Teorema divergenza e stokes

⟹ ∮F ⋅ dγ = ∫_c^d [F₂(s₂(t), t) dt - ∫_c^d F₂(s₁(t), t) dt =

= ∫_c^d [F₂(s₂(t), t) - F₂(s₁(t), t)] dt

⟹ Cambiando l'ordine d' integrazione doppio ∫ _s1(y)^s₂(y) ∂F₂ (x,y) dx dy = ∫ _s1(y)^s₂(y) ∂F₂ (x,y) dx dy =

= ∫_c^d [F₂(s₂(y), y) - F₂ (s₁(y), y)] dy

⟹ I due integrali sono uguali

TH. della DIVERGENZA

Dato F: A ⊆ Rⁿ → Rⁿ, F ∈ C¹(A), con n = 2,3

⟹ div(F) = ∂F₁ ∂x + ∂F₂ ∂y + ∂F₃ ∂z

Se un campo é uniforme ⟹ div(campo) = 0

⟹ le linee del campo sono | | a (∅ campo) = 0

la linea della divergenza indica quanto si "espande" il campo.

Ex:

div(-∇f ) = 2/∂x (∂f/∂x) + 2/∂y (∂f/∂y) + 2/∂z (∂f/∂z) = tr(Hf )

∆f = LAPLACIANO ⟹ viene utilizzato per studiare la diffusione del calore

∂t (t, x) = ∆xf^t(x, t) che ad esempio calcola

Ex:

Vediamo il campo elettrico

E = ( x/(x² + y²)^3/2, y/(x² + y²)^3/2 ) c, c ≠ 0

div(E) = ∂E₁/∂x + ∂E₂/∂y

2/∂x (x ⋅ (x²+y²)^-3/2) = (x²+ y²)^3/2 * 3/2 x 2x(x²+y²)^-5/2

= (x² + y²)^-5/2 [x² + y² - 3x²]^]

(x⁴ + y⁴)^-5/2 [y² - x²]

div(E) = c [(x² + y²)^-5/2] [y² - 2x² x² +y²] = -c (x² + y²)^-3/2

Se E ∈ ℜ³ div(E) = - c (x²+y²+z²)^-3/2

Ammettiamo che non oltre il valore della carica e consideriamo il flusso

↻ 〈div(E) ddd = Ø

S       

S = sfera di centro (0,0,0) e

raggio e > 0

usiamo le corde sferiche

x = ρ sinθ cosφ

y = ρ sinθ sinφ

z = ρ cosθ   det = ρ² sinθ

= - 2π _π∫ &sub3; ∫ dφ |^R _... a ...

Confertiamo il carico con il flusso uscente dallo camiseta esterna

uдс S₊ = ∫∫ ⟨E, n+⟩ dС

ma E... in un pro ρ è: E(ρ) = ^ρc_ρ³

e la normale è: n+ = ^ρ_R per la simmetria sferica

    ^

p_S+ = ∫∫ ⊃&frac;&ro;

∫⊃&frac;c^c2&cub;

Ds = c² D s\'

rotF =

κ_u = ∂_u x (u,v)

∂t ∂t

Yu 2v -2u Yv + (2xF₁ - 2xF₃)(2uX_v - Xu 2v)

< (2x F₂ -2y F₁)(X_u Yv - Yu X_u)

|| ∂t ∂t || dudv

ω_F = F₁ (x,y,z) dx + F₂ (x,y,z) dy + F₃ (x,y,z) dz

e

Γ'(t) = Jσ ((y(t)) - γ'(ξ))

= ∫ [ F₁ (Γ₁(t)). Γ'₁(t) + F₂ (Γ₂(t)) Γ' E₂(t) + F₃ (Γ₃(t)) Γ'₃(t) ] dt