Teoria dei segnali - Appunti

T

0

rispetto alle traslazioni in quanto < x(t) >=< x(t + T ) >.

0

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

10 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE AI SEGNALI

• Un altra categoria di segnali è quella dei fasori, x(t) = exp(j(2πf t+ϑ )),

0 0

dove si chiama e è detta del fasore. Si no-

frequenza fase iniziale

f ϑ

ta infatti che un fasore è un vettore che ruota più velocemente quanto

maggiore è il valore della frequenza, e la fase iniziale rappresenta l’angolo

che il fasore forma con l’asse reale quando fasore, infatti, essendo

t = 0(il

caratterizzato da una funzione complessa, è rappresentato su da una co-

ordinata reale e una immaginaria). Anche per il fasore si può introdurre il

concetto di periodo: infatti un fasore è periodico di periodo se vale la

T

0

relazione Sviluppando tale equazione si ha

2πf t = 2πf (t + T ) + 2πk.

0 0 0

; ma, se un segnale ha periodo , esso avrà anche periodo2T, ,

k

T = T 3T

0 f 0

ecc. quindi è sufficiente considerare il più piccolo valore del periodo non

nullo.

• è molto importante lo studio dei fasori a tempo discreto, caratterizzati

da una rotazione a scatti di frequenza , e quanto maggiore è il valore

F

della frequenza maggiore sarà la rotazione. Tuttavia, siccome ciò che ci

interessa è solo il punto iniziale e il punto alla fine della rotazione (perchè

essa è a scatti), allora una rotazione di un determinato angolo in un verso

può essere vista come una rotazione dell’angolo esplementare nel verso

opposto. Conseguenza di ciò è il fatto che il valore massimo della frequenza

risulta essere in quanto per ogni scatto il fasore percorre un

F = 0, 5,

angolo pari a del giro completo). Se prendiamo, ad esempio,

π(metà

avremmo dopo uno scatto una rotazione in verso antiorario di

F = 0, 75,

ma può essere vista come una rotazione in verso orario di . Un’altra

3 π

π,

2 2

conseguenza della rotazione a scatti è la periodicità della frequenza.

Infatti se due fasori sono caratterizzati da due frequenze che si differenziano

per un numero intero, allora essi per ogni scatto avranno la stessa distanza

angolare dalla fase precedente (questo perchè non ci interessa il numero di

giri percorsi, ma solo la posizione iniziale e finale). Un altra differenza dal

dominio continuo è che probabilmente un fasore percorre un certo numero

di giri prima di ritornare alla fase iniziale (es. se F = 0.75 e la fase iniziale

è nulla, dopo uno scatto la fase sarà 270°, dopo due scatti sarà 180°, dopo

3 scatti essa sarà 90°, dopo 4 scatti essa tornerà ad essere 0°; quindi il

fasore torna alla fase iniziale dopo 4 giri). Ciò influisce sul concetto di

del fasore ; il valore di k deve essere tale da far essere il

k

periodo N =

0 F

periodo un numero intero.

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

Capitolo 2

Serie di Fourier

2.1 Equazione di analisi ed equazione di sintesi

Un segnale reale periodico può essere rappresentato come una somma di seg-

nali sinusoidali caratterizzati da una determinata fase,1 determinata ampiezza,1

determinata frequenza. Risulta essere molto utile studiare segnali sinusoidali in

quanto essi sono caratterizzati dal fatto che, quando attraversano un sistema lin-

eare, mantengono invariata la loro frequenza e variano solo la loro fase e la loro

ampiezza. Sappiamo che, per definizione, i segnali periodici sono quei segnali

tali che esiste una quantità tale che

T x(t) = x(t + T ).

0 0

La serie di Fourier permette di rappresentare un segnale periodico come

somma di sinusoidi. Ciò vale sia per i segnali tempo continuo, sia per quelli

tempo discreto. Le frequenze dei vari segnali che compongono il segnale di

partenza sono multipli della frequenza di ripetizione, che nient’altro è se non il

reciproco del periodo del segnale. Allora un segnale può essere espresso

x(t)

come segue

x(t) = A + 2A cos(2πf t + ϑ ) + 2A (2π(2f )t + ϑ ) + ...

0 1 0 1 2 0 2

ossia, esprimendo tutto ciò tramite una sommatoria, si ottiene

+∞

X

x(t) = A + 2 A cos(2π(kf )t + ϑ )

0 0

k k

k=1

in cui il termine costante sta a rappresentare la componente a frequenza

nulla (detta per si ricavano ampiezza e fase

componente continua), k = 1

della del segnale (ossia quella che presenta fre-

componente fondamentale

quenza pari a quella del segnale stesso), per si ricavano ampiezza e fase

k > 1

delle tale equazione rappresenta l’equazione di analisi che perme-

armoniche.

tte di ricavare il segnale a partire dal valore delle successioni numeriche che lo

compongono. Tali successioni sono la successione delle ampiezze e la succes-

A k

sione delle fasi che instaurano una corrispondenza biunivoca con il segnale,

ϑ k 11

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12 CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER

ossia ad un dato segnale corrispondono solo delle date successioni e a date suc-

cessioni corrisponde un unico segnale. Riferendosi alla nota formula di Eulero

exp(jt)+exp(−jt)

