Teorema divergenza e stokes

Integrali e divergenza

∫_CF ⋅ d_r = ∫_c^d [F₂(s₂(t), t) dt = ∫_c^d [F₂(s₁(t), t) dt == ∫_c^d [F₂(s₂(t), t) - F₂(s₁(t), t)] dt

Da un'altra parte abbiamo l'integrale doppio ∬_D ∂/∂x (x,y) dxdy = ∫_c^d₂(y) [∫_s1(y)^s₂(y) ∂/∂x (x,y) dx] dy == ∫_c^d [F₂(s₂(y), y) - F₂(s₁(y), y)] dy

⇒ I due integrali sono uguali ⊗ Teorema della divergenza

Campo e divergenza

Dato F: A ⊂ Rⁿ ⟶ R^r F ∈ C¹(A) con n = 2,3 ⇒ div(F) = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Se un campo è uniforme ⟹ div(campo) = 0

E se le mie parti sono i = F₁(campo) -- la misura della divergenza mi dà quanto sta "cercato" campo.

EX: div(∇f) = ∂/∂x (∂f/∂x) + ∂/∂y (∂f/∂y) + ∂/∂z (∂f/∂z) = tr(H_F) Δf = LAPLACIANO - viene utilizzato per studiare la diffusione del calore

∂f(t,x) = Δx f(x,t) que ora ∂t

Campo elettrico

Vediamo il campo elettrico E = (x/(x²+y²)^3/2, y/(x²+y²)^3/2), c, c > 0

div(E) = ∂E₁/∂x + ∂E₂/∂y

2/∂x (x ⋅ (x²+y²)^-3/2) = (x²+y²)^3/2 ⋅ 3/2 x 2x(x²+y²)^-5/2 = (x⁴+y²)^-5/2 [x²+y² - 3x²] = (x⁴+y⁴)^-5/2 [y² - x²]

div(E) = c [(x²+y²)^-5/2 ] [y² - x + x²(+)2] = -c (x²+y²)^-3/2

⇒ ∫_c^d F₃(s₂(t),t) dt = ∫_c^d F₂(s₁(t),t) dt == ∫_c^d [F₂(s₂(t),t) - F₂(s₁(t),t)] dt

Da un’altra parte abbiamo l’integrale doppio ∬_D ∂F₂(x,y)/∂x dx dy = ∫_c^d ∫_s1(y)^s₂(y) ∂F₂(x,y)/∂x dx dy == ∫_c^d [F₂(s₂(y),y) - F₂(s₁(y),y)] dy

⇒ I due integrali sono uguali © Teorema della divergenza

Campo vettoriale e flusso

Dato F: A ⊂ ℝⁿ → ℝ^r F ∈ C¹(A) con n=2,3: ⇒ div(F) = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z (flusso uscente)

Se un campo è uniforme ⇒ div(campo)=0 se le mie particelle si approfondano

EX: div(∇f) = 2/∂x (∂f/∂x) + 2/∂y (∂f/∂y) + 2/∂z (∂f/∂z) = tr(H_f)∆f = LAPLACIANO viene utilizzato per simulare la diffusione del calore

∂ε(t,x)/∂t = ∆x ε(x,t) queè io tempo calca

Calcolo del flusso

Ex Vediamo il campo elettrico E = (x/(x²+y²)^3/2, y/(x²+y²)^3/2), c <> 0

div(E) = ∂E/∂x + ∂E/∂y 2/∂x (x . (x²+y²)^-3/2) = (x²+y²)^-3/2 - 3/2 x 2x (x²+y²)^-5/2 = (x⁴ + y⁴)^-5/2 [(x² + y² - 3x²](x²+y⁴)^-5/2 [y . -2x]

div(E) = c [(x²+y⁴)^-5/2 [y⁴ - 2x + x²+y²] = -c (x²+y²)^-3/2

Se E ∈ ℝ³ div(E) = - c (x²+y²+z²)^-3/2

Teoremi e parametri

Premiamo che la sfera con all'interno della carica è_{coincidente al flusso}∭∭∭_S div(E) dx dy dz S = sfera di centro (0,0,0) e raggio ε > 0 Usiamo le coordinate sferiche

• x = ρ sin θ cos ϕ
• y = ρ sin θ sin ϕ
• z = ρ cos θ

det J = ρ² sin θ ⟹ ∫₀^2π dϕ ∫₀^π sin θ dθ ∫_{_\c}^R dρ ρ^-3

Consideriamo il calore con il flusso uscente dalla superficie esterna Φ_{S⁺ = ∬S⁺ ⟨E , n⁺⟩ dS}ma E preso in un punto ρ è: E(ρ) = ρ_•cR^-3 e la normale è: n⁺ = ρR^-1 per la simmetria sferica ⟹Φ_{S⁺ = ∬S⁺ c ρ^-2} Arriviamo Φ_{S^- = -4πc}

