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Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

Indice

1 Introduzione ai segnali 7

2 Serie di Fourier 11

2.1 Equazione di analisi ed equazione di sintesi . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Criteri di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Spettro di un segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Segnale pari e dispari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Segnali noti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6 Proprietà della serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Trasformata di Fourier 21

3.1 Equazione di analisi e sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Condizioni di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Proprietà di simmetria della TF . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4 Convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5 Generalizzazione della TF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.6 Formule di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Analisi dei sistemi nel dominio del tempo 35

4.1 Proprietà dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Caratterizzazione sistema lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 Collegamento tra sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4 Risposta impulsiva in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 Densità spettrale di energia e di potenza . . . . . . . . . . . . . 42

4.5.1 Funzione di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.6 Sistemi ZMNL (zero memory non linear) . . . . . . . . . . . . . 47

5 Segnali a tempo discreto 51

5.1 Segnali canonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Trasformata di Fourier di segnali aperiodici a tempo discreto . . 54

5.2.1 Equazione di analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.2 Equazione di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2.3 Trasformate note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2.4 Proprietà della TF per segnali TD . . . . . . . . . . . . 56

3

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

4 INDICE

5.3 Campionamento e quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3.1 Campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3.2 Quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.4 Conversione D/A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5 Analisi di Fourier delle sequenze periodiche . . . . . . . . . . . . 63

6 Sistemi tempo-discreto LTI 67

6.0.1 Definizione sistema LTI e risposta impulsiva . . . . . . . 67

6.0.2 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.0.3 Campionamento tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . 68

6.0.4 Cambiamento della frequenza di campionamento . . . . . 69

6.0.5 Sovracampionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.0.6 Sottocampionamento e decimazione . . . . . . . . . . . 70

7 Elementi di Statistica 73

7.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.2 Lo Spazio delle Probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.2.1 Spazi di probabilità discreti . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.2.2 Spazi di probabilità continui . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.2.2.1 Spazio campione bidimensionale . . . . . . . . 77

7.3 Indipendenza statistica e probabilità condizionale . . . . . . . . . 78

7.3.1 Legge della probabilità composta . . . . . . . . . . . . . 78

7.3.2 Teorema della probabilità totale e teorema di Bayes . . . 79

7.3.3 Definizione di statistica indipendenza e di indipendenza

condizionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.4 Esperimento congiunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.5 Variabile aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.5.1 Funzione di distribuzione cumulativa (CDF) . . . . . . . 81

7.5.2 Variabile aleatoria discreta, continua e mista . . . . . . . 82

7.5.3 Funzione densità di probabilità (PDF) . . . . . . . . . . 83

7.5.4 Variabili aleatorie notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.5.5 Trasformazione di variabile aleatoria . . . . . . . . . . . 85

7.5.5.1 Trasformazione lineare . . . . . . . . . . . . . 86

7.5.6 Caratterizzazione sintetica di una variabile aleatoria . . . 87

7.5.6.1 Media statistica (expectation) . . . . . . . . . 87

7.5.6.2 Varianza e valor quadratico medio . . . . . . . 88

7.5.6.3 Considerazioni su varianza e media statistica nel

caso di trasformazione lineare . . . . . . . . . . 89

7.5.6.4 Considerazioni finali sulla caratterizzazione sin-

tetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.6 Applicazione della statistica all’errore di quantizzazione nella con-

versione A/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.7 Coppia di variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.7.1 Funzione di distribuzione cumulativa congiunta . . . . . 91

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

INDICE 5

7.7.2 Funzione densità di probabilità congiunta e densità marginale 92

7.7.3 Statistica indipendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.7.4 Caratterizzazione sintetica di una coppia di variabili aleatorie 93

7.7.4.1 Incorrelazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

6 INDICE

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

Capitolo 1

Introduzione ai segnali

Si definisce un qualunque modello matematico che descrive le variazioni

segnale

di una o più grandezze fisiche in funzione di un’altra (o più) grandezza fisica.

• ad esempio, il segnale è trasferito mediante la grandezza fisica

vocale

pressione; tale segnale varia sia nello spazio sia nel tempo, per cui p =

fissato un punto nello spazio, si ha

p(x, y, z, t); p = p(t)

• un altro esempio è l’immagine (i colori coinvolti sono il bian-

bitonale

co e il nero); in tal caso la grandezza fisica presa in considerazione è la

luminanza Tale segnale sarà funzione di due variabili reali e sarà

l(x, y).

caratterizzato da un dominio continuo. Per trasformare l’informazione

continua portata da tale segnale in informazione discreta è possibile con-

siderare solo determinati valori delle due variabili spaziali e così dividere il

dominio in un insieme di quadretti chiamati in tal modo il segnale

pixel;

diventa funzione di due variabili intere. Nel caso l’immagine bitonale fosse

funzione anche del tempo si parla di video

• un altro esempio è il numero di quotidiani venduti ogni giorno in un anno

dove la variabile n sta ad indicare il giorno e varia tra 1 e 365

N (n)

• un altro esempio di segnale descrive le temperature minime e misurate ogni

giorno in un anno in una precisa località; esso sarà T (n)

Si dice che un segnale è visto come un vettore di informazioni se a tale segnale

è associato un livello di incertezza.

Andiamo adesso ad esaminare le proprietà dei segnali:

• è possibile classificare i segnali in base alla dimensione

un segnale è funzione di una variabile indipen-

◦ monodimensionale

dente

un segnale è funzione di più variabili indipendenti

◦ multidimensionale

7

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE AI SEGNALI

• in base al tipo di valore

un segnale si dice quando il valore assunto dal segnale è uno

◦ scalare

scalare

un segnale si dice quando esso è un vettore che ha per

◦ vettoriale

componenti più segnali scalari

• sulla base delle proprietà delle variabili indipendenti

un segnale a è un segnale in cui la variabile in-

◦ tempo continuo

dipendente varia con continuità; essi si dividono in

segnali segnali tempo continui e a valori continui

– analogici:

segnali tempo continui e a valori discreti

un segnale a è un segnale in cui la variabile in-

◦ tempo discreto

dipendente assume valori in un sistema discreto; essi si dividono

in segnali tempo discreto e a valori continui

– segnali a valori discreti e a tempo discreto

– digitali o numerici:

• Sulla base della natura del segnale

un segnale può essere scritto medi-

◦ determinato o deterministico

ante una funzione; tale funzione può essere, ad esempio, un coseno

tali segnali si dividono in

x(t) = A cos(2πf + ϑ );

0 0

periodici

– quasi periodici (costituiti da segnali che sono periodici)

– aperiodici

un segnale è un segnale la cui

◦ aleatorio (random, stocastico)

definizione contiene un certo grado di incertezza; essi si dividono

in segnali che non permettono alcuna de-

– puramente aleatori,

scrizione

segnali caratterizzati da parametri aleatori

– a parametri aleatori,

che, fissati, danno un segnale deterministico

• Sulla base del contenuto energetico

un segnale si dice di se la quantità

◦ energia ´

+∞ 2

|x(t)| dt

2 −∞

||x(t/n)||

E = =

2 +∞ 2

P |x(n)|

n=−∞

è finita e non nulla.

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

9

Guardando la definizione di energia, risulta ovvio che un segnale per-

sistente NON è di energia, in quanto l’integrale su risulta essere non

R

finito. Analogamente, un segnale transitorio (rigorosamente come

o praticamente come è di energia perchè l’in-

Π(t) u(t) exp(−t))

tegrale del modulo quadrato del segnale è non nullo solo su di un

intervallo compatto.

es. non è di energia

– x(t) = A ˆ

+∞ +∞

2 2

E = A dt = A [t] = +∞

−∞

−∞

un segnale si dice di se la quantità

◦ potenza potenza media

´

+T

1 2

|x(t)| dt

lim →∞

T −T

2T

P = N

1 2

P |x(t)|

lim →∞

N n=−N

2N +1

è finita e non nulla. Diversamente da quanto accade per la definizione

di energia, un segnale persistente è spesso di potenza. Un segnale di

energia, invece, è caratterizzato da un valore dell’integrale finito, che

diviso per una quantità infinita (2T ), dà un valore nullo.

Si definisce di un segnale la quantità

media temporale ´

+T

1

lim x(t)dt

→∞

T −T

2T

< x(t) >= N

1 P x(t)

lim →∞

N n=−N

2N +1

Ossia essa è l’ordinata che sottende (su un’area pari a quella sottesa dal

R)

segnale. Tale definizione può essere ristretta anche ad un intervallo senza

[t , t ]

1 2

applicare il limite e scrivendo la frazione come . Si nota che la potenza di

1

−t

t

2 1

è pari alla media temporale di .

2

|x(t)|

x(t)

Un segnale di energia è caratterizzato da media nulla. Infatti, un segnale

con norma2 finita e non nulla appartiene a quindi apparterrà anche a

L (R),

2

quindi sarà sommabile e integrabile su Ciò vuol dire che, applicando

L (R), R.

1

la definizione di limite, otteniamo un quantità nulla ed essa è proprio la media.

Un’altra proprietà della media è la dovuta al fatto che essa è

linearità,

composta da operatori lineari (limite, integrale).

• Ora consideriamo un altro tipo di segnali, i segnali Essi sono

periodici.

caratterizzati dall’esistenza di una quantità tale che

T x(t) = x(t + T ).

0 0

Dalla definizione stessa si nota che un segnale periodico è di potenza, e la

sua media può essere calcolata riferendosi ad un sottointervallo di ampio

R

proprio ; tale proprietà si esprime dicendo che la media è invariante

T

0

rispetto alle traslazioni in quanto < x(t) >=< x(t + T ) >.

0

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

10 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE AI SEGNALI

• Un altra categoria di segnali è quella dei fasori, x(t) = exp(j(2πf t+ϑ )),

0 0

dove si chiama e è detta del fasore. Si no-

frequenza fase iniziale

f ϑ

ta infatti che un fasore è un vettore che ruota più velocemente quanto

maggiore è il valore della frequenza, e la fase iniziale rappresenta l’angolo

che il fasore forma con l’asse reale quando fasore, infatti, essendo

t = 0(il

caratterizzato da una funzione complessa, è rappresentato su da una co-

ordinata reale e una immaginaria). Anche per il fasore si può introdurre il

concetto di periodo: infatti un fasore è periodico di periodo se vale la

T

0

relazione Sviluppando tale equazione si ha

2πf t = 2πf (t + T ) + 2πk.

0 0 0

; ma, se un segnale ha periodo , esso avrà anche periodo2T, ,

k

T = T 3T

0 f 0

ecc. quindi è sufficiente considerare il più piccolo valore del periodo non

nullo.

• è molto importante lo studio dei fasori a tempo discreto, caratterizzati

da una rotazione a scatti di frequenza , e quanto maggiore è il valore

F

della frequenza maggiore sarà la rotazione. Tuttavia, siccome ciò che ci

interessa è solo il punto iniziale e il punto alla fine della rotazione (perchè

essa è a scatti), allora una rotazione di un determinato angolo in un verso

può essere vista come una rotazione dell’angolo esplementare nel verso

opposto. Conseguenza di ciò è il fatto che il valore massimo della frequenza

risulta essere in quanto per ogni scatto il fasore percorre un

F = 0, 5,

angolo pari a del giro completo). Se prendiamo, ad esempio,

π(metà

avremmo dopo uno scatto una rotazione in verso antiorario di

F = 0, 75,

ma può essere vista come una rotazione in verso orario di . Un’altra

3 π

π,

2 2

conseguenza della rotazione a scatti è la periodicità della frequenza.

