Termodinamica, Fondamenti di Fisica

Termodinamica

Teoria Cinetica dei Gas

Media temporale

f̅ = f(t)

Velocie media di f(t) in [0,T]

f̅ = 1/T ∫₀^T f(t) dt

Teorema del Viriale (Dimostrazione)

A = mV̅ ● r̅

dA/dt = d(mV̅ ● r̅)/dt = mV̇̅ ● r̅ + mV̅ ● ṙ̅

F̅ = ma̅

dA/dt = F̅ ● r̅ + mv²

K = 1/2 mv²

dA/dt = F̅ ● r̅ + 2K

(dA/dt)̅ = 1/T ∫₀^T dA/dt dt = (A(T) - A(0))/T

(dA/dt)_∞ = lim_T→∞ (dA/dt)̅ = 0 poiché la particella si muove in una parte limitata dello spazio

dA/dt = 0 ⇒ (F̅ ● r̅) + (2K̅)

K̅ = 1/2 (F̅ ● r̅)

Per più particelle

A = m₁v₁c₁ + m₂v₂c₂

K₁ = ¹⁄₂ m₁v₁²

K₂ = ¹⁄₂ m₂v₂²

m₁‖a₁ = F_e + F₁₂

m₂‖a₂ = F_e^' + F₂₁

^dA⁄_dt = m₁‖a₁c₁ + 2K₁ + m₂‖a₂c₂ + 2K₂

^dA⁄_dt = (F_e + F₁₂)c₁ + (F_e^' + F₂₁)c₂ + 2(K₁ + K₂)

v_tot

^dA⁄_dt = - (F_ec₁ + F_e^'c₂ + F₁₂v₁₂) + 2K_tot

^dA⁄_dt = 0 = F_ec₁ + F_e^'c₂ + F₁₂v₁₂ + 2K_tot

K_tot = ¹⁄₂ (F_ec₁ + F_e^'c₂ + F₁₂c₁₂)

Per N particelle

K_tot = ^-1⁄₂ 〚 ∑_i=1^N F_ec_i + ∑_i=3^N F₁₂c₁₃ 〛

Varie di un gas

Se le forze interne sono trascurabili (F₁₂ = ∅)

gas ideale o perfetto

K_tot = - ¹⁄₂ ∑_i F_e‖c_i

Temperatura

Misura dello stato di equilibrio termico tra due sistemi.

Non è possibile effettuare una misura diretta delle temperature.

Temperatura Termodinamica

Grandezza fondamentale K Kelvin

• Termometro a gas:

Acqua al punto triplo T₃ = 273,16 K

Principio Zero della TD

È consentito di misurare la temperatura > regredisce e l'universo

Trasformazione Termodinamica

1. Stato iniziale (T_i, V_i, p_i, q_i)
2. Stato finale (T_f, V_f, p_f, q_f)

• Reversibile: Se al tornare del sistema nello stato iniziale non si osservano variazioni nell'ambiente circostante.
• Irreversibile: In natura le trasformazioni sono sempre irreversibili.

TRASFORMAZIONI POLITROPICHE

pV^α = costante

• α=1 pV = cost → isoterme
• α=0 p = cost → isobare
• α=∞ V = cost → isocore

∫_VA^V_B p dV = ∫_VA^V_B cV^-α dV = [c V^1-α / 1-α]_VA^V_B = c / 1-α (V_B^1-α - V_A^1-α) α≠1

L_A→B dipende dalla trasformazione

sistema termodinamico scambiato tra pareti adiabatiche L_AB non dipende dalla trasformazione ma solo dagli stati A e B (Joule sperimentazione)

U ENERGIA INTERNA del sistema termodinamico

• L_adiabatico^AB U(A) - U(B) = -Δu
• Q calore scambiato del sistema termodinamico
• L_AB L_adiabatico^AB = Q_AB carico scambiato lungo la trasformazione generica A B

• se trasformazione adiabatica
  • → U_A^AB → Q_AB = 0
• L_AB + ΔU = Q_AB ΔU = Q - L
• se L=0, ΔU=Q Q≠0 calore scambiato del sistema

1° PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

Trasformazione Adiabatica nel caso particolare

δQ - δL = dU

dU = -δL

dU = n c_v dT

δL = -pdV

pV = nRT

d(pV) = nR dT

dpV + pdV = nR dT

p dV = nR dT - V dp

n c_v dT - V dp = nR dT

n (c_v + R) dT = V dp

• n c_v dT = -pdV
• n c_p dT = V dp

→ n c_v dT / n c_p dT = -p dV / V dp

→ ^c_v/_cp = -^dv/_V

dp/p = c_v/c_v dV/V

γ = ^c_p/_cv

dp/p = -γ dV/V

stato iniziale p_o, V_o

stato finale p, V

∫_po^p dp/p = ∫_Vo^V γ dV/V

ln P/P_o = -γ ln V/V_o

ln (P/P_o) = -γ ln (V/V_o)

ln (P/P_o) = ln (V_o/V)^γ

p/p_o = (V_o/V)^γ

→ pV^γ = const

NB Trasf adiabatica di caso particolare di trasf politropica con α=γ

Trasformazione adiabatica quasi statica nel caso diretto

ENTROPIA

Macchine termiche:

TEOREMA DI CLAUSIUS

Il teorema si può generalizzare per macchine più complesse

• NB: L ciclo irreversibile
• ciclo reversibile

NB: macchine di questo tipo sono ancora

irrealizzabili alle macchine di Carnot poiché divergono a T costante

ma nelle reali gli archi hanno forma molto diversa

DISEGUAGLIANZE DI CLAUSIUS

Si generalizza con una somma infinitesima di adiabatiche e isoterme:

poiché reversibile l'integrale

posso invertire gli integrali poiché δT reversibile

non dipende del processo ma sole degli estremi

Macchina Termica Irreversibile

dopo un arco di funzionamento

ΔS_u > 0

ΔS_u = ΔS_mac + ΔS_gen > 0

ΔS_gen = ∫_TA dQ / T₁ + ∫ dQ / T₂

∫ dQ₁ / T₁ - Q_fc / T₂

ΔS_univ = Q (1/T₂ - 1/T₁) = α

ν₂ ΔS_univ - Q (1 - T₂ / T₁) α ν ν_c - η_c

T₂ ΔS_univ / Q = (1 - T₂ / T₁) α - T₂ ΔS_univ / Q η_c η_q

η_pm = η_c - T₂ ΔS_univ / Q

ν_pm < ν_c

C'è un legame tra l'entropia e l'irreversibilità

• ΔS_u grado di irreversibilità di una macchina
• più grande ΔS_u peggiore è il rendimento di una macchina
• massima concedere

NB: T₂ ΔS_u sempre > 0