Teoria dei segnali - Appunti

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

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Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

Indice

1 Introduzione ai segnali 7

2 Serie di Fourier 11

2.1 Equazione di analisi ed equazione di sintesi . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Criteri di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Spettro di un segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Segnale pari e dispari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Segnali noti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6 Proprietà della serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Trasformata di Fourier 21

3.1 Equazione di analisi e sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Condizioni di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Proprietà di simmetria della TF . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4 Convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5 Generalizzazione della TF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.6 Formule di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Analisi dei sistemi nel dominio del tempo 35

4.1 Proprietà dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Caratterizzazione sistema lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 Collegamento tra sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4 Risposta impulsiva in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 Densità spettrale di energia e di potenza . . . . . . . . . . . . . 42

4.5.1 Funzione di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.6 Sistemi ZMNL (zero memory non linear) . . . . . . . . . . . . . 47

5 Segnali a tempo discreto 51

5.1 Segnali canonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Trasformata di Fourier di segnali aperiodici a tempo discreto . . 54

5.2.1 Equazione di analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.2 Equazione di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2.3 Trasformate note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2.4 Proprietà della TF per segnali TD . . . . . . . . . . . . 56

3

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

4 INDICE

5.3 Campionamento e quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3.1 Campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3.2 Quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.4 Conversione D/A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5 Analisi di Fourier delle sequenze periodiche . . . . . . . . . . . . 63

6 Sistemi tempo-discreto LTI 67

6.0.1 Definizione sistema LTI e risposta impulsiva . . . . . . . 67

6.0.2 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.0.3 Campionamento tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . 68

6.0.4 Cambiamento della frequenza di campionamento . . . . . 69

6.0.5 Sovracampionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.0.6 Sottocampionamento e decimazione . . . . . . . . . . . 70

7 Elementi di Statistica 73

7.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.2 Lo Spazio delle Probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.2.1 Spazi di probabilità discreti . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.2.2 Spazi di probabilità continui . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.2.2.1 Spazio campione bidimensionale . . . . . . . . 77

7.3 Indipendenza statistica e probabilità condizionale . . . . . . . . . 78

7.3.1 Legge della probabilità composta . . . . . . . . . . . . . 78

7.3.2 Teorema della probabilità totale e teorema di Bayes . . . 79

7.3.3 Definizione di statistica indipendenza e di indipendenza

condizionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.4 Esperimento congiunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.5 Variabile aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.5.1 Funzione di distribuzione cumulativa (CDF) . . . . . . . 81

7.5.2 Variabile aleatoria discreta, continua e mista . . . . . . . 82

7.5.3 Funzione densità di probabilità (PDF) . . . . . . . . . . 83

7.5.4 Variabili aleatorie notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.5.5 Trasformazione di variabile aleatoria . . . . . . . . . . . 85

7.5.5.1 Trasformazione lineare . . . . . . . . . . . . . 86

7.5.6 Caratterizzazione sintetica di una variabile aleatoria . . . 87

7.5.6.1 Media statistica (expectation) . . . . . . . . . 87

7.5.6.2 Varianza e valor quadratico medio . . . . . . . 88

7.5.6.3 Considerazioni su varianza e media statistica nel

caso di trasformazione lineare . . . . . . . . . . 89

7.5.6.4 Considerazioni finali sulla caratterizzazione sin-

tetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.6 Applicazione della statistica all’errore di quantizzazione nella con-

versione A/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.7 Coppia di variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.7.1 Funzione di distribuzione cumulativa congiunta . . . . . 91

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INDICE 5

7.7.2 Funzione densità di probabilità congiunta e densità marginale 92

7.7.3 Statistica indipendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.7.4 Caratterizzazione sintetica di una coppia di variabili aleatorie 93

7.7.4.1 Incorrelazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

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6 INDICE

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Capitolo 1

Introduzione ai segnali

Si definisce un qualunque modello matematico che descrive le variazioni

segnale

di una o più grandezze fisiche in funzione di un’altra (o più) grandezza fisica.