(cos ), è possibile esprimere la serie di Fourier anche nella sua

t = 2

forma complessa +∞

X

x(t) = X exp(j2πkf t)

0

k

k=−∞



A exp(−jϑ ) k < 0

−k −k





ponendo opportunamente . Si nota allora

1 X = A k = 0

k 0



A exp(jϑ ) k> 0

 k k

la corrispondenza biunivoca che si viene ad instaurare tra i coefficienti della

serie di Fourier ed il segnale Osservando la definizione dei coefficienti

X x(t).

k

della serie esponenziale di Fourier, si nota che per opposti valori della variabile

k si ottengono valori dei coefficienti X uguali in modulo (A ), ma opposti

k k

in fase; tutto ciò si esprime dicendo che la parte reale di X è pari, mentre

k

quella immaginaria e dispari. Grandezze di questo tipo si dice che presentano

una simmetria Ciò vuol dire che se conosco solo i

coniugata o Hermitiana.

valori dei coefficienti per k>0 allora posso ricavarmi anche i valori dei coefficienti

restanti. tale considerazione è valida solo se il segnale è reale; infatti se il segnale

è complesso esso non presenta una simmetria coniugata.

Una volta scritta e descritta l’equazione di sintesi risulta utile parlare dell’e-

quazione di analisi, ossia dell’equazione che, partendo da segnale, ci permette di

ricavare i coefficienti della serie di Fourier; partiamo infatti dalla serie esponen-

ziale di Fourier moltiplicando entrambi i membri per dove n è

exp(−j2πnf t),

0

un numero intero, e inoltre integriamo entrambi membri in in un intervallo

dt

pari alla ampiezza del periodo. Otterremo

T T

0 0

ˆ ˆ

2 2 +∞

X

exp(−j2πnf t)x(t)dt = X exp(j2πkf t) exp(−j2πnf t)dt

0 0 0

k

k=−∞

T T

0 0

− −

2 2

si assumo come ipotesi che la serie è uniformemente convergente, allora posso

invertire la serie con il segno di integrale (integrare termine a termine la serie) e

ottenengo

T T

0

0

ˆ ˆ

2 2

+∞

X −

exp(−j2πnf t)x(t)dt = X exp(j2π(k n)f t)dt

0 0

k

k=−∞

T T

0 0

− −

2 2

studiamo allora l’integrale al secondo membro al variare di k

• se si ottiene che l’integrale vale proprio

k = n T

0

1 detta della serie di Fourier.

equazione di sintesi

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

2.2. CRITERI DI DIRICHLET 13

• se si ottiene che il valore dell’integrale è in quanto esso è il

6

k = n 0

prodotto scalare due elementi diversi del sistema esponenziale, il quale è

un sistema ortogonale (se vogliamo vedere diversamente quest’integrale,

potremmo trasformare l’esponenziale in un segnale sinusoidale e otterremo

come risultato una quantità moltiplicata per che è nulla)

−

sin(π(k n))

allora, sommando i termini della serie, si ottiene

T

0

ˆ

2 −j2πnf t

x(t)e dt = X T

0 n 0

T

0

− 2 .

da cui è possibile ricavare l’ennesimo elemento della successione 2

X

n

E’ possibile ora studiare l’equazione di analisi: infatti essa comprende un’-

operazione di prodotto scalare, la quale ci dice che l’ennesimo elemento della

successione X è la componente del segnale x(t) nella direzione del fasore con

k

frequenza .

kf 0

Andiamo ora fare alcune considerazioni sulla serie di Fourier: si nota infatti

che, considerando la formula si ricava che

−

cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y

+∞ e ponendo

P −

A [cos 2π(kf )t cos ϑ sin 2π(kf )t sin ϑ ]

x(t) = A + 2 0 0

0 k k k

k=1



a = A

0 0



 si può semplificare la formula precedente nella seguente

a = A cos ϑ

k k k



b = A sin ϑ

 k k k

formula +∞

X −

x(t) = a + 2 (a cos 2πkf t b sin 2πkf t)

0 0 0

k k

k=1

si ricava inoltre che . I

x = A exp(jϑ ) = A cos ϑ + A sin ϑ = a + b

k k k k k k k k k

coefficienti a e si ricavano considerando parte reale e coefficienti dell’immag-

b

k k

inario della formula di sintesi; in tal caso i prodotti scalari non sono più riferiti a

fasori, ma a seni e coseni.

2.2 Criteri di Dirichlet

Un problema che si presenta spesso nello studio della serie di Fourier è che

non sempre tale serie converge uniformemente; ad esempio la serie di Fourier

del segnale “dente di sega” non converge uniformemente, per cui, in teoria,

non sarebbe possibile scrivere tale segnale come serie di Fourier. Tuttavia la

convergenza uniforme è un concetto molto forte, talvolta più del necessario, per

questo si considerano anche altri concetti più deboli per andare a verificare la

convergenza della serie di Fourier: esistono infatti condizioni, dette criteri di

che sono sufficienti ma non necessarie per poter scrivere un segnale

Dirichlet,

2 detta della serie di Fourier

equazione di analisi

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

14 CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER

come serie di Fourier. Esse dicono che un segnale reale periodico può essere

scritto come serie di Fourier se valg