Termodinamica, Fondamenti di Fisica

Termodinamica

Teoria cinetica dei gas

Media temporale

Néveore media di(u) in [0,T]_P = ₁⁄_T ∫_o ^T p(u) dt

Teorema del viriale (Dimostrazione)

A = mV²

dA/dt = d(mV²)/dt = mV dx/dt = mV² + mV²

F = ma

dA/dt = F r̂ + mV²

dA/dt = F r̂ + 2K

K = ½ mV²

∫(dA/dt)₀ ^T = T⁻¹ ∫₀ ^T (dA/dt) dt = A(T) − A(0)⁄T

lim_T→∞ ∫(dA/dt)₀ ^T = 0 poiché le particelle si muovono in una parte limitata dello spazio

(dA/dt)̄ = 0 = F r̂ + 2(K̄)

K̄ = ½ (F̄ r̂)

Teorema del viriale (Calusura)

A = m(v·r)

(dA/dt = d(mv·r)/dt = m(v'·r) + mv·dr/dt = m(v'·r) + mv·v) = F·r + 2K

dA/dt = (F·r) + m(v²)

(dA/dt) = (1/T) ∫ dA/dt = (A(T) - A(0))/T

(dA/dt)|_t=0 = lim_t→∞ (dA/dt) = 0 poiché le particelle si muovono in una parte finita dello spazio

(dA/dt) = 0 = (F·r) + (2K)

K = (1/2)(F·r)

Per più particelle

A = m₁v₁²c₁ + m₂v₂²c₂

dA/dt = m₁c₁·a₁ + m₂c₂·a₂

K₁ = 1/2 m₁v₁²

K₂ = 1/2 m₂v₂²

dA/dt = (F_e + F₁₂)·r₁

dA/dt = (F₁₂ + F₂₁)·r₂ + Ω (K₁ + K₂)_TOT

(dA/dt) = (F_e·v₁ + F₁₂·v₁ + F_e·v₂ + F₁₂·v₂) + 2K_TOT

((dA/dt))_i = (F_e·v₁ + F₁₂·v₁ + F_e·v₂ + F₁₂·v₂ + 2K_TOT)

K_TOT = 1/2 (F_e·r₁ + F₁₂·r₁ + F_e·r₂ + F₁₂·r₂)

Per N particelle

K_TOT = 1/2 ∑_i=1^N F_ec_iA

K_TOT = 1/2 ( ∑ F_ec_iA + ∑_A=1^N F_ijc_ijA)

Variare di un gas

Se le forze interne sono trascurabili: (F_ij = 0) ⇒ gas ideale o perfetto

K_TOT = 1/2 ∑ Z_i F_e·r̄

Gas ideale in un contenitore cubico di spigolo lungo a

Forze esterne: peso (trascurabile), F delle pareti

Σ F_i^e r_i = Σ F_i^e x_i   +   F^e_y y + F^e_z z

= ΣF_ix^e a = a Σ (|F^e|) = -a Σ |F^e| = -a Σ_i (F_parete) = -a Σ |F^e|

Definizione: Pressione agente sulle pareti di area a²

p = Σ (|F_parete|)/a² ⇒ Σ F^e_i r_i = -a (pa²) = -pa³

Considerando tutte le pareti:

K_tot = -1/2 Σ F^e_i r_i = λ/2 (3(V-pa³)) - 3/2 pa³

K_tot = 3/2 pV

Per gas reale

K_tot = ¹/₂ ∑ _i F_i r_i = ¹/₂ ∑ _{i ≠ j} F_ij r₀

K_tot = ³/₂ pV ≥ ³/₂ Nk_BT

pV = ²/₃ ( _Ktot + ∑ _{i ≠ j} F_ij r_ij)

pV = ³/_{2 Ktot} + ¹/₃ ∑ _{i ≠ j} F_ij r₀

Per i gas ideali

Si dimostra sperimentalmente: pV = Nk_BT^{(Gas ideale)}

Gas ideale: pV = ²/₃ K_tot → T Nk_B = ²/₃ K_tot

pV - Nk_BT → K_tot = ³/₂ Nk_BT

Energia cinetica media delle singole particelle: K - K_tot = ³/₂ k_BT / N → La temperatura è la misura dell'energia cinetica media delle particelle

[p] = _[F]/_{[S] [F]}/_[L2] pressione nel S.I. (N/m²) = Pa pascal

10⁵ Pa = 1 bar

Atmosfera (fisica) 1 atm = 1013 mbar = 101300 Pa

Atmosfera (tecnica) 1 K