Teoria Sistemi dinamici

Modello di Malthus

Il modello di Malthus è stato il primo modello dinamico delle popolazioni ed è il più semplice modello di crescita esponenziale. Il modello si applica a una popolazione di individui isolata (che non interagisce con altre popolazioni) dotate di risorse infinite di spazio e di cibo.

Equazione:

\[ \dot{X}(t) = \alpha X(t) \]

La cui soluzione risulta:

\[ X(t) = X(0) e^{\alpha t} \]

Come si giunge alla formula principale?

Consideriamo:

• X(t) → Numero di individui
• n → Tasso di natalità
• m → Tasso di mortalità

Considerato un periodo di tempo h, la differenza di popolazione nell’intervallo h è data:

\[ X(t+h) - X(t) = n h X(t) - m h X(t) \]

\[ X(t+h) - X(t) = (n - m) h X(t) \]

Consideriamo h tendente a 0 → h → 0 (limite del rapporto incrementale)

\[ \lim_{h \to 0} \frac{X(t+h) - X(t)}{h} = \dot{X}(t) = (n - m) X(t) \]

(m-m) rappresenta il tasso netto di riproduzione che consideriamo costante e lo chiamiamo α. Otteniamo:

Ẋ(t) = α X(t)

È possibile ricavare la soluzione "passando" per il dominio di Laplace:

Ẋ(t) = α X(t)

↓ ℒ

s X(s) - X(0) = α X(s)

s X(s) - α X(s) = X(0)

X(s) [s - α] = X(0)

X(s) = X(0) / [s - α] Soluzione nel dominio di Laplace

Antitrasformata:

ℒ^-1 (X(s)) = X(t) = X(0) e^{α t} Soluzione nel dominio del tempo

Essendo un sistema NON LINEARE procediamo con la linearizzazione.

\(\delta \dot{x} = A \delta x\)

\(A = \begin{bmatrix} d - c \bar{x}_{V} & -c \bar{x} \\ D \bar{x}_{L} & p + s \bar{x}_{L} \end{bmatrix}\)

Nel punto \(P_{1}\) avremo:

\(A = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & -\beta \end{bmatrix}\)

\(\delta \dot{x} = \begin{bmatrix} \dot{x}_{L} - \bar{x}_{L} \\ \dot{x}_{V} - \bar{x}_{V} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & -\beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{L} - \bar{x}_{L} \\ x_{V} - \bar{x}_{V} \end{bmatrix} \) (obliquo il determinante = 0)

Notiamo che nel punto \(P_{1}\) il modello si comporta come due sistemi disaccoppiati:

• \(\dot{x}_{L} = \alpha x_{L}\)
• \(\dot{x}_{V} = -\beta x_{V}\)

Nel punto \(P_{2}\):

\(A = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{c \beta}{\alpha} \\ \frac{D \alpha}{c} & 0 \end{bmatrix}\)

Per studiarne la stabilità:

\(\det(SI - A) = S^{2} + \alpha \beta \) coppie di poli complessi coniugati sull'asse immaginario:

\( S = \pm j \sqrt{\alpha \beta} \)

Immagine non disponibile per la trascrizione

X(s) = X(0) + ^C⁄_{s + α} - ^C⁄_{s + α}

Lo estirperemo per rappresentare la soluzione nel dominio del tempo:

L^-1 { X(s) } = X(t) = X(0) e^-αt - C e^-αt + C

X(t)_t→∞ = C

• Andamento complessivo del sistema

O = punto di equilibrio instabile. Il sistema tende a "funzionare" nel punto di equilibrio stabile (C).

PER LINEARIZZARE QUESTO SISTEMA POSSIAMO USARE UN "TRUCCO" VALIDO SOLO PER IL MODELLO LOGISTICO!!!

SOSTITUZIONE DI VARIABILI: z(t) = ¹⁄_X(t) ż = – ¹⁄_X² ż

ż = ¹⁄_X² { αX(1 – ^X⁄_C) } =

= ^α⁄_X + ^α⁄_C

ż = –α z + ^α⁄_C

L → SZ(s) – Z(0) = -α Z(s) + ^α⁄_C ¹⁄_S

Z(s) = ^Z(0)⁄_{s + α} + ¹⁄_C ¹⁄_{s(s + α)}

Z(s) = ^Z(0)⁄_{s + α} + ¹⁄_C ¹⁄_s - ¹⁄_C ¹⁄_{(s + α)}

Rappresentazione I-S-U a ingresso stato uscita

1. X(t) = A x(t) + B u(t)
2. Y(t) = C x(t) + D u(t)

Matrice A = matrice della dinamica _{n x n} (n = variabili di stato)