Infatti se due fasori sono caratterizzati da due frequenze che si differenziano

per un numero intero, allora essi per ogni scatto avranno la stessa distanza

angolare dalla fase precedente (questo perchè non ci interessa il numero di

giri percorsi, ma solo la posizione iniziale e finale). Un altra differenza dal

dominio continuo è che probabilmente un fasore percorre un certo numero

di giri prima di ritornare alla fase iniziale (es. se F = 0.75 e la fase iniziale

è nulla, dopo uno scatto la fase sarà 270°, dopo due scatti sarà 180°, dopo

3 scatti essa sarà 90°, dopo 4 scatti essa tornerà ad essere 0°; quindi il

fasore torna alla fase iniziale dopo 4 giri). Ciò influisce sul concetto di

del fasore ; il valore di k deve essere tale da far essere il

k

periodo N =

0 F

periodo un numero intero.

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

Capitolo 2

Serie di Fourier

2.1 Equazione di analisi ed equazione di sintesi

Un segnale reale periodico può essere rappresentato come una somma di seg-

nali sinusoidali caratterizzati da una determinata fase,1 determinata ampiezza,1

determinata frequenza. Risulta essere molto utile studiare segnali sinusoidali in

quanto essi sono caratterizzati dal fatto che, quando attraversano un sistema lin-

eare, mantengono invariata la loro frequenza e variano solo la loro fase e la loro

ampiezza. Sappiamo che, per definizione, i segnali periodici sono quei segnali

tali che esiste una quantità tale che

T x(t) = x(t + T ).

0 0

La serie di Fourier permette di rappresentare un segnale periodico come

somma di sinusoidi. Ciò vale sia per i segnali tempo continuo, sia per quelli

tempo discreto. Le frequenze dei vari segnali che compongono il segnale di

partenza sono multipli della frequenza di ripetizione, che nient’altro è se non il

reciproco del periodo del segnale. Allora un segnale può essere espresso

x(t)

come segue

x(t) = A + 2A cos(2πf t + ϑ ) + 2A (2π(2f )t + ϑ ) + ...

0 1 0 1 2 0 2

ossia, esprimendo tutto ciò tramite una sommatoria, si ottiene

+∞

X

x(t) = A + 2 A cos(2π(kf )t + ϑ )

0 0

k k

k=1

in cui il termine costante sta a rappresentare la componente a frequenza

nulla (detta per si ricavano ampiezza e fase

componente continua), k = 1

della del segnale (ossia quella che presenta fre-

componente fondamentale

quenza pari a quella del segnale stesso), per si ricavano ampiezza e fase

k > 1

delle tale equazione rappresenta l’equazione di analisi che perme-

armoniche.

tte di ricavare il segnale a partire dal valore delle successioni numeriche che lo

compongono. Tali successioni sono la successione delle ampiezze e la succes-

A k

sione delle fasi che instaurano una corrispondenza biunivoca con il segnale,

ϑ k 11

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

12 CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER

ossia ad un dato segnale corrispondono solo delle date successioni e a date suc-

cessioni corrisponde un unico segnale. Riferendosi alla nota formula di Eulero

exp(jt)+exp(−jt)

(cos ), è possibile esprimere la serie di Fourier anche nella sua

t = 2

forma complessa +∞

X

x(t) = X exp(j2πkf t)

0

k

k=−∞

A exp(−jϑ ) k < 0

−k −k

ponendo opportunamente . Si nota allora

1 X = A k = 0

k 0

A exp(jϑ ) k> 0

 k k

la corrispondenza biunivoca che si viene ad instaurare tra i coefficienti della

serie di Fourier ed il segnale Osservando la definizione dei coefficienti

X x(t).

k

della serie esponenziale di Fourier, si nota che per opposti valori della variabile

k si ottengono valori dei coefficienti X uguali in modulo (A ), ma opposti

k k

in fase; tutto ciò si esprime dicendo che la parte reale di X è pari, mentre

k

quella immaginaria e dispari. Grandezze di questo tipo si dice che presentano

una simmetria Ciò vuol dire che se conosco solo i

coniugata o Hermitiana.

valori dei coefficienti per k>0 allora posso ricavarmi anche i valori dei coefficienti

restanti. tale considerazione è valida solo se il segnale è reale; infatti se il segnale

è complesso esso non presenta una simmetria coniugata.

Una volta scritta e descritta l’equazione di sintesi risulta utile parlare dell’e-

quazione di analisi, ossia dell’equazione che, partendo da segnale, ci permette di

ricavare i coefficienti della serie di Fourier; partiamo infatti dalla serie esponen-

ziale di Fourier moltiplicando entrambi i membri per dove n è

exp(−j2πnf t),

0

un numero intero, e inoltre integriamo entrambi membri in in un intervallo

dt

pari alla ampiezza del periodo. Otterremo

T T

0 0

ˆ ˆ

2 2 +∞

X

exp(−j2πnf t)x(t)dt = X exp(j2πkf t) exp(−j2πnf t)dt

0 0 0

k

k=−∞

T T

0 0

− −

2 2

si assumo come ipotesi che la serie è uniformemente convergente, allora posso

invertire la serie con il segno di integrale (integrare termine a termine la serie) e

ottenengo

T T

0

0

ˆ ˆ

2 2

+∞

X −

exp(−j2πnf t)x(t)dt = X exp(j2π(k n)f t)dt

0 0

k

k=−∞

T T

0 0

− −

2 2

studiamo allora l’integrale al secondo membro al variare di k

• se si ottiene che l’integrale vale proprio

k = n T

0

1 detta della serie di Fourier.

equazione di sintesi

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

2.2. CRITERI DI DIRICHLET 13

• se si ottiene che il valore dell’integrale è in quanto esso è il

6

k = n 0

prodotto scalare due elementi diversi del sistema esponenziale, il quale è

un sistema ortogonale (se vogliamo vedere diversamente quest’integrale,

potremmo trasformare l’esponenziale in un segnale sinusoidale e otterremo

come risultato una quantità moltiplicata per che è nulla)

sin(π(k n))

allora, sommando i termini della serie, si ottiene

T

0

ˆ

2 −j2πnf t

x(t)e dt = X T

0 n 0

T

0

− 2 .

da cui è possibile ricavare l’ennesimo elemento della successione 2

X

n

E’ possibile ora studiare l’equazione di analisi: infatti essa comprende un’-

operazione di prodotto scalare, la quale ci dice che l’ennesimo elemento della

successione X è la componente del segnale x(t) nella direzione del fasore con

k

frequenza .

kf 0

Andiamo ora fare alcune considerazioni sulla serie di Fourier: si nota infatti

che, considerando la formula si ricava che

cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y

+∞ e ponendo

P −

A [cos 2π(kf )t cos ϑ sin 2π(kf )t sin ϑ ]

x(t) = A + 2 0 0

0 k k k

k=1

a = A

0 0

 si può semplificare la formula precedente nella seguente

a = A cos ϑ

k k k

b = A sin ϑ

 k k k

formula +∞

X −

x(t) = a + 2 (a cos 2πkf t b sin 2πkf t)

0 0 0

k k

k=1

si ricava inoltre che . I

x = A exp(jϑ ) = A cos ϑ + A sin ϑ = a + b

k k k k k k k k k

coefficienti a e si ricavano considerando parte reale e coefficienti dell’immag-

b

k k

inario della formula di sintesi; in tal caso i prodotti scalari non sono più riferiti a

fasori, ma a seni e coseni.

2.2 Criteri di Dirichlet

Un problema che si presenta spesso nello studio della serie di Fourier è che

non sempre tale serie converge uniformemente; ad esempio la serie di Fourier

del segnale “dente di sega” non converge uniformemente, per cui, in teoria,

non sarebbe possibile scrivere tale segnale come serie di Fourier. Tuttavia la

convergenza uniforme è un concetto molto forte, talvolta più del necessario, per

questo si considerano anche altri concetti più deboli per andare a verificare la

convergenza della serie di Fourier: esistono infatti condizioni, dette criteri di

che sono sufficienti ma non necessarie per poter scrivere un segnale

Dirichlet,

2 detta della serie di Fourier

equazione di analisi

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

14 CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER

come serie di Fourier. Esse dicono che un segnale reale periodico può essere

scritto come serie di Fourier se valgono le seguenti condizioni

• se il segnale è assolutamente integrabile sul periodo T

0

• se il segnale e continuo o presenta un numero finito di discontinuità di

prima specie

• se il segnale è derivabile nel periodo tranne che per un numero finito

T

0

di istanti in cui esistono derivata destra e sinistra

In tal caso, la serie di Fourier converge ai valori assunti dalla funzione nei punti

in cui essa è continua, e alla semisomma del limite destro e sinistro nei punti in

cui è discontinua.

2.3 Spettro di un segnale

Allora abbiamo visto che qualunque segnale soddisfi il criterio di Dirichlet può

essere rappresentato con lo sviluppo di Fourier, ed esiste una corrispondenza

biunivoca tra un segnale che i coefficienti della serie. Tali coefficienti saranno

numeri complessi, quindi sono caratterizzati da una certa ampiezza e da una

certa fase; ciò vuol dire che esiste uno spettro di ampiezza e uno spettro di fase.

Tali spettri sono discreti, ossia sono spettri a righe, e siccome abbiamo visto che

i coefficienti sono a simmetria coniugata, allora è sufficiente conoscere i valori

assunti dalle ampiezze e dalle fasi solo per valori positivi di k.

Andiamo ora ad analizzare le proprietà dello spettro di un segnale reale

periodico

• simmetria: i coefficienti della serie di Fourier presentano una simmetria

coniugata o hermitiana ∗

X = X

k −k

• linearità: si nota dalla definizione stessa di coefficienti della serie di Fourier,

la quale è caratterizzata dai soli operatori lineari, che è possibile analizzare

un segnale come somma di segnali, e ricavare i suoi coefficienti mediante

somma di coefficienti dei singoli segnali

2.4 Segnale pari e dispari

Diamo ora alcune definizioni

• un segnale si dice se in tal caso succede che

pari x(t) = x(−t); X = X −k

k

´ T 0

in quanto si nota che e effettuando

1 2

X = x(t) exp(j2πkf t)dt

−k 0

T

T 0

0 2 ´ T

0

un cambiamento di variabile si ottiene 1

−s − 2 x(−s) exp(−j2πkf s)ds =

t = X =

−k 0

T

T 0

0 2

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

2.4. SEGNALE PARI E DISPARI 15

´ T 0 . Ciò vuol dire che un numero è

1 2 x(s) exp(−j2πkf s)ds = X

0 k

T

T 0

0 2

uguale al suo coniugato, ossia esso è reale; quindi se un segnale è pari

i suoi coefficienti saranno reali. La formula di sintesi sarà notevolmente

semplificata, in quanto si avrà −1

+∞

X X

−j2πkf −j2πkf

t t

x(t) = X + X e + X e =

0 0

0 k k

k=1 k=−∞

facendo un cambio di variabile nel terzo addendo → −k

k

+∞ +∞ +∞

X X X

−j2πkf t j2πkf t

= X + X e + X e = X + 2 X cos 2πkf t

0 0

−k

0 0 0

k k

k=1 k=1 k=1

Anche l’equazione di analisi è semplificata in quanto si ha

ˆ ˆ

T /2 T /2

0 0

j

1 −

x(t) cos 2πkf t dt x(t) sin 2πkf t dt

X = 0 0

k T T

0 0

−T −T

/2 /2

0 0

e notando che il secondo integrando è dispari e il primo è pari si ha

ˆ

T /2

0

2 x(t) cos 2πkf t dt

X = 0

k T

0 0

• un segnale si dice se si dimostra in tal caso,

−x(−t);

dispari x(t) =

con procedimenti analoghi a quelli di un segnale pari, che se un segnale è

dispari si ha che

• , quindi i coefficienti sono immaginari puri in quanto

−X

X = X =

−k

k k

(e di conseguenza

∗ −X

X = X = 0)

−k 0

−k +∞

• l’equazione di sintesi si riduce ad una sola serie di seni P

x(t) = 2 X sin 2πkf t

0

k

k=1

´ T

0

2j

• − 2

X = x(t) sin(j2πkf t)dt

0

k 0

T

0

Si nota allora che un segnale le quali sono parte pari e parte

x(t) = x (t)+x (t),

p d ( x(t)+x(−t)

x (t) =

p

dispari di x(t); esse si ricavano con le relazioni . Inoltre

2

x(t)−x(−t)

x (t) =

d 2

anche i coefficienti della serie di Fourier possono essere calcolati come somma

dei coefficienti del segnale pari e del segnale dispari (per la linearità).

