Teoria Costruzioni idrauliche, prof Piro

Statistica descrittiva

La statistica serve a determinare valori di grandezze a partire da altre grandezze note. Le grandezze considerate sono di tipo probabilistico, in quanto la previsione dei valori da attribuire dipende da un numero rilevante di cause non note, per questo le grandezze vengono definite variabili casuali e possono essere:

• discrete (es. punteggio con lancio dei dadi)
• continue (es. peso di un pesce pescato)
• limitate (es. volume d’acqua di una diga)
• illimitate (es. altezza di pioggia)

Si definisce la distribuzione di una variabile casuale l’insieme degli infiniti valori che la variabile può assumere.

Data la previsione dei valori di tipo probabilistico, si definisce probabilità il rapporto tra il numero m dei casi favorevoli a E e il numero totale n dei casi possibili:

p = m / n

Un evento (E) può essere considerato con due diversi punti di vista:

• indipendente (probabilità incondizionata) P(E);
• dipendente (probabilità di E1 condizionata a E) P(E1|E);

Due eventi si dicono mutuamente indipendenti quando il fatto che uno dei due sia accaduto non influisce sulla probabilità che accada l’altro. (→ prob. condizionata = prob. incondizionata).

Due eventi si dicono mutuamente incompatibili quando si escludono a vicenda.

Probabilità composta: probabilità di due eventi E1, E2 che accadano entrambi, è uguale al prodotto delle probabilità incondizionate.

Probabilità Totale:

La probabilità che accada almeno uno dei due eventi è uguale alla somma delle probabilità di ciascuno dei due meno la loro probabilità composta. Se i due eventi sono mutuamente indipendenti la probabilità totale è uguale solo alla somma delle loro probabilità incondizionate.

La probabilità che si verifichi l'evento E P(e) in n situazioni mutuamente indipendenti vale: P_n(e) = P(e)ⁿ

Inoltre:

0 ≤ p = ^{casi favorevoli}/_{casi possibili} ≤ 1

Evento impossibile

Evento certo

La somma delle probabilità di tutti i valori possibili deve essere uguale ad uno perché è certo che il valore assunto deve essere tra quelli possibili.

La funzione f(x) che associa ad ogni valore della variabile casuale x la probabilità corrispondente, si chiama funzione di probabilità di x. Nelle variabili discrete ad ogni valore della grandezza si può associare una probabilità.

Una variabile casuale continua (è tale se la sua distribuzione è continua o possiede derivata continua) si definisce la funzione F(x) come la probabilità che la variabile assuma un valore non superiore ad x stesso.

La probabilità di superamento di un assegnato valore x è uguale al complemento ad uno delle probabilità di non superamento F(x).

P(x > x_o) = 1 - F(x_o)

in cui μ e σ sono i parametri della distribuzione, la costante

1/√(2π) è fissata in modo che risulti verificata la proprietà del teorema dell'area:

∫_-∞^+∞ f(x) dx = 1,

Al fine di svincolarsi dai parametri della distribuzione scarto e valore medio, si introduce la variabile adimensionale u detta

VARIABILE RIDOTTA O STANDARDIZZATA: u = x - μ(x) / σ(x)

Crescente della variabile x che ha come media lo zero e per

scarto l'unità: μ(u) = 0, σ(u) = 1.

La legge di probabilità è perciò F(x) = 1/√(2π) ∫_-∞^u e^u²/2 du, per cui la densità di probabilità diventa:

p(u) = 1/√(2π) e^u²/2 = p(x) dx/du = p(x) σ(x)

Per calcolare la probabilità P(x) e la densità di probabilità f(x) è

• stima della media μ(x) e dello scarto σ(x);
• stima dei corrispondenti valori di u per ogni x;

DISTR. LOG-NORMALE

È forse la distribuzione più utilizzata per gli eventi idrografici.

Si ottiene dalla legge normale con la trasformazione logaritmica

a seguire. La legge non è la variabile x ma il suo logaritmo

y = lnx. Questa trasformazione viene giustificata teoricamente

con l'ipotesi dell'effetto proporzionale secondo la quale per un buon numero dei fenomeni naturali le fluttuazioni

delle variabili dipendono dal suo ordine di grandezza.

P(x) = 1/xσ(x)√(2π) e^{-{1/2 :[lnx - μ(y)] / σ(y)}²}

* variazione gaussiana intorno

suo valore medio

è rimasta invariata e limitata superiormente.

