Teoria Degli Errori

1 - Come Rappresentare ed Usare le Incertezze

2.1 - Misura migliore e incertezza.

Il modo corretto per fornire i risultati di qualunque misura è quello di dare la migliore stima della quantità in questione, insieme ad un intervallo del quale si ha fiducia che contenga questo risultato. In generale, il risultato di una misura in una qualsiasi unità di quantità è scritto come

• (valore misurato di x) = x_best ± δx

Il numero δx è chiamato incertezza o margine d'errore della misura x. È sempre convenientemente positivo. Dire che x_best ± δx è sempre il più alto valore probabile della quantità misurata x - x_best + δx più basso.

2.2 - Cifre significative:

Regola per la valutazione delle incertezze: “Le incertezze sperimentali dovrebbero di regola essere arrotondate ad una cifra significativa”.

Se la cifra in nell'incertezza δx = 1, può essere chiedere fino a 2 cifre significative in δx.

Regola per riportare i risultati: “L'ultima cifra significativa di qualunque risultato dovrebbe esserlo dello stesso ordine di grandezza della incertezza”:

Per ridurre le incertezze dovute all'arrotondamento, tutti numeri usati nei calcoli successivi dovrebbero essere normalmente levati con una cifra significativa più della cifra che si richiede sul risultato finale.

2.3 - Discrepanza:

La differenza fra due valori misurati della stessa grandezza.

Ciascuna delle due misure è espressa alla migliore stima dei due valori misurati definirò la discrepanza come la differenza fra le due misurazioni.

Se la discrepanza eccede significativamente l'incertezza su ciascuna misura, una causa di errore comune può essere significativa, la discrepanza fra due misure della stessa qualità dovrebbe essere valutata non tanto per la sua entità, quanto piuttosto per quanto essa è grande al confronto con le incertezze nelle misure.

2.4 - Confronto di valori misurati e accettati:

Il significato dell'incertezza δx è che il valore x cade probabilmente tra x_best - δx e x_best + δx, è di solito possibile dire che il valore corretto cade leggermente all'esterno di questo intervallo. Un valore può essere considerato soddisfacente anche se i valori sono accettati cade leggermente all'esterno dell'intervallo ottenuto del valore misurato.

2.5 - Confronto di due misure:

Supponendo di avere seguito le misure:

• (p misurato) = p_best ± δp e (q misurato) = q_best ± δq

I numeri p_best e q_best sono le nostre migliori stime ip e q. Allora una misura per la loro differenza è (p - q) = (p_best - q_best). Per trovare l'errore (p - q), dobbiamo stabilire m più alti e bassi valori probabilmente di (p - q).

Il più alto valore per (p - q) è p_best + q_best, allo stesso tempo in cui q assume il suo più piccolo valore probabile cerca probabilità q_best - δq.

Il più alto valore probabile per (p - q) è:

Analogamente, il più basso valore probabile si ha quando p e q sono il più piccoli (p_best - δp) e q il più grande (q_best + δq). Questo dà

Vediamo che l'incertezza della differenza (p - q) è la somma δp + δq delle incertezze originali.

L'incertezza di una differenza (regola provvisoria), se le grandezze x e y sono usate con le incertezze δx e δy, se i valori di x e y sono usati per calcolare una differenza z = x - y, allora l'incertezza in z è la somma delle incertezze su x e y

2.6. Verifica di relazioni con un grafico: da leggere pag 27

2.7. Incertezze relative: l'incertezza δx in una misura,

indica l'attendibilità o precisione della misura. Comunque l'incertezza δx può dipendere da tutto. La bontà di una misura è tutta nelle sue incertezze, ma anche dal rapporto fra δx e X_best, ciò è pronto a considerare l'incertezza frazionaria (o incertezza relativa o precisione).

Nella maggior parte delle misure accurate, l'incertezza δx è molto più piccola del valore X_best in una misura. Dal momento che l'incertezza frazionaria δx / X_best è un numero assoluto molto piccolo, è conveniente convertirlo moltiplicando per 100 e quotandolo come incertezza percentuale. L'incertezza relativa è un'indicazione approssimativa della qualità della misura qualunque e le dimensioni della grandezza misurata.