• un segnale periodico si dice se ossia un

T −x(t),

alternativo x(t + ) =

0

2

segnale che nei due semiperiodi assume valori uguali ed opposti.Si dimostra

0 k = 2n

che per un segnale alternativo .

´

X = T

k 0

1 −

2 x(t) exp(−j2πkf t)dt k = 2n 1

 0

0

T 0

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

16 CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER

2.5 Segnali noti

• Analizziamo il segnale rect

Il segnale assume il valore tra e se esso è α−α

−1/2

rect(α) 1 1/2; rect( )

0

T

si ha una simile a quella in figura, ma centrata in e di durata .

rect α T

0

E’ utile analizzare questo segnale in quanto una sua replicazione ci consente

di ottenere il segnale treno di impulsi rettangolari

Tale segnale ha equazione

t nT 0

X

x(t) = a rect T

n

Andiamo a calcolarne i coefficienti nello sviluppo in serie secondo Fourier

ˆ ˆ

T /2 T /2

0

1 t a

−j2πkf −j2πkf

t t

X = a rect e dt = e dt =

0 0

k T T T

0 0

−T −T

/2 /2

0

πkT

t=T /2

" # sin

−j2πkf t

a e aT kT

aT

0 T

0 sinc

= = =

πkT

−j2πkf

T T T T

0 0 0 0 0

t=−T /2 T

0

Andiamo ora ad analizzare il segnale “onda quadra”

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

2.5. SEGNALI NOTI 17

Tale segnale è dispari, quindi è possibile ricavare la serie di Fourier dell’onda

quadra utilizzando l’equazione di analisi per i segnali dispari:

ˆ ˆ

T /2 T /2

0 0

2j 2j A k

− − −1]

X = x(t) sin(2πkf t)dt = A sin(2πkf t)dt = j [(−1)

0 0

k T T πk

0 0

0 0

La convergenza della serie di Fourier è assicurata, in tal caso, dai criteri di

Dirichlet ed essa rappresenta un caso limite: infatti se andiamo ad analizzare

la successione dei coefficienti essa risulta essere dispari e puramente im-

X

k

maginaria, quindi può essere rappresentata con un unico grafico al variare delle

k

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

18 CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER

Si nota che la successione di coefficienti è una funzione del tipo X =

k

, quindi varia come questo, come abbiamo detto, è un caso limite

cost 1/k;

k

della validità dei criteri di Dirichlet, ossia per successioni che decrescono meno

rapidamente non risulta più verificata la convergenza della serie.

Per studiare la relazione che intercorre tra un segnale e l’andamento dei

coefficienti al variare di analizziamo ora il segnale “onda triangolare”

k

Tale segnale si ricava dall’onda quadra effettuando

• traslazione dell’onda quadra di verso destra

T /2

0

• integrazione del segnale

• traslazione del segnale ottenuto verso il basso

Si può dimostrare che, data la successione di coefficienti di un segnale, è molto

semplice ricavare la successione per una sua derivata, primitiva o per il segnale

traslato studiando alcune proprietà della serie di Fourier.

2.6 Proprietà della serie di Fourier

Serie derivata: .

dx

Proposition. y(t) = (t) =⇒ Y = j2πkf X

0

k k

dt +∞

Dimostrazione. Sappiamo che per ipotesi,

d P

y(t) = X exp(j2πkf t)

0

k

k=−∞

dt

e se assumiamo di poter scambiar eil segno di derivata con quello di serie (derivare

+∞

termine a termine) allora otteniamo che P

y(t) = X j2πkf exp(j2πkf t)

0 0

k

k=−∞

e quindi il coefficiente della serie di Fourier . c.v.d.

Y = j2kf πX

0

k k

Proprietà duale: se y(t) è una primitiva di x(t), allora X

Proposition. Y = k

k j2πkf

0

Per il coefficiente si ricava calcolando il valor medio del segnale

∀k 6 = 0. k = 0,

y(t).

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

2.6. PROPRIETÀ DELLA SERIE DI FOURIER 19

t

Segnale traslato: se consideriamo il segnale

Proposition 1. 0 =

x(t−t ) =⇒ X

0 k

X exp(−j2πkf t ).

0 0

k Q

X

Allora si ricava che e quindi le decrescono come ;

T 2

X = X 1/k

k k

k j2πkf

0

ciò vuol dire che i coefficienti si annulleranno per valori di minori di quelli

k

dell’onda quadra. Si nota allora che un segnale che presenta maggiori variazioni

(irregolarità) sarà caratterizzato da coefficienti che decrescono più lentamente e

il valore minimo della decrescenza di tali coefficienti è dato proprio dalla funzione

Il segnale che è caratterizzato da tale decrescenza è proprio l’onda quadra,

1/k.

quindi un segnale che presenta discontinuità di prima specie è caratterizzato

proprio da tale decrescenza. Allora

Remark. Se la discontinuità si presenta sulla derivata n-esima del segnale x(t)allora

gli decrescono come .

1

X

k n+1

k

Uguaglianza di Parseval: Il prodotto scalare si conserva nel calcolo

Proposition.

della potenza di un segnale.

Dimostrazione. Dato un segnale sappiamo che la

P

x(t) = X exp(j2πkf t)

´ 0

k

T Si avrà allora

potenza 1 2

0 |x(t)| dt.

P =

x T 0

0

ˆ ˆ

T T

0 0

1 1

X X X ∗

2

|

P = X exp(j2πkf t)| dt = ( X exp(j2πkf t))( X exp(j2πnf t)) dt =

x 0 0 n 0

k k

T T

0 0 n

k k

0 0

ˆ

T 0

1 X X ∗

( X exp(j2πkf t))( X exp(−j2πnf t))dt =

= 0 0

k n

T

0 n

k

0

ˆ ˆ

T T

0 0

1 1

X X X X

∗ ∗

= X X exp(j2πkf (k−n)t)dt = X X exp(j2πkf (k−n)t)dt

0 0

k k

n n

T T

0 0

n n

k k

0 0

A questo punto si nota il prodotto scalare tra due elementi del sistema

esponenziale, il quale è nullo per Allora si introduce

6 −

n = k. δ(k n) =

´ (

1 k = n

T , e si ottiene che

1 0 −

exp(j2πkf (k n)t)dt =

0

T 0 6

0 0 k = n

X 2

|X |

P =

x k

k

Quindi si passa dal prodotto scalare del segnale al prodotto scalare dei

coefficienti.

L’equazione di sintesi della serie di Fourier richiede una sommatoria estesa

ad un numero illimitato di fasori per la composizione del segnale, la qual cosa

risulta essere molto efficiente sotto il punto di vista del risultato ma difficilmente

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

20 CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER

applicabile nella pratica. Per questo è possibile effettuare un’approssimazione

del segnale estendendo la sommatoria ad un valore finito di fasori, ad esempio

quelli che vanno da a In tal modo, mediante l’equazione di sintesi, non

−K K.

si ricava esattamente il segnale di partenza, ma si ricava un’approssimazione

del segnale che risulta essere più grossolana quanto minore è il valore di e

K

quanto più è variabile il segnale. Tale segnale approssimato presenterà delle

fluttuazioni attorno all’andamento del segnale originario che riguardano anche il

valore di massimo del segnale originario stesso; tale fenomeno è detto fenomeno

di Gibbs.

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

Capitolo 3

Trasformata di Fourier

A questo punto il quesito che ci si pone è se sia possibile rappresentare an-

che un segnale aperiodico come somma di fasori. Per fare ciò cerchiamo di

costuire un segnale aperiodico a partire da uno periodico; consideriamo ad es-

empio il segnale finestra centrata in zero di ampiezza e durata

a T x(t) =

e replichiamolo con periodo ottenendo il treno di impulsi rettan-

arect(t/T ) T

0

golari . A questo punto si nota che facendo tendere il

t−nT

x (t) = arect 0

p T

periodo di ripetizione all’infinito si ottiene il segnale di partenza. Siccome

T

0

, se tende all’infinito allora la frequenza tende a 0 e quindi i valori

T = 1/f T

0 0 0

si infittiscono; ciò porta ad avere dgli spettri di ampiezza e di fase molto

kf 0

fitti che, per tendono a diventare continui (e non più discreti come

→ ∞,

T

0

erano prima). Inoltre, siccome , al crescere di le ampiezze de-

X 1/T T

0 0

k

crescono, e per ovviare a tale problema si considerano dei coefficienti “modificati”

´ T /2

0

X(kf ) = X T = x (t) exp(−j2πkf t)dt.

0 0 p 0

k −T /2

0

3.1 Equazione di analisi e sintesi

Al tendere di a zero, analizzando l’equazione di sintesi, si ricava che la som-

f

0

matoria si estende a contributi sinusoidali caratterizzati da frequenze sempre più

vicine tra di loro, al punto da diventare non più una sommatoria tra elementi

discreti ma continui. Ciò vuol dire, quindi, che la sommatoria si trasforma in un

integrale, e l’equazione di sintesi diventa

ˆ

+∞

x(t) = X(f ) exp(j2πf t)df

−∞

In cui dalla successione di coefficienti si è passati alla funzione di coefficienti

in quanto gli spettri diventano continui (f ). L’equazione di analisi,

X(f ) = kf 0

invece, diventa ˆ

+∞

X(f ) = x(t) exp(−j2πf t)dt

−∞ 21

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

22 CAPITOLO 3. TRASFORMATA DI FOURIER

Dove la funzione è chiamata trasformata secondo Fourier del segnale

X(f )

Analogamente a quanto avviene per la serie, anche in questo caso si può

x(t).

scrivere per esplicitare lo spettro di ampiezza e quello

X(f ) = A(f ) exp(jϑ(f ))

di fase.

L’utilità della trasformata di Fourier sta nel fatto che permette di passare

dal dominio del tempo a quello della frequenza, semplificando in alcuni casi

notevolmente i calcoli. Analogamente alla serie si vede che uno spettro esteso

sta a rappresentare un segnale molto variabile nel tempo, mentre uno ridotto

rappresenta un segnale poco variabile.

Frequenza di taglio a 3 db. Per frequenza di taglio a 3 db si in-

Definition.

tende quella frequenza in corrispondenza della quale lo spettro di ampiezza di

un segnale passa-basso (ossia con valori alti concentrati in prossimità dell’origine

delle frequenze) è pari a volte il valore assunto dal segnale nell’origine;

1/ 2

una banda a 3 db è pari al doppio della frequenza di taglio a 3 db. Il motivo per

cui tale frequenza è chiamata così è perchè applicando la definizione di decibel

si ottiene che 1 −3db.

20 log =

10 2

3.2 Condizioni di convergenza

Così come si era parlato di condizioni di convergenza per la serie di Fourier, anche

per la trasformata è necessario affrontare tale argomento, ossia è necessario porre

quelle condizioni che sono sufficienti per garantire la trasformabilità di un segnale.