Matrice B = matrice degli ingressi _{n x m} (m = numero di ingressi)

Matrice C = matrice delle uscite _{p x n} (p = numero di uscite)

Matrice D = matrice di trasmissione _{p x m}

Vogliamo come ricavare la funzione di trasferimento:

1. • X(s) - x(0) = A x(s) + B u(s)
   • Y(s) = C x(s) + D u(s)

s x(s) - A x(s) = B u(s) + x(0)

x(s) [s - A] = B u(s) + x(0)

X(s) [SI - A] = B U(s) + X(0)

PENDOLO SEMPLICE

l = lunghezza del pendolo m = massa collegata β = attrito mg = forza peso u = forza applicata alla massa, considerata sempre perpendicolare a l F = ma

La massa del pendolo si muove lungo un arco di circonferenza lθ, dunque la sua accelerazione è data da lθ̈.

mlθ̈ = -mg sen(θ) - βθ̇ + u cos(θ)

θ̈ = [-mg sen(θ) - βθ̇ + u cos(θ)] * (1/ml)

sistema NON lineare x₁ = θ x₂ = θ̇

{ ẋ₁ = x₂ ẋ₂ = [-mg sen(x₁) - βx₂ + u cos(x₁)] * (1/ml) y = x₁

P.E. { 0 = ẋ₂ 0 = -mg sen(x₁) - βx₂ + u cos(x₁)

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È possibile linearizzare il pendolo senza l'uso di matrici.

Rappresentazione in u:

m l θ̈ = -β θ̇ - mg sen(θ) + u cos(θ)

Consideriamo: Θ(t) = Θ̅ + δΘ(t)

u = u̅ + δu

̇Θ(t) = δ ̇Θ(t)

̈Θ(t) = δ ̈Θ(t)

m l δ ̈Θ(t) = - β δ ̇Θ(t) - mg cos(Θ̅ + δΘ(t)) + (u̅ + g δ u) cos(Θ̅ + δΘ)

Taylor

sen(Θ̅ + δΘ) = sen(Θ̅) + cos(Θ̅) δΘ

Taylor

f(u, δΘ) - f(u̅, Θ̅) + ∂f(u̅, Θ̅)/∂Θ δΘ + ∂f(u̅, Θ̅)/∂u δu

u̅ cos(Θ̅) - u̅ cos(Θ̅) - u̅ sen(Θ̅) δΘ + cos(Θ̅) δu

Dunque:

m l δ ̈Θ = - β δ ̇Θ - mg sen(Θ̅) - mg cos(Θ̅) δΘ +

+ u̅ cos(Θ̅) - u̅ sen(Θ̅) δΘ + cos(Θ̅) δu

mg sen(Θ̅) = u̅ cos(Θ̅)

Dunque - mg sin(α) + u̅ cos(Θ̅) = 0

MOTORINO IN CORRENTE CONTINUA

Le equazioni del motore prevedono:

• la coppia T del rotore in funzione della corrente dell'armatura (cioè corrente del circuito).
• una forza controelettromotrice in funzione della velocità dell'albero motore ὀ̇

Coppia T = Kti_e

Forza controelettromotrice e = Ke ὀ̇

Equazione parte elettrica:

V_e = V_Re + V_Le + e

V_e = Ri_a + L_a ^di_a/_dt + Ke ὀ̇

Equazione parte meccanica. Assumendo un momento d'inerzia J del motore e un attrito viscoso β:

• Dalla legge di Newton: ∑F = ma
• T = m J ὀ̈

ὀ̈ = T - βὀ̇

J ὀ̈ = Kti_a - βὀ̇

Il sistema di equazioni che governa il circuito è:

1. V_e = Ri_a + L_a i̇_a + Ke ὀ̇
2. ὀ̈ = [Kti_a - βὀ̇] ¹/_J

DINAMICA DEI FLUIDI - SERBATOIO

= W_in - W_out m = massa del fluido W_in = portata in entrata W_out = portata in uscita

SERBATOIO

= - / AP

w = 1/R (p₁ - p₂)^1/α R = resistenza idraulica α = 1   se condotto lungo e flusso lento α = 2   se condotto corto e flusso turbolento

p₁ = (ρ_fgh + p₂) dunque: = [ W_in - (ρ_fgh)^1/α / R ] 1/Aρ

ρ = gravità p₂ = pressione interna p₂ = pressione esterna

A = area del serbatoio ρ = densità del fluido h = m = altezza del liquido nel serbatoio AP = quantità di fluido che attraversa la sezione