Teoria dei Segnali

Formule di Teoria dei Segnali

L.Verdoliva

Formule di trigonometria

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α

cos² α = ^{1 + cos 2α}/₂

sin² α = ^{1 − cos 2α}/₂

sin 2α = 2 sin α cos α

cos 2α = cos² α − sin² α = 2 cos² α − 1 = 1 − 2 sin² α

cos α cos β = ¹/₂[cos(α − β) + cos(α + β)]

sin α sin β = ¹/₂[cos(α − β) − cos(α + β)]

sin α cos β = ¹/₂[sin(α + β) + sin(α − β)]

Formule di Eulero

cos α = ^{ejα + e−jα}/₂

sin α = ^{ejα − e−jα}/_2j

e^jα = cos α + j sin α

Proprietà δ(t) e δ(n)

• ∫_t₁^t₂ x(t) δ(t) dt = { x(0)   0 ∈ (t₁, t₂) 0   altrimenti
• ∫_−∞^+∞ δ(t) dt = 1
• ∫_−∞^+∞ x(t) δ(t − t₀) dt = x(t₀)
• x(t) δ(t − t₀) = x(t₀) δ(t − t₀)
• δ(t) = δ(−t)
• ∫_−∞^+∞ x(α) δ(t − α) dα = x(t) ∗ δ(t) = x(t)
• ∫_−∞^t δ(τ) dτ = u(t) ←→ δ(t) = ^du(t)/_dt

• δ(n) = { 1   n = 0 0   altrimenti
• ∑_k=−∞^+∞ δ(n − k) = 1
• ∑_k=−∞^+∞ x(n) δ(n − n₀) = x(n₀)
• x(n) δ(n − n₀) = x(n₀) δ(n − n₀)
• δ(n) = δ(−n)
• ∑_k=−∞^+∞ x(k) δ(n − k) = x(n) ∗ δ(n) = x(n)
• ∑_k=m^∞ δ(k) = u(n) ←→ δ(n) = u(n) − u(n − 1)

Formule di utilità

∑_n=0^+∞ aⁿ = 1 / (1 - α)   |α| < 1

∑_n=M^N αⁿ = { ( α^M - α^N+1 ) / (1 - α)   α ≠ 1 N - M + 1       α = 1

Media temporale per segnali aperiodici (1) e per segnali periodici (2)

(1)   <x(t)> = lim_T→∞ (1 / T) ∫_-T/2^T/2 x(t) dt     <x(n)> = lim_N→∞ (1 / 2N + 1) ∑_n=-N^N x(n)

(2)   <x(t)> = (1 / T₀) ∫_-T0/2^T₀/2 x(t) dt     <x(n)> = (1 / N₀) ∑_n=0^N₀-1 x(n)

a)   Invarianza temporale   y(t) = x(t - t₀)   ⟹   <y(t)> = <x(t)>

          y(n) = x(n - n₀) ⟹   <y(n)> = <x(n)>

b)   Linearità   z(·) = ax(·) + b y(·)   ⟹   <z(·)> = a <x(·)> + b <y(·)>

Potenza per segnali aperiodici (1) e per segnali periodici (2) ed Energia (3)

(1)   P_x = lim_T→∞ (1 / T) ∫_-T/2^T/2 |x(t)|² dt     P_x = lim_N→∞ (1 / 2N + 1) ∑_n=-N^N |x(n)|²

(2)   P_x = (1 / T₀) ∫_-T0/2^T₀/2 |x(t)|² dt     P_x = (1 / N₀) ∑_n=0^N₀-1 |x(n)|²

(3)   E_x = ∫_-∞^+∞ |x(t)|² dt     E_x = ∑_n=-∞^+∞ |x(n)|²

Potenza ed Energia mutua

P_xy = lim_T→∞ (1 / T) ∫_-T/2^T/2 x(t) y* (t) dt

P_xy = lim_N→∞ (1 / 2N + 1) ∑_n=-N^N x(n) y* (n)

E_xy = ∫_-∞^+∞ x(t) y* (t) dt

E_xy = ∑_n=-∞^+∞ x(n) y* (n)

15) Modulazione

x(t) cos(2πf_ut + θ) ↔ 1/2 X(f - f_u)e^jθ + 1/2 X(f + f_u)e^-jθ

x(t) cos(2πν₀t + θ) ↔ 1/2 X(ν - ν₀)e^jθ + 1/2 X(ν + ν₀)e^-jθ

16) Campionamento d.d.t

∑^+∞_n=-∞ x(t - nT) ↔ ∑^+∞_k=-∞ X(k^s) δ(f - kf^s)

∑^+∞_k=-∞ X(k^s) δ(f - kf^s) ↔ ∑^N-1_k=0 1/K X(f - kf^s)

17) Campionamento d.d.t.

∑^+∞_n=-∞ x(nT)δ(t - nT) ↔ 1/T ∑^+∞_k=-∞ X(f - k/T)

∑^+∞_k=-∞ x(kN)δ(n - kN) ↔ ∑^N-1_k=0 X(f - k/N)

18) Valore nell'origine

X(0) = ∫^+∞_-∞ x(t) dt

x(0) = ∫^+∞_-∞ X(f) df

X(0) = ∑^+∞_n=-∞ x(n)

x(0) = ∫^+1/2_-1/2 X(ν) dν

19) Relazione di Parseval

∫^+∞_-∞ |x(t)|² dt = ∫^+∞_-∞ |X(f)|² df

∑^+∞_n=-∞ |x(n)|² = ∫^+1/2_-1/2 |X(ν)|² dν

Trasformate notevoli (segnali tempo continuo)

1. Impulso rettangolare A rect ( t/T ) ↔ A T sinc(fT)
2. Impulso triangolare A Λ ( t/T ) ↔ A T sinc²(fT)
3. Esponenziale monolatero A e^-t/Tu(t) ↔ A T / (1 + j2πf T)
4. (n-1) / (n-1)! t^n-1 e^-α/Tu(t) ↔ 1 / (α + j2πf)ⁿ
5. Esponenziale bilatero A e^-|t|/T ↔ 2T / (1 + (2πf T)²)
6. Funzione sinc A sinc(2Bt) ↔ A / 2B rect ( f / 2B )
7. Impulso ideale δ(t) ↔ 1
8. Segnale costante A ↔ A δ(f)
9. Gradino unitario u(t) ↔ 1 / j2πf + 1/2 δ(f)
10. Funzione signum sign(t) ↔ 1 / jπ f
11. Fasore A e^j2πf₀t ↔ A δ(f - f₀)

Esercizio 8.

x(t): segni vocali B: 4kHz. y(t)=x(t) cos(2πf_ct) f_c = 200kHz

Ricostruzione

^{^}x(t) ↔ X(f) dm y(t)

con f₀ = 10 kHz

X(f) 1/2 [X(f - f₀)]

Y(f) = 1/2 [X(f - f₀)]

= 1/2 [X(f + f₀)]

SPETTRO AMPIEZZA

x^{^}(t) = Σ x(t) e  X(f) = Σ X_s(t)(f - k/T)

x(t) = Σ x_s(t)(f - k/T)

= Σ_k=-∞^∞ X_s(t)

^3πt/T

= 2T/3 sinc

= e

^3πt/T

SPETTRO AMPIEZZA

e

G.G

SSL ⇔ e^± = 0

Esercizio 10

SSL

P(x_v|x_m) A P(k|x_m)

A P(e|x_n = A)

P(x_v|x_m)

A P(e|x_n)

P(x^v A | A)

x(t - T)

+

Esercizio 10 11

G(f) T/3 sinc