Th dei moltiplicatori di Lagrange

Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (ricerca min e max vincolato)

Data f, A⊂ℝ², E ⊂ C¹(A), λ aperto e dato

F ∈ C¹(A), E = {(x, y) ∈ A / F(x, y) = 0} / ∇F(x, y) ≠ (0,0) ∀ (x, y) E E

Se (x₀, y₀) ∈ E di massimo/minimo relativo per f su E, ∃ λ ∈ ℝ

∇F(x₀, y₀) ≠ 0 ∇F(x₀, y₀)

Dim:

Supponiamo che (x₀, y₀) di max per f su E, allora ∃ δ > 0

f(x, y) ≤ f(x₀, y₀) ∀ (x', y') ∈ E, ||(x' - x₀, y' - y₀)||≤ δ

Supponiamo anche che ∂f/∂y (x₀, y₀) ≠ 0 dato che ∇F(x₀, y₀) ≠ (0,0) per hp.

Dunque dal Th. della funzione implicita ∃ ! h ∈ C¹((x₀-h, x₀+h), (y̅, h(x₀ᴗ), y), tale che F(x, y) = 0.

Consideriamo ε determina δ diab k anche considerando ψ(x) = f(x, h(x)), l(x) = F(x, h(x)) = 0, x ∈ x₀, quindi ψ calcolato di x₀ affinchè (x₀ è di massimo relativo interno per ψ nel intervallo x₀ - ε di min interno sopra x ∈ X₀, per th.f.dl Permax

Calcoliamo ψ'(x₀): essende ψ fue composta tra f (X, y)e x ∈ R x x ↦ (x, h(x) :

ψ'(x) = =...

(∂E/∂x)(x₀,y₀)= x+y+2x-x₀y= ∂_E/∂y.

• (∂E/∂x)²y₀=4_x=0
• (∂E/∂_l)x=0-x₀= ±x.

Suppongo che λ=1 e λ≠0, poniamo quindi λx=y=0.

Supponiamo y= x(2x+y); (x,z,x)=2(x-y). (x/λ)y=2xy. λ=0

1-λ=x/2λ→λ₁= 1/√3;

8x²-1 ⇒ x= ±√3/3, y=±√3/3.

(-1-λ²=4₂ = 4x²) λ²= -1.

Suppongo che x≠0, dall’equazione 8x¹= ±√3

Rappresentiamo in rosso: x₁= 1/3

y= −2/3, x ⇒ y=x/3

• Supponiamo λ=1/3 per x=1
• Procedure...
• Derivati parziali...

L'immagine di una figura lineare viene deformata per effetto delle matrici J

Per preservare le dimensioni & det(J) ≠ 0 (se la misura 2D continua ad essere 2D) ovvero le righe di J sono linearly independent → i rigidi delle componenti sono linearly independent.

Ritratto l'area (n=2) o volume (n=3) di F(x) è mai nulla ↔ JF ha rango pieno (n) nei pnt di Q (valutazione sui vari degenerationi).

Caso particolare: trasformazioni di coordinate

F: ℜⁿ → ℜⁿ biunivoca, regolare C¹ con inversa regolare, JF invertibile

coord. polare F(β, Θ) = (βcosΘ, βsinΘ), β > 0, Θ ∈ [0, π)

JF(β, Θ) = [ ∇f₂ ]

= [ cosΘ -βsinΘ ]

sinΘ       βcosΘ

⇒ det(JF) = β

F^-1(x,y) = (β(x,y), Θ(x,y)) con β = √(x² + y²)

x,y > 0 → Θ = arctan( ^y⁄_x )

x < 0, y > 0 → Θ = π - arctan( - ^y⁄_x )

0 < α < 2π

A = α⋅R

Area (calcolo _metro 2)^xβrdr(∫₀^R)