Incertezze relative del 10% circa sono solitamente caratteristiche di misure piuttosto rozze; incertezze del 1% o sono indice di misure accurate.

2.9 Moltiplicazione di due quantità: incertezze su un prodotto (regola provvisoria): se due quantità x e y sono state misurate con piccole incertezze relative δx / X_best e δy / Y_best e se i valori misurati di x e y sono usati per calcolare un prodotto z = xy, allora l'incertezza relativa su z è la somma delle incertezze relative su x e y.

È necessario sottolineare due caratteristiche di questa regola: mentre logica e derivazione della (2.28) richiede che le incertezze relative su x e y siano entrambe abbastanza piccole da poter trascurare il loro prodotto (se le incertezze sono una unità noi rifiutiamo di solito la regola, non impiegare); In secondo luogo, anche quando x e y hanno dimensioni differenti, la (2.28) è corretta, adunque che tutte le incertezze relative sono di numeri rilaci.

La deviazione standard (SD) delle misure x₁, x₂, ..., x_N è una stima dell'incertezza media delle misure x₁, x₂, ..., x_N e si ottiene come segue. Tratto uno delle misure, X₁, X₂, ..., X_N, stimo una differenza, che è dovuta esclusivamente all'incertezza delle misure. Questa differenza ci dà quanto la media si differisce da una x. Se gli scarti di x₁, x₂, ..., x_N sono tutti piccoli, allora le vostre misure sono tutte vicine tra loro come medie, presumibilmente molto precise.

La deviazione standard (SD) è X₁: σ_X = √( 1/N _i 1/N * (X_i - X)² ) (4.6)

La SD può essere scritta come la deviazione quadratica media (o RMS) delle misure x₁, x₂, ..., x_N.

Vi è però un'altra definizione della deviazione standard, aggiustata per N - 1, e suggerisco di sostituire N con N - 1 quindi: σ_X = √( 1/(N - 1) _i (X_i - x)² ) (4.9)

La nuova definizione è un risultato più grande della precedente, ciò corregge la tendenza della (4.6) a sottostimare l'incertezza delle misure x₁, ..., X_N specialmente per N piccoli.

4.3 - Deviazione standard come incertezza in una singola misura

La deviazione standard σ_x caratterizza l'incertezza media delle misure x₁, ..., X_N di cui ci siamo calcolati se si misura la quantità X molte volte, x₁, x₂ ..., X_N essendo i risultati sono tutte sorgenti di incertezza sono piccole e casuali allora ci aspettiamo che, in modo distribuito attorno al vero Xvero Xvero entro i limitdi conformemente alla cosiddetta curva normale o curva a campana. In particolare, circa il 68% dei risultati dovrebbe essere entro una deviazione standard di Xost, ossia il 68% delle misure è sarà Xvero ± σ_x

4.4 - La deviazione standard della media

L'incertezza nel risultato finale X_best x risulta essere la deviazione standard σ_x divisa per √N. Questa grandezza è chiamata deviazione standard della media ed è denotata da σ_x = σ_x / √N (valore di X): σ_best ± σ_x dove σ_x = σ_x

5 - La distribuzione Normale

5.1 - Istogrammi e distribuzioni

Ᾱ = ( ∑_i x_i n_k ) / N dove x_k = dati dei valori (5.4) Ʋ_NK occorrenze

Una somma come questa è chiamata somma pesata perché ciascun valore "x" è pesato per il numero di occorrenze "n". Invece di usare x_i per il numero di volte in cui il dato occorre, si introduce la frazione F_k = Ʋ_k / N

Che è la frazione delle nostre N osservazioni che hanno dato il risultato x_i. Si dice che le frazioni F_k specificano la distribuzione dei nostri risultati, un momento che descrivono come le nostre misure sono distribuite fra i diversi possibili valori.