Dato che le variabili y e x distribuite normalmente

Per ogni distribuzione ci saranno dei parametri che possono essere

calcolati tramite i momenti dei primi ordini; col metodo dei

momenti si attribuisce a ciascun momento della popolazione

il valore del corrispondente momento del campione estratto da

quella popolazione; la stima di un parametro può essere però

distorta per cui si adottano dei coefficienti correttivi.

coeff. correttivo = 1   m(x)   MEDIA

coeff. correttivo =   s²(x)   VARIANZA

coeff. correttivo = (n/n-2)   m3(x)   MOMENTO DEL TERZO ORDINE

Questo metodo è privo di oggettività; tutte le distribuzioni

sono caratterizzate da curve simili con un ordinamento di

questa confronto viene fatto sui cortogrammi probabilistici, cioè carte

speciali nelle quali tutte le curve di probabilità di un

certo tipo risultano rappresentate da rette. Per ciascuna distribuzione

di probabilità si introducono variabili ridotte le quali sono

legate linearmente alla variabile significativa x:

- LEGGE NORMALE   μ = x̄ - m(x)

- LEGGE BINOMINALE   u = a⋅y + b

- GUMBEL   y = a(x - ε)

Una volta scelta la distribuzione bisogna capire se è adatto

alle nostre grandezze per ciò si usano dei test statistici,

tra i quali il test del χ² di Pearson.

Il campione viene diviso in k classi equi-probabili

questo rende definiti per χ² come k - 1 volte N: ossia

— Insieme sempre l'ala curva di livello (sorpa).

— Passa per punti singolari di deflusso quali crete, di valle, le creste e le selle.

Consigli:

A corrispondente di picchi (nodi) si può cambiare direzione, bisogna sempre spostarsi nella direzione di massima pendenza.

1. Si innesca quota 25000 in caso.
2. Si individuano sezioni di chiusura.
3. Si traccia l'asse principale.
4. Partendo dalle sezioni di chiusura si tracciali il bacino.

Oggi la delimitazione del bacino viene fatta con il GIS (Sistema informatica geografica).

È l'insieme degli strumenti informatici che gestiscono e analizzano elementi; infatti ad es le carte possono essere sovrapposte e avere per ogni carta delle informazioni. Queste informazioni vengon regostrate attraverso degli strati, i layers informatici, e lavorano con due tipi di dati.

• raster (JPG)
• vettoriali (SHP)

Le punto di partenza del GIS e il DTM modello digitale del terreno, è l’area su cui riccade il bacino. È un immagine formata da tante caselle e ogni casellina rappresenta la quota della superficie di riferimento. Una volta capito il baci no bisogna calcolare come verrà il flusso tenendo conto della differenza di quota delle varie celle.

Si passa al FLOW DIRECTION (carte del flusso accliventato) e il valore di ogni cella rappresenta il numero di celle adiancenti che appartengono nella stessa sottobacino. Da queste due si fuso qui seta di chiusura e il software ricava il baci no sotteso in quel punto.

1. Curva itopografica
2. Sottobacino afferente

- quando due rami di diverso ordine si incontrano il ramo che si origina

Metodo Horton-Strahler (Esempio)

Un bacino idrografico può presentarsi come un insieme di corsi d'acqua di vario ordine connesso tra di loro. Il reticolo si sviluppa come un grafo ad albero orientato con un collettore dorsale.

Il reticolo si fonda sugli ipotessensanti dei grafi biforcati e si permette che in uno stesso punto non confluiscono più di due rami.

Il punto di confluenza è detto nodo mentre il canale è il tratto di ramo compreso tra due nodi. I canali elementari che generano il bacino sono detta sorgenti, i canali vengono classificati:

• Le sorgenti sono definiti rami di ordine uno: ω = 1;
• Il ramo generato dalla confluenza di due rami di ordine ω: ω è classificato di ordine ω+1;
• Il ramo generato dalla confluenza di ordine diverso assume l'ordine del maggiore.

Un'altra espressione è quella di Gravelius. Φ = P/_√π ^A

Di c'è il fattore di forma di Horton? Rf = Δ/2

e il rapporto di circolarità!

PRECIPITAZIONE

Minime di pioggia → Metodico di stima delle basse delle precipitazioni

Misure delle piogge e curve idro (Pluviografo e