Teoria dei Segnali

Formule di Teoria dei Segnali

L.Verdoliva

Formule di trigonometria

cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α

cos² α = ^{1 + cos 2α}/₂

sin² α = ^{1 - cos 2α}/₂

sin 2α = 2 sin α cos α

cos 2α = cos² α - sin² α = 2 cos² α - 1 = 1 - 2 sin² α

cos α cos β = ¹/₂[cos(α - β) + cos(α + β)]

sin α sin β = ¹/₂[cos(α - β) - cos(α + β)]

sin α cos β = ¹/₂[sin(α + β) + sin(α - β)]

Formule di Eulero

cos α = ^{ejα + e-jα}/₂

sin α = ^{ejα - e-jα}/_2j

e^jα = cos α + j sin α

Proprietà δ(t) e δ(n)

∫_t1^t₂ x(t) δ(t) dt = {

• x(0) 0 ∈ (t₁, t₂)
• 0 altrimenti

∫_-∞^+∞ δ(t) dt = 1

∫_-∞^+∞ x(t)δ(t - t0) dt = x(t₀)

x(t) δ(t - t₀) = x(t₀) δ(t - t₀)

δ(t) = δ(-t)

∫_-∞^+∞ x(α)δ(t - α) dα = x(t) ∗ δ(t) = x(t)

∫_-∞^t δ(τ) dτ = u(t) ↔ δ(t) = ^du(t)/_dt

δ(n) = {

• 1 n = 0
• 0 altrimenti

∑_{k = -∞}^+∞ δ(n - k) = 1

∑_{k = -∞}^+∞ x(n)δ(n - n₀) = x(n₀)

x(n)δ(n - n₀) = x(n₀)δ(n - n₀)

δ(n) = δ(-n)

∑_{k = -∞}^+∞∞ x(k)δ(n - k) = x(n) ∗ δ(n) = x(n)

∑_{k = -∞}ⁿ δ(k) = u(n) ↔ δ(n) = u(n) - u(n - 1)

Formule di Teoria dei Segnali

L.Verdoliva

Formule di trigonometria

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α

cos² α = ^{1 + cos 2α}/₂

sin² α = ^{1 − cos 2α}/₂

sin 2α = 2 sin α cos α

cos 2α = cos² α − sin² α = 2 cos² α − 1 = 1 − 2 sin² α

cos α cos β = ¹/₂[cos(α − β) + cos(α + β)]

sin α sin β = ¹/₂[cos(α − β) − cos(α + β)]

sin α cos β = ¹/₂[sin(α + β) + sin(α − β)]

Formule di Eulero

cos α = ^{ejα + e−jα}/₂

sin α = ^{ejα − e−jα}/_2j

e^jα = cos α + j sin α

Proprietà δ(t) e δ(n)

• ∫_t1^t₂x(t) δ(t) dt = { x(t)₀ 0 ∈ (t1, t2) 0 altrimenti

∫_−∞^+∞δ(t) dt = 1

∫_−∞^+∞x(t)δ(t − t0) dt = x(t0)

x(t) δ(t − t0) = x(t0) δ(t − t0)

δ(t) = δ(−t)

• ∫_−∞^+∞x(α)δ(t − α) dα = x(t) ∗ δ(t) = x(t)

∫_−∞^tδ(τ) dτ = u(t) ⇒ δ(t) = ^du(t)/_dt

• δ(n) = { 1 n = 0 0 altrimenti

∑_k=−∞^+∞δ(n − k) = 1

• ∑_k=−∞^+∞x(n)δ[n − n0) = x(n0)
• x(n) δ(n − n0) = x(n0) δ(n − n0)
• δ(n) = δ(−n)
• ∑_k=−∞^+∞x(k)δ(n − k) = x(n) ∗ δ(n) = x(n)
• ∑_k=m−∞^∞δ(k) = u(n) ⇒ δ(n) = u(n) − u(n − 1)

Formule di utilità

∑_n=0^+∞ aⁿ = 1/(1-α)   |α| < 1

∑_n=M^N αⁿ = {(α^n-N+1 - 1)/(α-α) for α ≠ 1 N - M + 1 for α = 1}

Media temporale per segnali aperiodici (1) e per segnali periodici (2)

1. <x(t)> = lim_T→∞ (1/T) ∫_-T/2^T/2 x(t) dt   <x(n)> = lim_N→∞ (1/2N+1) ∑_n=-N^N x(n)
2. <x(t)> = (1/T₀) ∫_-T0/2^T₀/2 x(t) dt   <x(n)> = (1/N₀) ∑_n=0^N₀-1 x(n)

• a) Invarianza temporale y(t) = x(t-t₀)   ⇒   <y(t)> = <x(t)>
•   y(n) = x(n-n₀)   ⇒   <y(n)> = <x(n)>
• b) Linearità z(·) = ax(·) + by(·)   ⇒   <z(·)> = a <x(·)> + b <y(·)>

Potenza per segnali aperiodici (1) e per segnali periodici (2) ed Energia (3)

1. P_x = lim_T→∞ (1/T) ∫_-T/2^T/2 |x(t)|² dt   P_x = lim_N→∞ (1/2N+1) ∑_n=-N^N |x(n)|²
2. P_x = (1/N₀