• ad esempio, il segnale è trasferito mediante la grandezza fisica

vocale

pressione; tale segnale varia sia nello spazio sia nel tempo, per cui p =

fissato un punto nello spazio, si ha

p(x, y, z, t); p = p(t)

• un altro esempio è l’immagine (i colori coinvolti sono il bian-

bitonale

co e il nero); in tal caso la grandezza fisica presa in considerazione è la

luminanza Tale segnale sarà funzione di due variabili reali e sarà

l(x, y).

caratterizzato da un dominio continuo. Per trasformare l’informazione

continua portata da tale segnale in informazione discreta è possibile con-

siderare solo determinati valori delle due variabili spaziali e così dividere il

dominio in un insieme di quadretti chiamati in tal modo il segnale

pixel;

diventa funzione di due variabili intere. Nel caso l’immagine bitonale fosse

funzione anche del tempo si parla di video

• un altro esempio è il numero di quotidiani venduti ogni giorno in un anno

dove la variabile n sta ad indicare il giorno e varia tra 1 e 365

N (n)

• un altro esempio di segnale descrive le temperature minime e misurate ogni

giorno in un anno in una precisa località; esso sarà T (n)

Si dice che un segnale è visto come un vettore di informazioni se a tale segnale

è associato un livello di incertezza.

Andiamo adesso ad esaminare le proprietà dei segnali:

• è possibile classificare i segnali in base alla dimensione

un segnale è funzione di una variabile indipen-

◦ monodimensionale

dente

un segnale è funzione di più variabili indipendenti

◦ multidimensionale

7

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8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE AI SEGNALI

• in base al tipo di valore

un segnale si dice quando il valore assunto dal segnale è uno

◦ scalare

scalare

un segnale si dice quando esso è un vettore che ha per

◦ vettoriale

componenti più segnali scalari

• sulla base delle proprietà delle variabili indipendenti

un segnale a è un segnale in cui la variabile in-

◦ tempo continuo

dipendente varia con continuità; essi si dividono in

segnali segnali tempo continui e a valori continui

– analogici:

segnali tempo continui e a valori discreti

–

un segnale a è un segnale in cui la variabile in-

◦ tempo discreto

dipendente assume valori in un sistema discreto; essi si dividono

in segnali tempo discreto e a valori continui

– segnali a valori discreti e a tempo discreto

– digitali o numerici:

• Sulla base della natura del segnale

un segnale può essere scritto medi-

◦ determinato o deterministico

ante una funzione; tale funzione può essere, ad esempio, un coseno

tali segnali si dividono in

x(t) = A cos(2πf + ϑ );

0 0

periodici

– quasi periodici (costituiti da segnali che sono periodici)

– aperiodici

–

un segnale è un segnale la cui

◦ aleatorio (random, stocastico)

definizione contiene un certo grado di incertezza; essi si dividono

in segnali che non permettono alcuna de-

– puramente aleatori,

scrizione

segnali caratterizzati da parametri aleatori

– a parametri aleatori,

che, fissati, danno un segnale deterministico

• Sulla base del contenuto energetico

un segnale si dice di se la quantità

◦ energia ´

+∞ 2

|x(t)| dt

2 −∞

||x(t/n)||

E = =

2 +∞ 2

P |x(n)|

n=−∞

è finita e non nulla.

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Guardando la definizione di energia, risulta ovvio che un segnale per-

sistente NON è di energia, in quanto l’integrale su risulta essere non

R

finito. Analogamente, un segnale transitorio (rigorosamente come

o praticamente come è di energia perchè l’in-

Π(t) u(t) exp(−t))

tegrale del modulo quadrato del segnale è non nullo solo su di un

intervallo compatto.

es. non è di energia

– x(t) = A ˆ

+∞ +∞

2 2

E = A dt = A [t] = +∞

−∞

−∞

un segnale si dice di se la quantità

◦ potenza potenza media

´

+T

1 2

|x(t)| dt

lim →∞

T −T

2T

P = N

1 2

P |x(t)|

lim →∞

N n=−N

2N +1

è finita e non nulla. Diversamente da quanto accade per la definizione

di energia, un segnale persistente è spesso di potenza. Un segnale di

energia, invece, è caratterizzato da un valore dell’integrale finito, che

diviso per una quantità infinita (2T ), dà un valore nullo.