Enunciati e calcolo del rotore

Enunciato: Sia F ∈ C¹(A), A ⊂ Rⁿ, A aperto, e sia S ⊂ A con componente di S descritta da una parametrizzazione σ ⊂ D ⊂ R² → A regolare con D aperto (userò l'unione di S e sue superfici sui esempi di 2), risultato ∬_Ω div(F) dx dy dz = ∮_Σ < F, η_Σ > dS

Dimhp e che Ω so normale rispetto al piano XY e che F = (0, 0, F₃)

In generale F = (F₁, 0, 0) + (0, F₂, 0) + (0, 0, F₃)

∂Ω = Σ _φ ∪ Σ _ψ ∪ Σ _L con Σ_ψ: σ_ϕ(x,y) = (x, y, φ(x, y)) Σ_ψ: σ_ψ(x,y) = (x, y, ψ(x, y))

Ricorda η̂ = (∂ϕ / ∂x) / ∥ ∇ ϕ + 1 Calcoliamo allora il verso: ∭_Ω F dx dy dz = ∬_D ⎡⎢ ϕ(x,y) ⎤⎥ ⎣ ∂F₃ / ∂z dz ⎦ dx dy = ∮ B = F₃ (x,y,ψ(x,y)) - F₃ (x,y,φ(x,y)) dx dy

Calcoliamo ora il flusso attraverso Σ_ψ Φ_Σψ = ∬_D < (0,0,F₃), (∂x φ, ∂y φ, -1) > ∥∂ x / ∂ψ + ∂ ψ / ∂y∥ dx dy - ∥∇φ + 1 det (⎡ 1 0 ⎤⎥) = (-2xφ, -2yψ, -1) = ∮_B < (0, 0, F₃), (2x ψ, 2y ψ, -1) > dx dy = -∬_D F₃(x,y,ϕ(x,y)) dxdy

Analogamente Φ_Σϕ = ∬_D F₃(x,y,ϕ(x,y)) dxdye Φ_Σϕ = 0 perché la normale a S_ϕ è ⟂ F => il flusso totale è Φ_Σϕ + Φ_Σψ = ∬_D [F₃(x,y,ϕ(x,y)) - F₃(x,y,ϕ(x,y))] dxdy cioè proprio l'impiego fatto oltre dim(F).

Teorema di Stokes

Assi. Teorema di Stokes: Proprio di S alla mol è la o. Reclinera topologica S = σ(0) σ : D ⊆ ℝ² → ℝ³, D è aperto e limitato σ è una parametrizz regolare σ ∈ C¹(0) σ = σ(u,v) = (X(u,v),Y(u,v),Z(u,v)) cioè alla diminuz di D posso comprendere anche i punti di frezziera di D

∂Sil bordo di S e ∂S, e l'immagine tramite σ della frazione di D DV Data una parametrizzazione ¹ di ∂D/¹(t) = (u(t), v(t)) con a ≤ t ≤ b posso ricavare una parametrizzazione di ∂S, ¹(t) = σ (u(t), v(t))

Dato che μ è regolare posso tracciare una tangente ¹(t) = ∂σ/∂u u' + ∂σ/∂v v' = [∂x/∂u ∂x/∂v ∂y/∂u ∂y/∂v ∂z/∂u ∂z/∂v] [μ' v'] = Jσ μ' ⇒ ¹(t) = Jσ (u(t), v(t)) ¹(t)

Enunciato: Se σ ∈ C²(D) è una parametrizzazione regolare di una superficie S con bordo e F è un campo vettoriale in R³, F ∈ C¹(A), A ⊆ R³ aperto, A ⊇ S ∪ ∂S allora ∫_S < rot, > ds = ∫_∂S ωF

Serve a trovare il flusso del rotore di un campo vettoriale in una circolazione di un elemento via una curva chiusa. Notare: il verso di e il verso di percorrenza devono essere coerenti ⇒ devo vedere percorso di senso antiorario

DH rot F = ^{i j k} 2x 2y 2z F₂ F₂ F₂ X_u = ^{∂ x}/_{∂ u} x (u,v)^{∂ t ∂ t ∂ t} detx_u y_u 2ux_u y_u 2v

⟨⟨ rot F, n̂⟩⟩ = [(2y F₃ - 2x F₂)(y_u 2v - 2u y_v) + (2x F₁ - 2x F₃)(2u x_v - x_u 2v) + (2x F₂ - 2y F₁)(x_u y_v - y_u x_v)]

∫ ¹/_{1 .... v} frontiera chiusa ∮⟨ rot F, n̂⟩ ds = ^{| |} | | | | | | | | ∮ [.] du dv

Scriviamo ora: ω = F₁(x, y, z) dx + F₂(x, y, z) dy + F₃(x, y, z) dz Γ'(t) = ∫ σ [γ(t)] · γ'(ζ) ∮ ω F = ^{| |} | F₁ [x₁(t)] Γ₁'(t) + F₂ [Γ₂(t)] Γ₂'(t) + F₃ [Γ₃(t)] Γ₃'(t) dt