Termodinamica - Espansione Libera

Esperimento di Gay-Lussac-Joule

L’esperienza di Gay-Lussac-Joule fu realizzata considerando un contenitore isolato adiabaticamente, al cui interno erano poste due ampolle identiche collegate tra di loro. All’interno della prima ampolla si trovava del gas, mentre nella seconda (inizialmente separata dalla prima attraverso una valvola chiusa) era stato fatto il vuoto. All’esterno del contenitore era stata posta dell’acqua, mantenuta a temperatura costante.

Condizioni iniziali e comportamento del gas perfetto

Il gas contenuto nella prima ampolla era abbastanza rarefatto da poter essere considerato un gas perfetto. Per un gas perfetto si ha: pV = RT. Il comportamento di un gas reale, invece, si avvicina tanto più a quello del gas ideale quanto più il rapporto pV/RT è simile a 1.

Espansione del gas e leggi termodinamiche

Mantenendo sempre la temperatura dell’acqua costante, si apre la valvola, permettendo l’espansione libera del gas che si distribuisce in modo uniforme nelle due ampolle. Il volume del gas raddoppia a temperatura costante: per la legge di Boyle-Mariotte, la pressione non può che dimezzarsi. Tuttavia, considerando come sistema quello costituito dalle due ampolle, il lavoro scambiato col mezzo è nullo perché le superfici delle ampolle sono fisse. Ma risulta nullo anche il calore scambiato perché le temperature di mezzo e sistema sono rimaste inalterate nel corso dell’espansione. Scrivendo il primo principio della termodinamica, notiamo che l’energia interna finale del sistema coincide con l’energia interna che esso possedeva prima della trasformazione.

Scelta delle variabili termodinamiche

Scegliamo come variabili termodinamiche di riferimento il volume specifico e la temperatura: tutte le altre grandezze termodinamiche saranno esprimibili tramite queste due. È possibile dimostrare che U, essendo una funzione di stato (quindi non dipendendo dal percorso seguito per passare da un punto ad un altro), rappresenta un differenziale esatto. Possiamo dunque scrivere che dU è uguale alla somma della derivata parziale di U rispetto a T a volume specifico costante più la derivata parziale di U rispetto a v a temperatura costante.

U = φ(T, v) da cui dU = (∂U/∂T) dT + (∂U/∂v) dv

Derivate parziali e gas perfetto

Nel caso dell’espansione libera del gas perfetto, pur variando pressione e volume, ma mantenendosi inalterata la temperatura, l’energia interna non è cambiata. Ciò implica che la derivata parziale di U rispetto a v (o rispetto a p) a temperatura costante è nulla:

• (∂U/∂v) = 0
• (∂U/∂p) = 0

Per il gas perfetto, dunque, possiamo scrivere:

dU = (∂U/∂T) dT + (∂U/∂v) dv (sbarra il secondo termine)

dU = (∂U/∂T) dT = (dU/dT) dT

L’energia interna, limitatamente al gas perfetto,