Un primo criterio dice che

Se allora la trasformata di Fourier di x(t) esiste e

2

Proposition. x(t)L (R) ´ +∞

converge in maniera quadratica, ossia dove

2

|x(t) −

lim x (t)| dt = 0,

B→∞ B

−∞

la differenza presente nel modulo è detta errore. Quindi se l’energia dell’errore

tende 0 per x(t) che tende a è verificata la convergenza. Ciò vuol dire che

x (t)

B

per B che tende all’infinito il segnale x(t) deve differire dalla sua ricostruzione

´ B solo per un

ottenuta utilizzando 2B segnali (x X(f ) exp(2πjf t)dt)

(t) =

B −B

numero finito di punti isolati.

Ovviamente tale condizione è molto difficile da soddisfare in quanto richiede

proprietà che sono possedute da un numero molto esiguo di segnali, per cui es-

istono, anche in tal caso, delle condizioni sufficienti meno restrittive che garan-

tiscono comunque la trasformabilità di un segnale; esse costituiscono il criterio

di Dirichlet per la trasformata di Fourier

Criterio di Dirichlet. Se:

Proposition.

• x(t) è sommabile su R

• in ogni intervallo finito di il segnale x(t) ha un numero finito di discon-

R

tinuità di prima specie

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

3.3. PROPRIETÀ DI SIMMETRIA DELLA TF 23

• in ogni intervallo finito di il segnale x(t) ha un numero finito di massimi

R

e minimi

Allora il segnale x(t) è trasformabile secondo Fourier e la formula di sintesi

restituisce il valore assunto dal segnale nei punti in cui esso è continuo e la

semisomma del limite destro e sinistro nei punti di discontinuità di prima specie.

3.3 Proprietà di simmetria della TF

Andiamo ora ad analizzare le proprietà di simmetria della trasformata di Fourier

(

A(f ) pari

• Hermitiana

x(t)R =⇒ X(f )è

ϑ(f ) dispari

Dimostrazione. Sappiamo per hp che x(t) è un segnale reale, quindi x(t) =

dobbiamo dimostrare che Utilizziamo quindi

∗ ∗

x (t); X(f ) = X (−f ).

l’equazione di analisi dei coefficienti ∗

X (−f )

ˆ ˆ

+∞ +∞

 

∗ ∗

X (−f ) = x(t) exp(−j2π(−f )t)dt = x (t) exp(j2π(−f )t)dt = X(f )

 

−∞ −∞

Si nota allora che {X(f {X(f {X(−f −

X(f ) = Re )} + jIm )} = Re )}

e quindi la parte reale è pari perchè

{X(−f {X(f {X(−f

jIm )} Re )} = Re )}

mentre il coefficiente dell’immaginario è dispari perchè {X(f

Im )} =

−Im {X(−f )}.

• pari pari

x(t) X(f )

• reale pari reale pari

x(t) X(f )

• dispari dispari

x(t) X(f )

• reale dispari immaginaria dispari

x(t) X(f )

• hermitiana reale

x(t) X(f )

Notiamo ora che la simmetria Hermitiana ci consente di considerare le sole fre-

quenze positive nella definizione della trasformata di Fourier per segnali reali;

infatti si ha che ˆ ˆ

0 +∞

x(t) = X(f ) exp(j2πf t)df + X(f ) exp(j2πf t)df =

−∞ 0

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

24 CAPITOLO 3. TRASFORMATA DI FOURIER

ˆ ˆ

+∞ +∞

= X(−f ) exp(−j2πf t)df + X(f ) exp(j2πf t)df =

0 0 ˆ

ˆ +∞

+∞

exp(j2πf t + ϑ(f )) + exp(−j2πf t ϑ(f )) df = 2 A(f ) cos(2πf t+ϑ(f ))df

=2 A(f ) 2 0

0

Si parla in tal caso di trasformata monolatera.

Consideriamo altre proprietà della TF

linearità: ⇒

Proposition. x(t) = αy(t) + βz(t) X(f ) = αY (f ) + βZ(f )

dimostrabile mediante l’equazione di analisi

dualità: sia trasformata di si avrà allora che la TF

Proposition 2. X(f )la x(t);

di è

X(t) x(−f ) ´ +∞ (equazione di

Dimostrazione. Sapendo che X(f ) exp(j2πf t)df

x(t) = −∞

sintesi) ed effettuando due sostituzioni (f e poi ) si ricava

−f

= t f = x(−f ) =

´ +∞ (equazione di sintesi, ossia TF), quindi è la TF

X(t) exp(−2πf t)dt x(−f )

−∞

di X(t). Teorema del ritardo. Sia X(f) la TF di x(t). Si ha allora che la

Theorem.

traformata di è

x(t t ) X(f ) exp(−j2πf t ).

0 0

Dimostrazione. Sia la trasformata di applicando l’equazione di

X (f ) x(t t );

´

t 0

0 +∞

analisi si ottiene e ponendo si

X (f ) = x(t−t ) exp(−j2πf t)dt t−t = λ

t 0 0

´ −∞

0

+∞

ricava X x(λ) exp(−j2πf λ) exp(−j2πf t )dλ = X(f ) exp(−j2πf t ).

(f ) =

t 0 0

−∞

0

Risulta così dimostrato il teorema.

Remark. Si nota allora che, siccome il modulo di X(f) è uguale a quello di X (f ),

t

0

il ritardo non varia l’ampiezza della TF ma solo la sua fase, la quale risulta essere

pari a .

{X(f −

)} 2πf t

∠ 0

Se allora Tale

Proposition. y(t) = x(t) exp(j2πf t) Y (f ) = X(f f ).

c c

proprietà la si ricava, come al solito, dall’equazione di analisi.

Remark. Si nota che se un segnale X(f) è passa-basso (ossia ha valori significativi

solo attorno alla frequenza 0), allora il segnale risulterà essere passa-

X(f f )

c

banda, ossia avrà valori significativi solo intorno a . Inoltre si nota che se

f

c

x(t) è un segnale reale, moltiplicato per l’esponenziale esso diventerà molto

probabilmente un segnale complesso e quindi la sua trasformata non sarà più

Hermitiana. Cambiamento della scala temporale di un segnale. Se

Proposition 3. y(t) =

fa

allora si avrà Se a > 1 si ha una compressione dei

1

x(at) Y (f ) = X( ).

|a|

tempi del segnale (accorciamento), quindi il segnale sarà più variabile. Se a <

1 si avrà una dilatazione dei tempi (allungamento), quindi il segnale sarà meno

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

3.3. PROPRIETÀ DI SIMMETRIA DELLA TF 25

variabile nel tempo. Il cambiamento della scala della trasformata fatto in maniera

inversa (1/a) è giustificato dal fatto che se il segnale è maggiormente variabile

(accorciamento), la sua banda sarà più estesa (e viceversa). Analogamente, si

nota che l’ampiezza della traformata è ridotta di un fattore pari ad ciò vuol dire

a;

che ad un segnale compresso corrisponde una trasformata attenuata e più estesa,

mentre ad uno dilatato corrisponde una trasformata compressa ed amplificata.

Andiamo ora a dimostrare per quale motivo si ha tale variazione inversamente

proporzionale tra ampiezza e banda

Teorema del valore iniziale. Sia entrambi i segnali

Theorem. y(t) = x(at),

trasformabili secondo Fourier e dotati di trasformate Allora si

1 1

Y (f ) = X( ).

|a| a

avrà che il valore assunto dal segnale nell’origine è pari all’area sottesa dalla sua

trasformata e viceversa.

Dimostrazione. Andiamo a calcolare il valore assunto dal segnale x(t) all’istante t

´ ´

+∞ +∞ e siccome

= 0. Esso sarà X(f ) exp(j2πf t)df X(f )df

x(0) = =

−∞ −∞

´

t=0 +∞

allora si ottiene che

x(0) = y(a0) = y(0) x(0) = X(f )df = y(0) =

´ −∞

+∞ , quindi il teorema è dimostrato.

Y (f )df

−∞

Remark. Si nota allora che, siccome x(0) = y(0), sicuramente le trasformate

dei due segnali devono sottendere la stessa area e quindi se nel cambiamento di

scala la banda aumenta sicuramente l’ampiezza diminuisce (o viceversa).

Remark 4. Analizzando il cambiamento della scala temporale di un segnale si ri-

cava il il quale illustra la proporzionalità inversa

principio di indeterminazione,

tra la durata di un segnale e la banda della sua trasformata.

Passiamo ora a parlare della Un segnale

modulazione di un segnale. y(t)

si dice se, dato un segnale passa - basso si ha

modulato in ampiezza x(t),

dove il coseno si dice portante o carrier; in altre parole

y(t) = x(t) cos(2πf t),

0

si ha che il segnale portante (in tal caso un coseno) viene modificato medi-

ante un segnale modulante passa - basso. Esprimendo il coseno come semi-

somma di fasori di esponenti uguali ed opposti (formula di Eulero), si ottiene

h i h i

−f

exp(j2πf t)+exp(−j2πf t) X(f )+X(f +f )

e quindi . Ciò

0 0 0 0

y(t) = x(t) Y (f ) =

2 2

vuol dire che, mentre x(t) è passa basso, y(t) è passa banda (sef dove B

B,

0

è la banda del segnale) e ha una banda doppia rispetto a quella del segnale mod-

ulante. La modulazione può essere fatta sia in analogico (con segnale modulante

in analogico) sia in digitale (con segnale modulante in digitale).

Nel caso della modulazione in ampiezza l’informazione viene portata sul-

l’ampiezza del segnale in esame; se invece tale informazione viene portata sulla

frequenza del segnale si ha una modulazione in frequenza, la quale garantisce

prestazioni superiori ma è caratterizzata da una banda molto grande, quindi

presenta anche una minore efficienza in banda.

Abbiamo analizzato diverse proprietà della TF. Andiamo ora ad analizzarne

altre

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

26 CAPITOLO 3. TRASFORMATA DI FOURIER

Proprietà della derivazione. Sia la TF di e dx

Proposition. X(f ) x(t) y(t) = (t).

dt

Allora si avrà Y (f ) = j2πf tX(f ).

Dimostrazione. Andiamo ad applicare l’equazione di sintesi al segnale y(t). Abbi-

´ ´

+∞ +∞

amo dx d d

y(t) = (t) = X(f ) exp(j2πf t)df = [X(f ) exp(j2πf t)]df =

´ −∞ −∞

dt dt dt

+∞ . Allora si nota per ispezione che

j2πf X(f ) exp(j2πf t)df Y (f ) = j2πf X(f ).

−∞

Remark. Si nota che, per la derivata, tutte le componenti spettrali avranno una

fae incrementata di (perché ). Inoltre le componenti spettrali a

π

π/2 =

∠j2πf 2

frequenza più alta sono esaltate in quanto si ha questa è una conclusione

f X(f );

a cui si poteva giungere facilmente considerando che la derivazione porta il

segnale a presentare variazioni più brusche.

Proprietà dell’integrazione. Sia primitiva di Allora,

Proposition 5. y(t)una x(t).

siccome x(t) è una derivata di y(t), si avrà per la proprietà

X(f ) = j2πf Y (f )

della derivazione e quindi 1

Y (f ) = X(f ).

j2πf

Remark. Si nota che, siccome l’integrazione porta all’ottenimento di un segnale

che varia più lentamente (ossia elimina le discontinuità), si dovrebbe avere quindi

una banda più ristretta. Si nota infatti dalla formula che le componenti spettrali

a frequenza minore (|f sono esaltate, quelle a frequenza maggiore sono

| < 1)

attenuate. Inoltre tale proprietà vale solo per e, se per i segnali

6

f = 0 f = 0,

con altrimenti, andando a guardare la proprietà della derivazione

X(0) = 0,

(X(f in quanto è la derivata di si avrebbe

) = j2πf tY (f ), x(t) y(t)), X(0) =

il che è impossibile. Per il teorema del valore inziale si ha che,

6

j2π0Y (0) = 0,

se allora l’area sottesa da è nulla.