Si definisce di un segnale la quantità

media temporale ´

+T

1

lim x(t)dt

→∞

T −T

2T

< x(t) >= N

1 P x(t)

lim →∞

N n=−N

2N +1

Ossia essa è l’ordinata che sottende (su un’area pari a quella sottesa dal

R)

segnale. Tale definizione può essere ristretta anche ad un intervallo senza

[t , t ]

1 2

applicare il limite e scrivendo la frazione come . Si nota che la potenza di

1

−t

t

2 1

è pari alla media temporale di .

2

|x(t)|

x(t)

Un segnale di energia è caratterizzato da media nulla. Infatti, un segnale

con norma2 finita e non nulla appartiene a quindi apparterrà anche a

L (R),

2

quindi sarà sommabile e integrabile su Ciò vuol dire che, applicando

L (R), R.

1

la definizione di limite, otteniamo un quantità nulla ed essa è proprio la media.

Un’altra proprietà della media è la dovuta al fatto che essa è

linearità,

composta da operatori lineari (limite, integrale).

• Ora consideriamo un altro tipo di segnali, i segnali Essi sono

periodici.

caratterizzati dall’esistenza di una quantità tale che

T x(t) = x(t + T ).

0 0

Dalla definizione stessa si nota che un segnale periodico è di potenza, e la

sua media può essere calcolata riferendosi ad un sottointervallo di ampio

R

proprio ; tale proprietà si esprime dicendo che la media è invariante

T

0

rispetto alle traslazioni in quanto < x(t) >=< x(t + T ) >.

0

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10 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE AI SEGNALI

• Un altra categoria di segnali è quella dei fasori, x(t) = exp(j(2πf t+ϑ )),

0 0

dove si chiama e è detta del fasore. Si no-

frequenza fase iniziale

f ϑ

ta infatti che un fasore è un vettore che ruota più velocemente quanto

maggiore è il valore della frequenza, e la fase iniziale rappresenta l’angolo

che il fasore forma con l’asse reale quando fasore, infatti, essendo

t = 0(il

caratterizzato da una funzione complessa, è rappresentato su da una co-

ordinata reale e una immaginaria). Anche per il fasore si può introdurre il

concetto di periodo: infatti un fasore è periodico di periodo se vale la

T

0

relazione Sviluppando tale equazione si ha

2πf t = 2πf (t + T ) + 2πk.

0 0 0

; ma, se un segnale ha periodo , esso avrà anche periodo2T, ,

k

T = T 3T

0 f 0

ecc. quindi è sufficiente considerare il più piccolo valore del periodo non

nullo.

• è molto importante lo studio dei fasori a tempo discreto, caratterizzati

da una rotazione a scatti di frequenza , e quanto maggiore è il valore

F

della frequenza maggiore sarà la rotazione. Tuttavia, siccome ciò che ci

interessa è solo il punto iniziale e il punto alla fine della rotazione (perchè

essa è a scatti), allora una rotazione di un determinato angolo in un verso

può essere vista come una rotazione dell’angolo esplementare nel verso

opposto. Conseguenza di ciò è il fatto che il valore massimo della frequenza

risulta essere in quanto per ogni scatto il fasore percorre un

F = 0, 5,

angolo pari a del giro completo). Se prendiamo, ad esempio,

π(metà

avremmo dopo uno scatto una rotazione in verso antiorario di

F = 0, 75,

ma può essere vista come una rotazione in verso orario di . Un’altra

3 π

π,

2 2

conseguenza della rotazione a scatti è la periodicità della frequenza.

