Teoria dei segnali: Modulo di Probabilità

Variabili Aleatorie

Di norma un esperimento è definito dall'insieme dei suoi possibili risultati, ovvero gli spazi campione, e dai suoi sottoinsiemi, ovvero gli eventi.

Per una trattazione matematica più semplice, possiamo associare ad ogni possibile risultato sperimentale un numero reale che lo identifichi. Questa relazione prende il nome di variabile aleatoria.

Definizione

Una variabile aleatoria è una funzione che ad ogni risultato sperimentale fa corrispondere un unico valore numerico, tuttavia tale valore numerico può essere lo stesso in corrispondenza di eventi diversi.

Una variabile aleatoria X si dice di tipo discreto se può assumere un numero finito o una infinita numerabile di valori.

Es: Lancio di un dadoPassaggio di un auto ad un casello autostradale

Una variabile aleatoria X si dice di tipo continuo se può assumere una infinita non numerabile di valori.

Es: Durata di vita di un'unità tecnologica.

Funzione della distribuzione C.D.F.

La funzione della distribuzione della variabile aleatoria X è la funzione:

F(x) = Pr{X ≤ x} V -∞ < x < +∞

Cioè, la funzione che per ogni valore di x uguaglia la probabilità che la variabile aleatoria X assuma un valore minore o uguale ad x.

Proprietà delle distribuzioni

1. F(-∞) = 0   F(+∞) = 1
2. F(x) è una funzione monotona non decrescente con x
3. F(x) è una funzione continua a destra; F(x⁺) = F(x)
4. Pr{x₁ < X ≤ x₂} = F(x₂) - F(x₁)
5. P_n(X̄ = x) = F(x) - F(x-1)

NB: Nel caso di distribuzioni continue, qualunque sia x, il limite destro e sinistro coincidono, per cui:

F(x⁺) = F(x^-) = F(x) → P_F(X = x) = F(x) - F(x^-) = 0

2)

Il valore atteso è lineare:

g(x) = cX + a

a e c costanti

E[cX + a] = ∫_−∞^+∞ (cx + a) f(x) dx =

= c ∫_−∞^+∞ x f(x) dx + a ∫_−∞^+∞ f(x) dx =

= c E(x) + a

3)

E(c) = c

E(cX) = c E(x)

4)

Se X è una variabile aleatoria con funzione di densità f(x) simmetrica rispetto ad un punto μ, ovvero:

f(μ-z) = f(μ+z)

con 0 ≤ z < ∞

allora E(x) = μ

5)

Se E(x) è il valore atteso della variabile aleatoria X, allora:

∫_−∞^+∞ [x - E(X)] f(x) dx = 0

Modello Binomiale (Variabile Aleatoria Discreta)

Il modello binomiale consiste in una successione finita di eventi bernoulliani.

Le ripetizioni degli eventi sono tra loro indipendenti e la probabilità p rimane costante in ogni ripetizione.

La funzione massa di probabilità (PMF) è definita come la legge di probabilità del numero di successi in N prove, nota la probabilità p di successo di ogni singola prova e si rappresenta:

Coefficiente binomiale = ^N!/_x!(N-x)!

Esempio di PMF con p=0.5 e N=100

La funzione della distribuzione è definita come la probabilità di osservare al più x successi in N ripetizioni dell'esperimento e si rappresenta:

Valore atteso: E(X)=Np

Varianza: Var(X)=Npq=Np(1-p)

Modello di Poisson (Variabile Aleatoria Continua)

Il modello di Poisson rappresenta lo stesso concetto del modello binomiale, ovvero quello di calcolare la probabilità che l'evento di interesse si presenti un numero prestabilito di volte, però si differenzia dal fatto che in questo modello l'evento si verifica in un intervallo di tempo continuo, e non in una serie di tentativi discreti.

Per fare ciò si suddivide l'intervallo di tempo in n sottointervalli, di ampiezza Δt ognuno, quindi:

Δt = t/n

Inoltre, si ipotizza che la probabilità che un evento {A} si verifichi una volta in un intervallo di ampiezza Δt, è proporzionale a Δt, cioè:

Pr(1{A} in Δt) = λΔt _{Coefficiente di proporzionalità}

Si ipotizza che la probabilità che l'evento {A} si verifichi due o più volte in un intervallo Δt, quando Δt-0 è infinitesima (è quasi impossibile che due eventi si verifichino nello stesso istante), cioè:

Pr(2 o più {A} in Δt) ≃ 0 con Δt→0

Si ipotizza infine che la probabilità che l'evento {A} si verifichi in un certo Δt non è influenzata da ciò che succede negli altri intervalli, cioè gli eventi sono indipendenti.

Integrale Doppio

h(x, y): R² → R

∫∫_{D = R²} h(x, y) dx dy

D = [a_x, b_x] x [a_y, b_y] ⊆ R²

Dominio Rettangolare

L'integrale doppio rappresenta il volume sotteso al piano dato da h(x, y)

∫∫_ax^b_x h(x, y) dx dy = ∫_ax^b_x [∫_ay^b_y h(x, y) dy] dx

= ∫_ay^b_y [∫_ax^b_x h(x, y) dx] dy

Da variabili separabili

Se h(x, y) = h₁(x) h₂(y):

∫∫_ay^b_y h₂(y) h₁(x) dx dy = ∫_ay^b_y h₂(y) [∫_ax^b_x h₁(x) dx] dy

= ∫_ax^b_x h₁(x) dx ⋅ ∫_ay^b_y h₂(y) dy

Se D non è rettangolare:

∫∫₀^b_x h(x, y) dx dy = ∫₀^b_x [∫_α(x)^β(x) h(x, y) dy] dx

Funzione di Probabilità Congiunta P.M.F.

Le variabili aleatorie X e Y possono essere entrambe continue, entrambe discrete o miste. Nel caso siano entrambe discrete è possibile definire una funzione di probabilità congiunta:

p(x_i, y_j) = P{X = x_i ∩ Y = y_j}   ∀ x_i, y_j ∈ {x₁, x_n, y₁, y_m}p(x, y) = 0   altrove

In base alla definizione si ha che p(x_i, y_j) > 0   ∀ x_i, y_j

La relazione che lega la funzione di probabilità congiunta e la funzione di distribuzione congiunta delle variabili aleatorie X e Y è data da:

F_xy(x, y) = ∑_{xi < x} ∑_{yj < y} p(x_i, y_j)

Funzione Densità di Probabilità Congiunta P.D.F.

Nel caso in cui le variabili aleatorie siano entrambe continue è possibile definire una funzione densità di probabilità congiunta come:

f_xy(x, y) = ∂²F_xy(x, y) / ∂x ∂y

Così come per quelle a una sola variabile aleatoria, può capitare che la F_xy non ammette la derivata in alcuni punti, per cui anche f_xy può essere un valore arbitrario purché positivo.

Ovviamente anche f_xy(x, y) > 0   ∀ x, y