X(0) = 0, x(t)

3.4 Convoluzione

Passiamo ora a parlare di una importante proprietà della TF che riguarda la

Dati due segnali x e y si chiama convoluzione tra x e y quel

convoluzione.

segnale z(t) tale che ˆ

+∞

⊗ −

z(t) = x y(t) = x(s)y(t s)ds

−∞

Essa gode di varie proprietà

• commutativa: scambiando l’ordine dei fattori di convoluzione il prodotto

non cambia. Essa può essere facilmente dimostrata ponendo −

t s = λ.

• distributiva rispetto alla somma, perchè la convoluzione è un operatore

lineare

• associativa

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

3.4. CONVOLUZIONE 27

Andiamo ora ad analizzare cosa fa praticamente la convoluzione. Presi due

segnali e ad esempio con supporto limitato (entrambi di supporto

x(t) y(t), ´ +∞

il loro prodotto di convoluzione farà Ciò vuol

[−T, T ] z(t) = x(s)y(t−s)ds.

−∞

dire che bisogna prendere (al posto di x(t)) (che è lo stesso segnale), al posto

x(s)

di prende (ossia lo si capovolge rispetto all’asse delle ordinate); poi

y(t)si y(−s)

si trasla il segnale di una quantità arbitraria per ottenere il segnale

y(−s) t

infine si integra su R il prodotto tra i due segnali. L’ultimo passaggio

y(t s);

consiste nel calcolare l’area sottesa in comune dai due segnali; ovviamente tale

grandezza varia in base al valore di t che viene scelto.

Si nota che il segnale sarà anch’esso transitorio in quanto, traslando

z(t)

il segnale y di una quantità , si ottiene che i due segnali non hanno

±2T

t =

punti in comune e quindi l’area sottesa è nulla. Ciò vuol dire che il segnale z(t)

avrà un supporto pari a ossia la somma dei due supporti. Questo si

[−2T, 2T ],

traduce in una nuova proprietà della convoluzione, la dispersività nel tempo:

la convoluzione aumenta la durata.

Andiamo ora a studiare una proprietà della TF riguardo la convoluzione

Sia Allora si avrà

Theorem. z(t) = x(t) y(t). Z(f ) = X(f )Y (f ).

´ +∞ Allora applico

Dimostrazione. Sappiamo per hp che x(s)y(t−s)ds.

z(t) = ´

−∞ +∞

la formula di sintesi per il segnale y(t-s) e ottengo Y (f ) exp(j2πf (t−

y(t−s) = −∞

e vado a sostituirla nella formula della convoluzione; ottengo

s))df ˆ ˆ

 

z(t) = x(s) Y (f ) exp(j2πf (t s))df ds =

 

∞ ∞

ˆ ˆ ˆ

 

= x(s) exp(−j2πf s)ds Y (s) exp(j2πf t)df = X(f )Y (f ) exp(j2πf t)df

 

∞ ∞ ∞

In cui abbiamo dato per ammissibile il cambiamento nell’ordine di inte-

grazione. Confrontando l’ultima formula con la formula di sintesi per il seg-

nale si ricava (per ispezione) che come volevasi di-

z(t) Z(f ) = X(f )Y (f )

mostrare.

Remark. Si nota dal precedente teorema che, mentre {z(t)} ⊇ {x(t)} {y(t)},

supp supp , supp

nel dominio della frequenza accade che se uno degli spettri è nullo in un punto al-

lora lo spettro di è anch’esso nullo, quindi {Z(f ⊆ {X(f {Y

Z(f ) supp )} supp )} , supp (f )}.

Inoltre si vede che, siccome è possibile scindere modulo e fase nelle trasformate,

si ha che il modulo di Z(f) è dato dal prodotto dei moduli, e la sua fase è data

dalla somma delle fasi, ossia Z(f ) = A (f )A (f ) exp(j[ϑ (f ) + ϑ (f )].

x y x y

Sia Allora ⊗

Theorem. z(t) = x(t)y(t). Z(f ) = X Y (f ).

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

28 CAPITOLO 3. TRASFORMATA DI FOURIER

Dimostrazione. Per la formula di analisi si ha

ˆ ˆ

Z(f ) = z(t) exp(−j2πf t)dt = x(t)y(t) exp(−j2πf t)dt =

∞ ∞

ˆ ˆ

 

= X(ν) exp(j2πνt)dν y(t) exp(−j2πf t)dt =

 

∞ ∞ ˆ

ˆ

ˆ 

 −

− X(ν)Y (f ν)dν

y(t) exp(−j2π(f ν)t)dt dν =

X(ν)

= 

 ∞

In cui si vede che l’ultimo membro è la convoluzione tra X e Y nella variabile

f.

Remark. Si nota che in tal caso succede l’esatto opposto del caso precedente:

il supporto di z(t) è contenuto nei supporti dei fattori, mentre quello di Z(f)

contiene i due supporti. Inoltre si ha .

j[ϑ (ν)+ϑ (f ;ν)]

Z(f ) = A (ν)A (f ; ν)e x y

x y

3.5 Generalizzazione della TF

La Trasformata di Fourier può essere estesa anche a segnali di potenza, a patto

di considerare funzioni non ordinarie. Per chiarire quest’affermazione andiamo

1 t> 0

ad analizzare la derivata del segnale . Tale segnale, ovvi-

u(t) = 1/2 t = 0

0 t< 0

amente, è caratterizzato da una derivata pari a 0 per e in non è

6

t = 0 t = 0

definita in senso ordinario (e inoltre non è possibile ricavare il segnale a

u(t)

partire dalla derivata) ; quindi, per andare ad analizzare la derivata del gradi-

no, è necessario effettuare un approccio asintotico. In effetti fisicamente non

è possibile realizzare un segnale di questo tipo in quanto ogni segnale fisico è

caratterizzato da un fronte di salita finito (e non infinitesimo). Allora andiamo

 −

0 t <

 1+t/

a considerare il segnale gradino unitario reale .

u (t) = < t <

2

1 t>

Adesso si nota che il segnale è derivabile con derivata nulla al di fuori

u (t)

della salita del segnale, e pari a tra ed Ciò vuol dire che

1/2 . δ (t) =

´

t

e quindi . Si vede però che, quanto mi-

du 1 t

= rect u = δ (τ )dτ

−∞

dt 2 2

nore è il tempo di salita, meglio il segnale approssima quindi si ha

u (t) u(t),

´

t . Ipotizzando di poter passare il

u(t) = lim u (t) = lim δ (τ )dτ

→∞ →∞

−∞

limite sotto il segno di integrale si avrebbe quindi du (t) = lim δ (t) = δ(t),

→∞

dt

dove si nota che la funzione a secondo membro non è una funzione ordinaria.

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

3.5. GENERALIZZAZIONE DELLA TF 29

Infatti, siccome le funzioni sono caratterizzate da un’area sempre unitaria per-

δ

chè all’aumentare di aumenta l’ampiezza e diminuisce la durata, la funzione

δ

dovrebbe essere nulla in e in 0 dovrebbe essere tale da avere area unitaria.

6

t = 0

Allora la funzione viene definito

impulso generalizzato di ampiezza unitaria

´ t

per estensione e , ossia il limite viene inteso sotto il segno di

u(t) = δ(τ )dτ

−∞

integrale.

Per analizzare le proprietà della andiamo a considerare un

delta di Dirac

segnale continuo in 0 e calcoliamo

x(t) ˆ ˆ ˆ

+ 1

x(t)

x(t)δ(t)dt = lim x(t)δ (t)dt = lim dt

2

→0 →0

∞ ∞ −

Per il teorema della media sappiamo che tale che l’integrale al-

∃t [−, ]

l’ultimo membro è pari a Ma applicando il limite si nota che, per

1 2x(t ).

2

che tende a 0, anche tende a 0 e il valore dell’integrale risulta essere pari a

t

ossia a Ciò mostra un’importante caratteristica della delta di Dirac,

x(t ), x(0).

ossia la la quale si esprime dicendo che

proprietà campionatrice dell’impulso,

´ x(t)δ(t)dt = x(0).

∞ Andiamo ora ad illustrare altre proprietà della delta di Dirac, tutte dimostra-

bili mediante un cambio di variabile nell’integrale scritto precedentemente

• la delta di Dirac è pari, ossia δ(t) = δ(−t)

´ se è continua in

• −

x(t)δ(t t )dt = x(t ), x(t) t

0 0 0

Remark. Si nota che l’integrale nell’ultima proprietà non è nient’altro che un

prodotto di convoluzione tra e nella variabile ; per semplificare la notazione,

x δ t

´ 0

potremmo riscrivere l’integrale come Ma si nota che

x(α)δ(α t)dt = x(t).

al primo membro c’è quindi si può dire che l’impulso è l’elemento neutro

x⊗δ(t),

nella convoluzione. ´

Remark 6. Un’altra cosa che si nota osservando è che

x(α)δ(α t)dt = x(t)

quest’equazione può essere vista come un’equazione di sintesi, in quanto anche

in tal caso è possibile ricostruire il segnale ma stavolta la ricostruzione viene

x(t),

effettuata considerando come segnali elementari non i fasori ma gli impulsi, e il

segnale viene visto come somma delle sue componenti sugli impulsi concentrati

nei vari istanti di tempo definiti dalla variabile t.

• Cambiamento di scala: 1

δ(at) = δ(t)

|a|

A questo punto riallacciamoci al discorso della TF. Se consideriamo la proprietà

campionatrice della delta di Dirac e la applicchiamo alla formula per la TF si

ottiene ˆ −j2πf −j2πf

t 0

F[δ(t)] = δ(t)e dt = e = 1

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

30 CAPITOLO 3. TRASFORMATA DI FOURIER

Ciò vuol dire che nello spettro della tutte le componenti frequenziali

∆(f )

hanno uguale importanza e la banda di tale segnale è infinita. Applicando il

teorema di dualità, inoltre, si ricava che

F[1] = δ(−t) = δ(t)

Quindi,l’introduzione di una funzione generalizzata (δ(t)) ci permette di ri-

cavare la TF di un segnale di potenza; in tal caso la TF va considerata in senso

generalizzato, e bisogna considerare una convergenza in senso generalizzato.

Remark. E’ importante osservare che il segnale al tendere di A

1 rect (t/A),

A

all’infinito, comporta una TF in cui il picco centrale della è disteso. Infatti

sinc

con le modifiche che abbiamo inserito la tende a diventare un impulso,

rect

mentre la tende a diventare un segnale costante (X(f

sinc ) = 1).

Andiamo ora a studiare casi di funzioni che normalmente non sarebbero

F-trasformabili.

Il segnale non è un segnale sommabile in quanto esso è

Example. x(t) = 1/t

infinitesimo di ordine 1 all’infinito e, per il criterio di sommabilità, esso dovrebbe

essere infinitesimo di ordine strettamente maggiore di uno per essere sommabile.

Inoltre, essa è infinita di ordine 1 nell’istante Ciò vuol dire che nel

t = 0.

calcolo della trasformata bisogna considerare l’integrale generalizzato nel senso

del valor principale di Cauchy, la qual cosa fa sì che la TF sia da considerarsi in

senso generalizzato. La TF del segnale risulta essere, infine,

1

x(t) = X(f ) =

t

−jπsign(f ). La TF del segnale non esiste in senso ordinario, quindi tale

Example 7. u(t)

segnale può essere studiando considerando le funzioni in senso generalizzato.