Infatti se due fasori sono caratterizzati da due frequenze che si differenziano

per un numero intero, allora essi per ogni scatto avranno la stessa distanza

angolare dalla fase precedente (questo perchè non ci interessa il numero di

giri percorsi, ma solo la posizione iniziale e finale). Un altra differenza dal

dominio continuo è che probabilmente un fasore percorre un certo numero

di giri prima di ritornare alla fase iniziale (es. se F = 0.75 e la fase iniziale

è nulla, dopo uno scatto la fase sarà 270°, dopo due scatti sarà 180°, dopo

3 scatti essa sarà 90°, dopo 4 scatti essa tornerà ad essere 0°; quindi il

fasore torna alla fase iniziale dopo 4 giri). Ciò influisce sul concetto di

del fasore ; il valore di k deve essere tale da far essere il

k

periodo N =

0 F

periodo un numero intero.

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Capitolo 2

Serie di Fourier

2.1 Equazione di analisi ed equazione di sintesi

Un segnale reale periodico può essere rappresentato come una somma di seg-

nali sinusoidali caratterizzati da una determinata fase,1 determinata ampiezza,1

determinata frequenza. Risulta essere molto utile studiare segnali sinusoidali in

quanto essi sono caratterizzati dal fatto che, quando attraversano un sistema lin-

eare, mantengono invariata la loro frequenza e variano solo la loro fase e la loro

ampiezza. Sappiamo che, per definizione, i segnali periodici sono quei segnali

tali che esiste una quantità tale che

T x(t) = x(t + T ).

0 0

La serie di Fourier permette di rappresentare un segnale periodico come

somma di sinusoidi. Ciò vale sia per i segnali tempo continuo, sia per quelli

tempo discreto. Le frequenze dei vari segnali che compongono il segnale di

partenza sono multipli della frequenza di ripetizione, che nient’altro è se non il

reciproco del periodo del segnale. Allora un segnale può essere espresso

x(t)

come segue

x(t) = A + 2A cos(2πf t + ϑ ) + 2A (2π(2f )t + ϑ ) + ...

0 1 0 1 2 0 2

ossia, esprimendo tutto ciò tramite una sommatoria, si ottiene

+∞

X

x(t) = A + 2 A cos(2π(kf )t + ϑ )

0 0

k k

k=1

in cui il termine costante sta a rappresentare la componente a frequenza

nulla (detta per si ricavano ampiezza e fase

componente continua), k = 1

della del segnale (ossia quella che presenta fre-

componente fondamentale

quenza pari a quella del segnale stesso), per si ricavano ampiezza e fase

k > 1

delle tale equazione rappresenta l’equazione di analisi che perme-

armoniche.

tte di ricavare il segnale a partire dal valore delle successioni numeriche che lo

compongono. Tali successioni sono la successione delle ampiezze e la succes-

A k

sione delle fasi che instaurano una corrispondenza biunivoca con il segnale,

ϑ k 11

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12 CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER

ossia ad un dato segnale corrispondono solo delle date successioni e a date suc-

cessioni corrisponde un unico segnale. Riferendosi alla nota formula di Eulero

exp(jt)+exp(−jt)

(cos ), è possibile esprimere la serie di Fourier anche nella sua

t = 2

forma complessa +∞

X

x(t) = X exp(j2πkf t)

0

k

k=−∞



A exp(−jϑ ) k < 0

−k −k





ponendo opportunamente . Si nota allora

1 X = A k = 0

k 0



A exp(jϑ ) k> 0

 k k

la corrispondenza biunivoca che si viene ad instaurare tra i coefficienti della

serie di Fourier ed il segnale Osservando la definizione dei coefficienti

X x(t).

k

della serie esponenziale di Fourier, si nota che per opposti valori della variabile

k si ottengono valori dei coefficienti X uguali i