Teoria Sistemi dinamici

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Revisionato il 26/05/2026

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Appunti completi di teoria per il corso di Sistemi dinamici, tenuto presso la facoltà di ingegneria informatica dell'Università degli studi del Sannio dal professor Luigi Glielmo …

Esame Sistemi dinamici

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Glielmo Luigi

Università Università degli Studi del Sannio

A.A. 2017-2018

82 pagine

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Modello di Malthus

Il modello di Malthus è stato il primo modello di dinamica delle popolazioni ed è il più semplice modello di crescita esponenziale. Il modello si applica a una popolazione di individui isolata (che non interagisce con altre popolazioni) dotate di risorse infinite, di spazio e di cibo.

Equazione:

_X(t) = α X(t)

La cui soluzione risulta:

X(t) = X(0) e^αt

Come si giunge alla formula principale?Consideriamo:

X(t) → Numero di individui
m → Tasso di natalità
m → Tasso di mortalità

Considerato un periodo di tempo h, la differenza di popolazione nell'intervallo h sarà:

X(t+h) - X(t) = ^natalità m h X(t) - ^mortalità m h X(t)

X(t+h) - X(t) = (m - m) h X(t)

_X(t+h) - _X(t) = (m - m) X(t)---------------h---------------

Consideriamo h tendente a 0 h→0 (limite del rapporto incrementale)

lim X(t+h) - X(t) = _X(t) = (m - m) X(t)h→0 ---h---

Modello di Malthus

Il modello di Malthus è stato il primo modello di dinamica delle popolazioni ed è il più semplice modello di crescita esponenziale.

Il modello si applica a una popolazione di individui isolata (che non interagisce con altre popolazioni) dotata di risorse infinite, di spazio e di cibo.

Equazione:

(t) = α X(t)

La cui soluzione risulta:

X(t) = X(0) e^αt

Come si giunge alla formula principale?

Consideriamo:

X(t) → Numero di individui
m → Tasso di natalità
m → Tasso di mortalità

Considerato un periodo di tempo h, la differenza di popolazione nell'intervallo h sarà:

X(t+h) - X(t) = m h X(t) - m h X(t)

x(t+h) - x(t) = (m - m) h x(t)

^matolità _mortalità

- (m - m_L) = -β

Le volpi, dunque, hanno un andamento convergente:

_😈(t) = -β x_v(t)

L → s X(s) - X(0) = -β X(s)

s X(s) + β X(s) = X(0)

X(s) [s + β] = X(0)

X(s) = ^X(0)⁄_{s + β}

Soluzione nel dominio di Laplace

_😈(t) = X(0) e^-βt

L^-1

Soluzione nel dominio del tempo

Risulta un esponenziale convergente dove ¹⁄_β è la costante di tempo.

Tale β costante è rappresentata da una retta tangente a punto x(t₀).

Come calcolarlo?

Retta tangente ad un punto:

Per trovare la r

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