Infatti e, calcolando la TF del segnale scritto in tal modo

1 12

u(t) = + sgn(t)

2

(applicando la proprietà di linearità della TF), si ricava che ,

12 1

U (f ) = δ(t)+ j2πf

in cui la TF della la si è calcolata utilizzando la proprietà di dualità sulla

sgn(t)

TF di 1/t.

Remark. Mediante lo studio della TF di è possibile estendere la propri-

u(t)

età dell’integrazione anche ai segnali che non sottendono area nulla. Infatti se

´

´ t

t allora è una primitiva di ma si nota che x(α)dα =

x(α)dα y x;

y(t) =

´ −∞ −∞

Facendo la TF di quest’ultimo termine si ha

− ⊗

x(α)u(t α)dα = x u(t).

∞ X(0) X(f ) . Quindi se X(0)=0 allora vale la propri-

Y (f ) = X(f )U (f ) = δ(t) +

2 j2πf

età dell’integrazione definita precedentemente, altrimenti bisogna considerare la

presenza di un impulso che indica la presenza di una componente continua.

Scrivendo le funzioni e con la formula di Eulero, si ricavano

Example. sin cos

le TF di tali funzioni e sono

• la TF di è 1

1 − −

sin 2πf t δ(f f ) δ(f + f )

0 0 0

2j 2j

• la TF di è 1 1

cos 2πf t δ(f f ) + δ(f + f )

0 0 0

2 2

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

3.6. FORMULE DI POISSON 31

Quindi la TF delle funzioni sinusoidali ha uno spettro a righe.

Proprietà della modulazione. Sia Allora si

Proposition. y(t) = x(t) cos 2πf t.

0

avrà Questa proprietà viene molto utilizzata

1 12

Y (f ) = X(f f ) + X(f + f ).

0 0

2

per mandare segnali passa-basso in ingresso a canali che non passano segnali a

bande intorno allo 0; infatti in tal modo la banda del segnale viene traslata di

un fattore e viene raddoppiata.

f

0

Dimostrazione. Applicando la TF al segnale si ha .

12 1

y(t) Y (f ) = X(f )⊗ δ(f f ) + δ(f + f )

0 0

2

Calcolando il prodotto di convoluzione tra e il primo dei due addendi tra

X(f )

´

parentesi si ha Calcolandolo anche per il

12

−f −α)dα −f

X(α)δ(f = X(f ).

0 0

secondo addendo e sommando i risultati si ha 1 1

−f

Y (f ) = X(f )+ X(f +f ),

0 0

2 2

e così il teorema è dimostrato.

Andiamo ora ad analizzare la TF di funzioni periodiche. Sappiamo infatti

che, per la SF, un segnale periodico può essere scritto come somma delle sue

; applicando la TF

componenti lungo fasori. Allora si avrà k2πkf t

P X e

x(t) = 0

k

k

ad entrambi i membri si ha j2πkf t j2πkf t

P

P

F F

X(f ) = X e = X e

0 0

k k

k k

dove è stato portato fuori il segno di trasformata perchè dipende solo da k

X

k

(quindi è costante rispetto a t). Si ottiene quindi P −

X(f ) = X δ(f kf ),

0

k

k

ossia un segnale scritto come SF viene visto nel dominio della frequenza come

somma delle sue componenti impulsive.

La TF del segnale è

t 1 1

2 −

Example. x(t) = cos 2π X(f ) = δ(t) + δ(f 2f ) +

0

T 2 4

0

in cui sono i coefficienti degli impulsi della

1 δ(f + 2f ) X = 1/2, X = 1/4

±2

0 0

4

serie di La dimostrazione la si fa scrivendo il coseno con le formule di

X(f ).

duplicazione. La TF del segnale (pettine di periodo )

P −

Example 8. x(t) = δ(t nT ) T

0 0

n

è (pettine di periodo ). La dimostrazione è fatta

1 k

P −

X(f ) = δ(f ) 1/T

0

k

T T

0 0

mediante la definizione di coefficienti della SF.

3.6 Formule di Poisson

Dato un segnale transitorio di durata è possibile costruire un segnale

T x(t),

0

periodico il procedimento di costruzione del segnale y(t)

P −

y(t) = x(t nT );

0

n

è detto Allora per le proprietà della delta di Dirac si può scrivere

replicazione.

X X

⊗ − ⊗ −

y(t) = x(t) δ(t nT ) = x(t) δ(t nT )

0 0

n n

Applicando la TF si ha

1 1

X X

− −

Y (f ) = X(f ) δ(f kf ) = X(kf )δ(f kf )

0 0 0

T T

0 0

k k

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

32 CAPITOLO 3. TRASFORMATA DI FOURIER

Dove l’operazione effettuata all’ultimo membro è detta campionamento.

Allora si vede che ad una replicazione in un dominio corrisponde un campiona-

mento nell’altro dominio. Andando ad antitrasformare si ha

Y (f )

k

1 t

j2πk

X X e

y(t) = T

0

T T

0 0

n

Confrontando quest’equazione con la formula di replicazione si ottiene

1 k t

j2πk

X X

− e

x(t nT ) = X T 0

0 T T

0 0

n n

Che è la I formula di Poisson.

Remark. Siccome è un segnale periodico, allora esso può essere scritto come

y(t)

serie di Fourier, e confrontando la SF di con quella a secondo membro della

y(t)

formula di Poisson si ricava per ispezione che .

1 k

Y = X

k T T

0 0

Analogamente, è possibile dimostrare che ad un campionamento nel dominio

del tempo corrisponde una replicazione nel dominio della frequenza; infatti dato

si ottiene, utilizzando la

un segnale campionato P −

x(nT )δ(t nT )

y(t) = 0 0

n

proprietà campionatrice del delta, che

X X

− −

y(t) = x(t)δ(t nT ) = x(t) δ(t nT )

0 0

n n

Applicando la TF ad entrambi i membri si ha

1 1 k

1 X X X

−kf −kf −

δ(f ) = X(f )⊗δ(f ) = X(f )

Y (f ) = X(f )⊗ 0 0

T T T T

0 0 0 0

k k k

Dove l’espressione all’ultimo membro è la replicazione di frequenza f =

0

. Tuttavia, se vado a trasformare secondo Fourier l’equazione

1/T y(t) =

0 si ha che . Allora eguaglian-

−j2πnf T

P

P −

x(nT )δ(t nT ) Y (f ) = x(kT )e 0

0

0 0 k

n

do le due trasformate ricavate si ottiene 1 k

X X

−j2πnf T −

=

x(kT )e X(f )

0

0 T T

0 0

k k

Che è la II formula di Poisson.

Abbiamo introdotto alcuni concetti come replicazione e campionamento. La

replicazione è un metodo utilizzato per costruire un segnale periodico come

sovrapposizione di segnali transitori; quindi si replica un segnale di energia per

ottenere un segnale di potenza. In tal caso, se le repliche si sovrappongono in

un punto, il valore assunto dalle repliche in quel punto viene sommato. Per

fare un esempio consideriamo il segnale esso è un segnale

−t/τ

x(t) = e u(t);

di energia, quindi può essere replicato con periodo per costruire un segnale

T

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

3.6. FORMULE DI POISSON 33

periodico. Tuttavia, siccome esso è un segnale praticamente transitorio, le varie

repliche si sovrapporranno nei vari periodi di replicazione; quindi in tali periodi

viene considerata la somma delle varie repliche.

Siccome la replicazione di un segnale di energia è un segnale di potenza

allora la trasformata di tale segnale esiste in senso generalizzato, quindi essa

sarà caratterizzata dalla presenza di impulsi.

Andiamo ad analizzare la formula di Poisson: essa dice che 1 P −

Y (f ) = X(kf )δ(f

0

k

T

0

dove è la trasformata del segnale replicato. Essa dice, quindi, che

kf ), Y (f )

0

per calcolare la TF di un segnale replicato (con replica di periodo ) è suffi-

T

0

ciente andare a campionare la TF del generatore nei punti con . Si

f = 1/T 0

vede allora che essa è una generalizzazione della SF, in quanto è possibile in

tal modo ricavare le componenti del segnale replicato rispetto a impulsi, ossia i

´ t

−j2πk

T /2

coefficienti della SF di impulsi, e si ricava che 1 0

Y = y(t)e dt =

T 0

k −T

T /2

0

´ 0

t

−j2πk .

k

1 1 X

x(t)e dt =

T

0

T T T

0 0 0

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

34 CAPITOLO 3. TRASFORMATA DI FOURIER

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

Capitolo 4

Analisi dei sistemi nel

dominio del tempo

Un è un dispositivo in grado di elaborare un segnale al fine di produrre

sistema

un altro segnale. I sistemi si dividono in

• monodimensionali: lavorano con segnali scalari. Essi sono detti SISO

(single input single output)

• pluridimensionali: lavorano con segnali vettoriali. Essi sono detto MIMO

(multiple input multiple output)

Un sistema viene quando viene dato un valore all’uscita al variare

definito

dell’ingresso e si indica con T

y(t) = [x(•), t]

dove è l’uscita e è l’ingresso. Tale scrittura indica che l’uscita

y(t) x(•)

dipende da tutta l’evoluzione dell’ingresso. E’ inoltre possibile suddividere i

sistemi in

• sistemi tempo continuo: sistemi che elaborano segnali tempo continuo e

definiti da T

y(t) = [x(•), t]

• sistemi tempo discreto: sistemi che elaborano segnali tempo discreto e

definiti da T

y[n] = [x(•), n]

Il sistema amplificatore ideale è definito da (se |A|

Example. y(t) = Ax(t) < 1

si parla di attenuatore). Se il fattore di guadagno varia nel tempo.

A = A(t)

4.1 Proprietà dei sistemi

Andiamo ora ad analizzare le proprietà dei sistemi

35

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

36 CAPITOLO 4. ANALISI DEI SISTEMI NEL DOMINIO DEL TEMPO

• (tempo invarianza), se le caratteristiche del sistema non

stazionarietà

variano nel tempo, ossia l’uscita all’istante di osservazione dipende da

tutti i valori del segnale in ingresso. Un sistema stazionario è definito da

−∞

y(t) = [x(α), t, < α < +∞]

Ciò vuol dire che, se in ingresso metto il segnale all’uscita troverò

x(t−t ),

0

il segnale −

y(t t ).

0

Esaminando l’amplificatore ideale si nota che, mettendo in ingresso

Example.

il segnale si ottiene in uscita il segnale che corrisponde a

− −

x(t t ), Ax(t t ),

0 0

quindi esso è un sistema stazionario. Se invece, il sistema

y(t t ); A = A(t),

0

non è stazionario.

• se l’uscita all’istante di osservazione dipende dall’ingresso fino

causalità,

all’istante di osservazione T −

y(t) = [x(α)u(t α), t]

quindi i valori futuri non incidono sull’uscita.

• (memoryless), se l’uscita in un istante dipende dall’ingresso

istantaneità

solo in quello stesso istante T

y(t) = [x(t), t]

l’istantaneità implica la causalità, in quanto la dipendenza c’è solo dal

valore presente dell’ingresso, e non dai valori futuri.

• (BIBO, banded input banded output), se |x(t)| ≤ ⇒ |y(t)| ≤

stabilità M

N

• se l’operazione effettuata su un segnale può essere annullata,

invertibilità,

ossia se, dato tale che

−1 −1

T ∃ T T

y(t) = [x(•), t], x(t) = [y(•), t]

• se essa

linearità, y = T [x ], y = T [x ]⇒αy + βy = T [αx + βx ];

1 1 2 2 1 2 1 2

corrisponde alla sovrapposizione degli effetti aggiunta all’omogeneità.

