Teoria dei segnali: Modulo di Probabilità

Variabili Aleatorie

In norma un esperimento è definito dall'insieme dei suoi possibili risultati, ovvero gli spazi campione, e dai suoi sottoinsiemi, ovvero gli eventi.

Per una trattazione matematica più semplice, possiamo associare ad ogni possibile risultato sperimentale un numero reale che lo identifichi. Questa relazione prende il nome di variabile aleatoria.

Definizione: Una variabile aleatoria è una funzione che ad ogni risultato sperimentale fa corrispondere un unico valore numerico. Tuttavia tale valore numerico può essere lo stesso in corrispondenza di eventi diversi.

Una variabile aleatoria X si dice di tipo discreto se può assumere un numero finito o una infinita numerabile di valori.

• Es.: Lancio di un dado
• Passaggio di un auto ad un casello autostradale

Una variabile aleatoria X si dice di tipo continuo se può assumere una infinità non numerabile di valori.

• Es.: Durata di vita di un'unità tecnologica.

Variabili Aleatorie

In norma un esperimento è definito dall'insieme dei suoi possibili risultati, ovvero gli spazi campione, e dai suoi sottoinsiemi, ovvero gli eventi.

Per una trattazione matematica più semplice, possiamo associare ad ogni possibile risultato sperimentale un numero reale che lo identifichi. Questa relazione prende il nome di variabile aleatoria.

Definizione: Una variabile aleatoria è una funzione che ad ogni risultato sperimentale fa corrispondere un unico valore numerico. Tuttavia tale valore numerico può essere lo stesso in corrispondenza di eventi diversi.

Una variabile aleatoria X si dice di tipo discreto se può assumere un numero finito o una infinita numerabile di valori.

Es: Lancio di un dadoPassaggio di un auto ad un casello autostradale

Una variabile aleatoria X si dice di tipo continuo se può assumere una infinita non numerabile di valori.

Es: Durata di vita di un'unità tecnologica.

FUnzione della Distribuzione C.D.F.

La funzione della distribuzione della variabile aleatoria x è la funzione:

F(x) = Pr{X ≤ x} ∀ -∞ < x < +∞

Cioè la funzione che per ogni valore di x uguaglia la probabilità che la variabile aleatoria X assuma un valore minore o uguale ad x.

Proprietà delle Distribuzioni

1. F(-∞) = 0   F(+∞) = 1
2. F(x) è una funzione monotona non decrescente con x
3. F(x) è una funzione continua a destra: F(x⁺) = F(x)
4. Pr{x₁ < X ≤ x₂} = F(x₂) - F(x₁)
5. Pr{X = x} = F(x) - F(x^-)

NB: Nel caso di distribuzioni continue, qualunque sia x, il limite destro e sinistro coincidono, per cui:

F(x⁺) = F(x^-) = F(x) ⟹ Pr{X = x} = F(x) - F(x^-) = 0

Funzione di massa di probabilità

Si definisce funzione di massa di probabilità di una variabile aleatoria discreta X la funzione:

ρ(x_i) = P{X = x_i} ∀x_i ∈ {x₁, ..., x_n}ρ(x) = 0 altrove

In base alla definizione si ha che ρ(x) ≥ 0.

La relazione che lega la funzione di probabilità alla corrispondente funzione della distribuzione è data da:

P{X ≤ x_k} = P{X = x₁} ∪ P{X = x₂} ∪ ... ∪ P{X = x_k}                 = P{X = x₁} + P{X = x₂} + ... + P{X = x_k}

Essendo gli eventi elementari tra loro mutuamente esclusivi, da ciò discende che:

F(x_k) = ∑_i=1^k ρ(x_i)

Proprietà della funzione massa di probabilità

• ρ(x_i) = F(x_i) - F(x_i-1)
• ∑_i=1^+∞ ρ(x_i) = 1

Funzione densità di probabilità

P.D.F.

Si definisce funzione densità di probabilità della variabile aleatoria X la funzione:

f(x) = ^dF(x)/_dx

La probabilità è definita dall'area sottesa a f(x) uguale alla derivata di F(x)

Può capitare che la funzione F(x) può non ammettere la derivata in ogni punto, perciò si ovvia definendo la f(x) in tutti i punti in cui la F(x) ammette la derivata e assegnandole un valore arbitrario, purché positivo, nei restanti punti.

Proprietà della funzione densità

1. Siccome F(x) è per definizione monotona non decrescente:
   • f(x) ≥ 0
2. F(x₂) - F(x₁) = ^∫_x₁^x₂f(x) dx
3. F(x) = ^∫_-∞^xf(u) du
4. ^∫_-∞^+∞f(x) dx = 1
5. Siccome dF(x) = Pr{x ≤ X ≤ x + dx}:
   • f(x) dx = Pr{x ≤ X ≤ x + dx}

Valore Atteso di una Varia