massa, l'energia, l'entropia

La portata massica in un generico elemento della superficie di controllo è pari al prodotto della densità del fluido, per la misura della sezione trasversale del condotto, per la velocità del fluido. Nel SI l’unità di misura della densità è il kg/m³, quella della sezione del condotto il m², quella della velocità il m/s, e quella del volume spe cifico il m³/kg; dalla (2.15) segue:

Qualora al posto della densità si consideri il peso specifico, misurato in kp/m³ nelle unità del Sistema Tecnico, si avrà ovviamente

la portata ponderale. Le varie forme dell’equazione del bilancio di massa (2.9, 10, 12, 13) possono essere riscritte sostituendo al simbolo delle portate la (2.15); si trascrivono, a titolo di esempio, le forme valide per il regime staziona rio:

Da quanto detto, Fig. 2.5, il volume occupato dalla massa Δm che, in Δθ, entrerà nel volume ω controllo, è ΔwΔθ. In analogia alla rela zione ricavata tra massa e portata massica, si può correlare il volume alla portata volumetrica. Sia ΔV = ΔwΔθ il volume occupato dalla massa Δm, la definizione della portata volumetrica V̇ è:

L'unità di misura di V̇ è il m³/s. Poiché la portata volumetria è una grandezza più facilmente misurabile rispetto alla portata massica, è comodo esplicitare tale grandezza nell'equazione di bilancio della mas- sa. Per il regime stazionario, ad esempio, si avrà:

(ρV̇)_e = (ρV̇)_u ; (V̇/v)_e = (V̇/v)_u (2.21)

Σ_e (ρV̇)_e = Σ_u (ρV̇)_u ; Σ_e (V̇/v)_e = Σ_u (V̇/v)_u (2.22)

Val la pena osservare che, per i sistemi a regime stazionario con un solo ingresso ed una sola uscita, la portata massica è costante (2.12), ma non lo è in generale quella volumetrica (2.21). Essa lo è soltanto nei ca- so particolare, ma piuttosto comune, di fluido la cui densità sia pratica- mente costante; tale è usualmente il caso dei liquidi. Per questi si ha quindi (2.20) che se il condotto è a sezione costante, anche la velocità è costante.

2.4. Bilancio di energia, generalità

Sempre nell'ambito dei fenomeni non relativistici, si ritiene che l'energia sia una grandezza conservativa: l'energia non può né generarsi né consumarsi. Per poter scrivere l'equazione di bilancio (2.1) per la grandezza estensiva in esame, è opportuno etichettare i flussi di energia attraverso la superficie di controllo, escludendo i flussi associati a quelli di massa, come calore e lavoro. Il flusso di energia avviene secondo la modalità calore se la causa che lo determina è la differenza di tempera- tura tra il sistema e l'ambiente, avviene invece secondo la modalità lavoro se la causa non è riconducibile ad una differenza di temperatura.

Si considerino, Fig. 2.6, un sistema chiuso costituito da un recipiente metallico contenente una massa assegnata di gas inizialmente alla tem- peratura ambiente, ed i prodotti della combustione, generati da un bruciatore, che lambiscono la superficie esterna del recipiente. A causa della differenza di temperatura all'interfaccia sistema-ambiente vi sarà un trasferimento di energia come calore dal secondo verso il primo In Fig. 2.7 è raffigurato lo stesso sistema che riceve energia dall'ambien te secondo una differente modalità. L'abbassarsi di un peso causa la ro- tazione di un albero palettato posto all'interno del sistema. Si può osservare che il flusso di energia dall'ambiente al sistema non è causato da una differenza di temperatura: la modalità “lavoro”, in particol