Teoremi, Dimostrazioni e concetti fondamentali Analisi I

Teorema Unicita' del Limite

Hp: Se ∃ lim_{n → ∞} a_n = l ∈ ℝ

Th: Questo limite è unico.

Dim.

P.A. l₁, l₂

1. ∀ ε > 0 ∃ υ_ε m > υ_ε a_n ∈ ] l₁ - ε ; l₁ + ε [
2. ∀ ε > 0 ∃ υ₂ m > υ₂ a_n ∈ ] l₂ - ε ; l₂ + ε [

Visto che l₁ ≠ l₂

Prendiamo:

Ε < |l₂ - l₁| / 2

Quindi:

] l₁ - Ε ; l₁ + Ε [ ∩ ] l₂ - Ε ; l₂ + Ε [ = ∅

υ_ε → m > υ_ε → a_n ∈ ] l₁ - Ε ; l₁ + Ε [

υ₂^Ε → m > υ₂^Ε → a_n ∈ ] l₂ - Ε ; l₂ + Ε [

m > max { υ_ε, υ₂^Ε } → a_n ∈ ] l₁ - Ε ; l₁ +Ε [ ∩ ] l₂ -Ε ; l₂ +Ε [ = ∅

Assurdo

DIMOSTRATA LA TESI

TEOREMA:

OGNI SUCCESSIONE CONVERGENTE È LIMITATA

Hp: {a_n} convergente

Th: {a_n} è limitata

Hp: lim a_n = l ∈ ℝ

DIM:

∀ε > 0 ∃n_ε: n > n_ε r - ε < a_n< r + ε

Poniamolo a_n = ε̄

m > n_ε r - ε̄ < a_n < r + ε̄

Annoto:

min{a₁, ..., a_nε, r - ε̄} < a_n < max{a₁, ..., a_nε, r + ε̄}

DINOSTRATA LA TESI

|a_m - L| < ε

(a₁ + a₂ + ... + a_m - mL) / m

(a₁ - L) + (a₂ - L) + ... + (a_ν - L) + (a_ν+1 - L) + ... + a_m - L

≤ |a₁ - L| + |a₂ - L| + ... + |a_ν - L|

+ (m - ν)ε≤ 2ε

DIMOSTRATO

Successione Estratta

Dato {a_n}

Hp: a_k limitata

=>

Th: ∃ un estratto di {a_k} convergente

Dim: C_m ≡ inf a_kk≥m

Allora ha un non crescente

una successione

C_m è crescente, e limitata(per non crescere)su a_n

C_m ≤ C_m+1

inf a_k ≤ inf a_kk≥m k≥m+1

l' = lim C_m = lim (inf a_k)k≥m

l' ∈ ℝ(Dalla regolarità dellasuccessioni monotone)

Dalla tesi: ∃ {a_km} estratta da {a_k}lim a_km = l'

Fisso ε > 0

∃ ν : m > ν,

l' - ε < inf a_k < l' + εk≥m

Poiché f(a_n) ≥ 0 ∧ f(b_m) ≤ 0

lim_n→∞ f(a_n) ≥ 0

lim_m→∞ f(b_m) ≤ 0

Inoltre per il teorema punti e continuità:

lim_n→∞ f(a_n) = f(c) ≥ 0

lim_m→∞ f(b_m) = f(c) ≤ 0

⇒ f(c) = 0

DIMOSTRAZIONE

TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI(O DI BOLZANO)

Hp. f: [a,b] -> ℝ

f continua

=>

th. f assume tutti i valori compresi tra il minimo assoluto e il massimo assoluto

DIM. [m,M]

m = min_[a,b] f

∃ c ∈ [a,b]: f(c) = m

M = max_[a,b] f

∃ c ∈ [a,b]: f(c) = M

DA WEIERSTRASS

TEOREMA DI LAGRANGE

Ip: f: [a,b] → ℝ

f continua in [a,b]

f derivabile in ]a,b[

⇒ ∃ c ∈ ]a,b[

f'(c) = ^f(b)-f(a)/_b-a

Dim:

g(x) = f(x) - (^f(b)-f(a)/_b-a) (x-a)

g continua in [a,b]

g deriv. in ]a,b[

come: x = a ⇒ g(a) = f(a)

x = b ⇒ g(b) = f(a)

dunque g(a) = g(b) (ip. Rolie)

dunque ∃ c ∈ ]a,b[ : g'(c) = 0

g'(x) = f'(x) - (^f(b)-f(a)/_b-a)

g'(c) = 0 ⇒ f'(c) = ^f(b)-f(a)/_b-a

DIMOSTRATO

Dim: f deriv. (M-1) volte in (x₀) e m volte in x₀.

Th: lim_x->x0 [f(x) - [f(x₀) + - + ^f(m)(x₀)/_m! (x-x₀)^m] ]

───────────────────────────────────── = 0

─────────────────────────

(x-x₀)^m

Uso Hospital

lim_x->x0[f'(x) - [f'(x₀) + f''(x₀)(x-x₀) + - + ^f(m)(x₀)/_(m-1)! (x-x₀)^m-1]

(m-1) volte

lim_x->x0 [^f(m-1)(x)/_m! - [_{^f(m)(x0) + ^{f(m)(x0)(x-x0)}}