4.2 Caratterizzazione sistema lineare

Andiamo ora a caratterizzare un sistema lineare. Sappiamo che un segnale

´ per le proprietà della delta di Dirac. Allora

x(t) = x(α)δ(t−α)dα = x⊗δ(t)

´

∞ ossia si passa da

´

− −

y(t) = T x(α)δ(t α)dα, t = x(α)T [δ(t α), t] dα,

∞ ∞

un’uscita ottenuta da una somma di ingressi ad un’uscita ottenuta da somma di

uscite, insomma si applica la sovrapposizione degli effetti; inoltre, siccome x(α)

non dipende dall’istante i applica la proprietà di omogeneità (entrambe le pro-

t,

prietà sono conseguenze della linearità). Chiamiamo −

w(t, α) = T [δ(t α), t]

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

4.2. CARATTERIZZAZIONE SISTEMA LINEARE 37

la in tempo - tempo (t - ossia la risposta del sistema

risposta impulsiva α),

lineare ad un ingresso impulsivo centrato in L’integrale scritto con la rispos-

α.

ta impulsiva è detto esso permette di calcolare

integrale di superposizione;

l’uscita di un sistema lineare dati e

x(α) w(t, α).

Poniamo ora come il ritardo (o anticipo) tra istante di applicazione

τ = t−α

e istante di osservazione; ottengo ora dove

w(t, α) = w(t, t τ ) = h(t, τ ),

è detta risposta impulsiva tempo - ritardo. A questo punto l’integrale di

h(t, τ ) ´

superposizione in tempo - ritardo diventa .

y(t) = x(t τ )h(t, τ )dτ

Se imponiamo anche la condizione di stazionarietà otteniamo che, dando

in ingresso al sistema il segnale otteniamo in uscita il segnale

− −

x(t t τ ),

´ 0

che, proprio per la stazionarietà, è pari a

− − −

x(t t τ )h(t, τ )dτ y(t t ).

0 0

Ciò vuol dire che è pari a il che implica la non dipendenza

h(t t , τ ) h(t, τ ),

0

di da quindi posso assimilare la risposta impulsiva in un istante qualunque,

h t;

ad esempio in per descrivere completamente ciò implica che

t = 0, h; h(t, τ ) =

Si definisce allora la risposta impulsiva come la risposta del

h(0, τ ) = h(τ ). h(t)

sistema all’impulso Fatte tali considerazioni andiamo a riscrivere l’integrale

δ(t).

di superposizione; otteniamo allora che

ˆ − ⊗

y(t) = x(t τ )h(τ )dτ = x h(t)

Quindi la risposta di un sistema lineare stazionario è data dalla convoluzione

tra l’ingresso e la risposta impulsiva del sistema. Un sistema di questo tipo è detto

anche dove la sigla sta ad indicare “lineare tempo invariante”. Abbiamo

LTI,

quindi visto che per un sistema a tempo continuo LTI l’integrale di superposizione

diventa un integrale di convoluzione.

Consideriamo ora i sistemi TD (tempo discreto) LTI. In tal caso non si parla

più di integrale di superposizione, ma di somma di superposizione in tempo

Tale somma risulta essere

- ritardo. X −

y[n] = x[n m]h[n, m]

m

dove la scrittura sta ad indicare che l’ingresso viene campionato nell’istante

pari alla differenza tra l’istante di osservazione e il ritardo tra l’ingresso e

n

l’osservazione inoltre, per la notazione scritta, la risposta impulsiva dipende

m;

sia dall’istante di osservazione sia dal ritardo.

La somma di superposizione per sistemi TD LTI coincide con la

Proposition.

somma di convoluzione.

Dimostrazione. Si nota che, considerando l’ingresso all’istante e osservan-

n

do l’uscita allo stesso istante (utilizzando quindi una risposta impulsiva del

tipo in quanto non c’è ritardo tra istante di ingresso e istante di os-

h[n, 0]

servazione), si ottiene che l’uscita è quindi una sistema

y[n, 0] = x[n]h[n, 0],

di questo tipo è un amplificatore ideale. Ritardando l’ingresso di un’unità di

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

38 CAPITOLO 4. ANALISI DEI SISTEMI NEL DOMINIO DEL TEMPO

considera un ritardo e quindi si ottiene che

m = 1 y[n, 1] = x[n 1]h[n, 1],

corrisponde ad un altro amplificatore ideale; continuando a fare questo ragiona-

+∞

mento per e sommando i risultati ottenuti si ottiene P

m +∞ y[n, m]

m=0

ossia si ottiene il contributo alla somma di superposizione solo associato alle

componenti causali (in quanto si osserva l’uscita del sistema dopo l’istante di

applicazione dell’ingresso). Se facciamo lo stesso ragionamento andando ad

anticipare l’ingresso di una quantità alla volta e sommando le uscite ottenute

0 ossia il contributo alla somma

si ottiene, per P

→ −∞, y[n, m],

m m=−∞

di superposizione associato alle componenti anticausali (in quanto si osserva

l’uscita del sistema prima dell’istante di applicazione dell’ingresso). Se andi-

amo a sommare i contributi alla somma di superposizione si ottiene proprio

e siccome abbiamo posto il sis-

P P −

y[n] = y[n, m] = x[n m]h[n, m]

m m

tema LTI (lineare tempo invariante), si ha ossia l’amplicatore

h[n, m] = h[n],

amplifica alla stessa maniera il segnale in ingresso indipendentemente dall’is-

tante di osservazione del sistema; si ottiene quindi una somma di superposizione

che risulta essere pari proprio alla somma di

pari a P −

x[n m]h[m]

y[n] = m

convoluzione.

Remark. Si nota dal precedente teorema che un sistema TD LTI può essere

realizzato mediante tre componenti: linee di ritardo, amplificatori ideali,

sommatori.

Siccome abbiamo visto che l’uscita di un sistema LTI si può ricavare com-

pletamente dalla sua risposta impulsiva, e che la risposta impulsiva è influenzata

dalle proprietà del sistema, anche le proprietà del sistema saranno ricavabili dal-

l’osservazione della risposta impulsiva. Studiando la risposta impulsiva ricaviamo

quindi

• se esiste la risposta impulsiva il sistema è lineare

• se oppure il sistema è tempo - invariante

h(t, τ ) = h(τ ) h[n, m] = h[m]

• se oppure il sistema è causale

h(t, τ ) = h(t, τ )u(τ ) h[n, m] = h[n, m]u[m]

• se oppure il sistema è istan-

h(t, τ ) = h(t, τ )δ(τ ) h[n, m] = h[n, m]δ[m]

taneo

• se è sommabile su il sistema è in senso

stabile BIBO

h(t, τ ) t

4.3 Collegamento tra sistemi

Andiamo ora a considerare il collegamento tra più sistemi

• Collegamento a due sistemi sono collegati a cascata quando

cascata:

l’uscita del primo coincide con l’ingresso del secondo. Se i due sistemi sono

LTI anche il sistema equivalente sarà LTI; se uno dei due non è LTI non lo

sarà neanche quello equivalente; se entrambi non sono LTI probabilmente

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

4.4. RISPOSTA IMPULSIVA IN FREQUENZA 39

il sistema equivalente sarà LTI. Si ricava per una serie di sistemi a cascata

che la risposta impulsiva equivalente è data dalla convoluzione delle singole

risposte impulsive

Dimostrazione. Consideriamo per semplicità una cascata formata da due sistemi

caratterizzati da due risposte impulsive e . In ingresso al primo c’è e

h h x(t)

1 2

in uscita c’è in uscita al secondo c’è Si ha quindi

z(t); y(t).

⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗

y(t) = h z(t) = h (h x(t))(t) = (h h (t)) x(t) = h x(t)

2 2 1 2 1 eq

Dimostrazione. Si nota quindi che .

h = h h

eq 1 2

• Collegamento in : due sistemi sono in parallelo quando hanno lo

parallelo

stesso ingresso e l’uscita è data dalla somma delle uscite. Si ricava che la

risposta impulsiva del parallelo di sistemi è data dalla somma delle singole

risposte impulsive.

Dimostrazione. Consideriamo ancora una volta il parallelo tra due sistemi con

uscite e e risposte e . Si ha

y y h h

1 2 1 2

⊗ ⊗ ⊗

y(t) = y + y = h x(t) + h x(t) = x (h + h )(t)

1 2 1 2 1 2

Dimostrazione. Si nota quindi che .

h = h + h

eq 1 2

4.4 Risposta impulsiva in frequenza

Siccome per i sistemi LTI l’uscita è data da un prodotto di convoluzione, risulta

essere molto comodo trasformare tutte le grandezze (ingresso, uscita, risposta

impulsiva) secondo Fourier. Si ottiene quindi che

Y (f ) = X(f )H(f )

dove è la del sistema LTI.

risposta in frequenza

H(f )

Remark. Si nota che, mentre nel dominio del tempo il legame generalmente

non è istantaneo (in quanto l’integrale di convoluzione indica una dipendenza da

tutti gli istanti di tempo), nel dominio della frequenza c’è un legame “analogo”

all’istantaneità, in quanto si ha che dipende solo da (ossia l’uscita

Y (f ) X(f )

dipende dall’ingresso e dalla risposta in frequenza calcolati solo nella frequenza

considerata). Si vede poi che, mentre nel dominio del tempo il legame è disper-

sivo (ossia la durata dell’uscita è data dalla somma delle durate dell’ingresso e

della risposta nel tempo), nel dominio della frequenza si nota che, se l’ingresso

e/o la risposta in frequenza è nullo ad una determinata frequenza , anche l’us-

f

cita sarà nulla; tale proprietà si traduce nel fatto che il sistema è in

selettivo

frequenza, ossia si comporta come un filtro.

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

40 CAPITOLO 4. ANALISI DEI SISTEMI NEL DOMINIO DEL TEMPO

In realtà la risposta in frequenza ha anche un’altra definizione; si nota infatti

che, ponendo in ingresso al sistema un segnale , si ottiene in

j2πf t

x(t) = e

´ ´

uscita −j2πf

j2πf (t−τ ) j2πf t τ

y(t) = x(t) h(t) = e h(τ )dτ = e h(τ )e dτ =

∞ y(t) . Ciò vuol

Si nota quindi che

j2πf t |

e H(f ) = x(t)H(f ). H(f ) = j2πf t

x(t)=e

x(t)

dire che, mentre ponendo in ingresso al sistema un impulso si ottiene la risposta

impulsiva nel tempo, ponendo in ingresso il fasore si ottiene in uscita la

j2πf t

e

risposta in frequenza moltiplicata per il fasore stesso. Si nota quindi che quando

si ha e Se applichiamo

j2πf t |H(f |y(f −

x(t) = e )| = )| ) =

∠H(f ∠y(t) ∠x(t).

in ingresso un segnale del tipo per la formula di

x(t) = A cos(2πf t + ϕ )

x x

Eulero si ha e quindi in uscita si avrà

−j(2πf

12 j(2πf t+ϕ ) t+ϕ )

x(t) = A e + e

x x

x . Se è reale si ottiene

−j(2πf

1 j(2πf t+ϕ ) t+ϕ )

y(t) = A H(f )e + H(−f )e h(t)

x x

x 2

Hermitiana e quindi e per

|H(f |H(−f −∠H(f

H(f ) )| = )| ) = ),

∠H(−f

cui, se scriviamo , , si ottiene

−j∠H(f

j∠H(f ) )

|H(f |H(f

H(f ) = )|e H(−f ) = )|e

|H(f

y(t) = A )| cos(2πf t + ϕ + )).

∠H(f

x x

E’ possibile esprimere anche mediante l’applicazione della

|H(f

Definition. )|

definizione di Infatti esprimendolo in decibel si ha

decibel. 2

|H(f )|

|H(f )| = 10 log 10 2

|H(f |

) 0

dove è la della risposta impulsiva del sistema; per un

frequenza di massimo

f

0

sistema passa - basso si ha f = 0.

0

Andiamo ora a definire alcune generalità sui filtri. Consideriamo due segnali

• un segnale periodico utile

• un segnale di disturbo periodico con periodo Hz

50

A disposizione si ha la somma di questi due segnali, quindi è chiaro che il secondo

influisce sul risultato; ci serve quindi una proprietà che ci permetta di discriminare

il segnale di disturbo. E’ evidente che nel dominio del tempo tale discriminazione

non si può fare nel dominio del tempo in quanto non c’è nessuna proprietà che

lo permette; nel dominio della frequenza, invece, se il segnale utile ha una banda

lontana dalla Hz, si ha la possibilità di discriminare mediante l’utilizzo di filtri.

50

Se il segnale utile ha una banda entro i Hz è necessario utilizzare un filtro

50

ossia un filtro caratterizzato da una risposta in frequenza che è

passa - basso,

una centrata in di ampiezza e di banda con

rect 0, 1 2b, B < b < 50.

segnaleutile

Andiamo ora ad esaminare i vari tipi di ossia i filtri non realizzabili

filtri ideali,

fisicamente

• : caratterizzato da una risposta in frequenza del tipo

passa - basso

f ; esso quindi taglia tutte le componenti frequenziali

H(f ) = rect 2b

del segnale in ingresso maggiori di Tuttavia l’utilizzo della non

b. rect

rende possibile la fisica realizzabilità del filtro in quanto l’antitrasformata

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

4.4. RISPOSTA IMPULSIVA IN FREQUENZA 41

della è una caratterizzata da una durata infinita, per cui non

rect sinc

esiste traslazione temporale che renda possibile la causalità del sistema.

Per questo si considera un sistema con risposta impulsiva del tipo in

Λ(t),

quanto esso può essere traslato e così reso causale; la TF di tale segnale

è una 2

rect

• : caratterizzato da due centrate in e . Tale

−f

passa - banda rect f

0 0

filtro è descritto dal centro e dalla durata delle pari a .

f rect f f

0 H L

Per realizzarlo si può, ad esempio, usare un sistema passa-basso che nel

tempo è moltiplicato per un coseno di frequenza , in quanto si ottiene

f

0

una traslazione di una in frequenza pari proprio a

rect f

0

• : caratterizzato da una risposta in frequenza che è pari ad

passa - alto

un segnale unitario costante (x(t) a cui viene sottratto una

= 1) rect

centrata in zero e di ampiezza 1

• : caratterizzato da una risposta in frequenza che è pari

reietta - banda

ad un segnale unitario costante (x(t) a cui viene sottratto un passa

= 1)

- banda ideale

Andiamo ora a dare un’importante definizione per un filtro. Un filtro si dice non

se ossia se si limita ad amplificare (attenuare)

distorcente y(t) = kx(t t )

0

e ritardare il segnale in ingresso, ma senza modificarne la forma. In tal caso

è molto semplice ricavarsi la risposta impulsiva del sistema in quanto y(t) =

e quindi Quindi la risposta

− ⊗ − −

kx(t t ) = x(t) kδ(t t ) h(t) = kδ(t t ).

0 0 0

in frequenza è e . Ciò

−j2πf t |H(f |k|, −2πt

H(f ) = ke )| = ) = f

∠H(f

0 0

vuol dire che un sistema non distorcente è caratterizzato da una risposta in

frequenza che è costante in ampiezza e lineare in fase, con pendenza negativa

per un ritardatore, positiva per un anticipatore; in realtà è sufficiente che tali

proprietà siano soddisfatte solo entro la banda del segnale affinchè il sistema

si possa considerare non distorcente. Se ad una sola componente frequenziale

dell’ingresso l’ampiezza della risposta in frequenza non è costante e/o la fase

non è lineare si ha una modificazione della forma del segnale e quindi non si può

più considerare il sistema come non distorcente.

In caso di sistema distorcente, per compensare tali distorsioni si utilizza un

ulteriore sistema detto Supponiamo di avere un segnale

equalizzatore. x(t)

in ingresso al sistema (che chiameremo con risposta la sua us-

canale) h (t);

c

cita sarà data in ingresso all’equalizzatore che ha per risposta e dà in

h (t)

e

uscita Siccome, per la definizione di equalizzatore, bisogna avere un

y (t).

e

sistema equivalente non distorcente, si avrà − →

y (t) = kx(t t ) Y (f ) =

e 0 e

e quindi, a

−j2πt −j2πt

f f

X(f )ke = X(f )H (f )H (f ) ke = H (f )H (f )

0 0

c e c e

meno di avere è possibile andare a calcolare la risposta in frequenza

H (f ) = 0,

c

che deve avere un equalizzatore per il canale che abbiamo considerato. In realtà,

siccome per il canale elimina la componente spettrale alla frequenza

H (f ) = 0

c

dell’ingresso, l’equalizzatore non potrà andare ad eliminare la distorsione. In-

f

Pierluigi Giangrande Teoria dei Segnali

42 CAPITOLO 4. ANALISI DEI SISTEMI NEL DOMINIO DEL TEMPO

|k|

oltre si nota che e quindi l’equalizzatore andrà ad amplificare

|H (f )| =

e |H (f )|

c

le componenti attenuate dal canale e ad attenuare quelle amplificate.

Remark. Nelle applicazioni pratiche, generalmente si preferisce pre-distorcere il

segnale in maniera tale che le distorsioni portate successivamente dal canale

diano in uscita il segnale desiderato. In pratica, siccome le distorsioni sono

prevedibili, invece di lasciar distorcere il segnale per poi equalizzarlo si preferisce

pre - distorcerlo in maniera tale da lasciarlo equalizzare dal canale.

Consideriamo ora il sistema che

2

y(t) = g[x(t)] = a + a x(t) + a x (t) + ...

0 1 2

sicuramente è distrosivo in quanto aggiunge una componente costante al segnale

e in più presenta componenti non lineari. Esso è infatti (zero memory

ZMNL

non linear). Se metto in ingresso a tale sistema un segnale sinusoidale del tipo

ottengo

x(t) = A cos 2πf t

0 0 2

y(t) = a + a (A cos 2πf t) + a (A cos 2πf t) + ...

0 1 0 0 2 0 0

Si nota subito che si ha una nuova componente frequenziale (a frequenza 0)

in quanto la TF del primo addendo è proprio una già si nota che il sistema è

δ;

distorcente a causa della generazione di una nuova componente frequenziale. Il

secondo addendo costituisce la componente non distorcente del sistema. Il terzo

addendo, invece, essendo un coseno elevato al quadrato, può essere riscritto

come un coseno a frequenza doppia, e quindi viene introdotta una componente

a frequenza doppia. Se venisse posta in ingresso una somma di due segnali

sinusoidali (a frequenze e ) si ottiene, facendo il quadrato della somma,

f f

1 2

una componente a frequenza sommata ad una a ed entrambe sommate

2f 2f

1 2

(o sottratte, in base alla somma o sottrazione di sinusoidi nel segnale in ingresso)

ad una componente caratterizzata da un in cui

prodotto di intermodulazione

c’è un prodotto tra due sinusoidi a frequenza diversa. In tali casi non si può

effettuare equalizzazione.

4.5 Densità spettrale di energia e di potenza

Consideriamo un segnale di energia Si definisce la quantità

energia mutua

x(t).

´ ci domandiamo se è possibile esprimerla diversamente.

E = x(t)y (t)dt;

xy ∞ Teorema di Parseval. L’energia mutua di due segnali e è ricav-

Theorem. x y

abile anche per integrazione della densità spettrale di energia mutua E (f ) =

xy

X(f )Y (f ).

Dimostrazione. Partiamo dalla definizione di energia mutua; si ha

ˆ ˆ ˆ

 

∗ −j2πf t

E = x(t)y (t)dt = x(t) Y (f )e df dt =

xy  

∞ ∞ ∞

Teoria dei Segnali Pierluigi Giangrande

4.5. DENSITÀ SPETTRALE DI ENERGIA E DI POTENZA 43

ˆ ˆ ˆ

 

∗ −j2πf ∗

t

= Y (f ) x(t)e dt df = X(f )Y (f )df

 

∞ ∞ ∞

´

dove la formula è la La quantità

∗ formula di Parseval.

E = X(f )Y (f )dt

xy ∞

è la in quanto

∗ densità spettrale di energia mutua,

E (f ) = X(f )Y (f )

xy

dalla sua integrazione sull’asse delle frequenza si ricava l’energia mutua.

´

Remark. Se si prende si ottiene che ∗

y(t) = x(t) E = x(t)x (t)dt =

´ ´

x ∞

e, per la formula di Parseval, si ricava che dove

2

|x(t)| dt E = E (f )df

x x

∞ ∞

è detta Essa

∗ 2

|X(f densità spettrale di energia.

E (f ) = X(f )X (f ) = )|

x

gode di alcune proprietà

• (per definizione stessa)

≥ ∀f

E (f ) 0

x

• se è reale si ottiene hermitiana e quindi pari

2

|X(f

x(t) X(f ) )| = E (f )

x

• integrando la densità spettrale di energia su tutto l’asse delle frequenze si

ottiene l’energia del segnale

Andiamo ora ad analizzare la densità spettrale di energia per ricavare il suo

significato fisico. Considerando un sistema con risposta in frequenza si ha

H(f )

, dove il modulo al quadrato del-

2 2 2

|Y |H(f |H(f

E (f ) = (f )| = )X(f )| = )| E

y x

la risposta in frequenza è detto Se il

funzione di trasferimento dell’energia.

´ ´ ∆f

f +

sistema è passa - banda si ha in quanto

0 2

E = E (f )df = 2 E (f )df

y y x

∞ ∆f

f 0 2

la risposta di un segnale passa - banda è intorno a e negli altri punti. Se si

±f

1 0

0

considera un molto piccolo, così da poter considerare costantemente

∆f E (f )

x E ∆E (f )

pari a si ottiene e quindi y x 0

E (f ), E 2E (f )∆f E (f ) = =

x 0 y x 0 x 0 2∆f 2∆f

dove si prende in quanto la quantità al secondo membro rapp-

E = ∆E (f )

y x 0

resenta il contributo all’energia delle sole componenti spettrali di nel-

E x(t)

x

l’intorno di e, per l’andamento spettrale della risposta in frequenza, tale

f

0

contributo è pari proprio a in quanto la funzione di trasferimento dell’energia

E

y

preleva l’energia del segnale solo in un intorno di .

x f

0

Si nota quindi che la densità descrive in che modo si distribuisce l’energia

lungo l’asse delle frequenza. Per essere più precisi, l’energia di un segnale è

indipendente dalla frequenza e rappresenta tutto il contenuto energetico di un

segnale, ma in alcune frequenze il segnale sarà caratterizzato da una maggiore

energia, e in altre frequenze da una minore energia. La densità spettrale di

energia è dipendente dalla frequenza e il suo valore ad una determinata frequenza

indica il contenuto energetico del segnale a quella particolare frequenza.

Finora abbiamo visto definizioni di banda basate unicamente sulla frequenza

(es. banda a 3db); ora è possibile introdurre definizioni di banda basate sul

contenuto energetico (ossia la banda è vista come un intervallo di frequenze in

cui è concentrata una determinata percentuale di energia).


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria biomedica
SSD:
Docente: Paura Luigi
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher pierluigi.giangrande di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Teoria dei segnali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Paura Luigi.

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