Teorema di Schwarz e Gradiente

Teorema di Schwarz

Sia A aperto _R^m, x^* ∈ A, f: A → R se ∂_xi∂_xj ƒ, ∂_xi∂_xj ƒ ∈ A e continue in x^*, allora ∂_xi∂_xj f(x^*) = ∂_xj∂_xi ƒ(x^*)

Definizione di C²(A)

C²(A) è l'insieme delle funzioni continue derivabili due volte con derivate prime e seconde continue su A.

Definizione di campo vettoriale

Sia X ⊂ R^m una funzione F: X → R^m(x₁, ..., x_m) ||→ x → F(x) = (F₁(x), ..., F_m(x)) è detto campo vettoriale su ¹R^m e le F_i: X → R sono detti componenti del campo F.

Teorema di Schwarz (versione matematica)

Sia \( A \) aperto \( \subseteq \mathbb{R}^m \), \( x^* \in A \), \( f: A \rightarrow \mathbb{R} \) se \( \frac{\partial^2 f}{\partial x_i x_j} \), \( f_{ij} \) in \( A \) è continua in \( x^* \), allora \( \frac{\partial^2 f}{\partial x_i x_j}(x^*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j x_i}(x^*) \).

Definizione di C²(A) (versione matematica)

\( C^2(A) \) è l'insieme delle funzioni continue derivabili due volte con derivate prime e seconde continue su \( A \).

Definizione di campo vettoriale (versione matematica)

Sia \( X \subseteq \mathbb{R}^m \) una funzione \( F: X \rightarrow \mathbb{R}^m \)

\[\begin{pmatrix}x_1 \\\vdots \\x_m\end{pmatrix}\mapsto x \mapsto F(x) = \begin{pmatrix}F_1(x) \\\vdots \\F_m(x)\end{pmatrix}\]\

è detto campo vettoriale su \( \mathbb{R}^m \) e le \( F_i: X \rightarrow \mathbb{R} \) sono detti componenti del campo \( F \).

Definizione di gradiente

Se A ⊂ R^m, f: A → R derivabile su A, il gradiente di f è il campo vettoriale che ha come componenti le derivate parziali prime di ∇f(x) = | (df(x) || ------) || dx₁) || || (df(x) || ------) || dx_m).

Matrice Hessiana

La matrice Hessiana è la matrice n×n le cui righe sono i gradienti delle derivate parziali prime: H_f(x) (oppure f(x)).

Se n = 2, ∇f(x,y) = (f_x(x,y) |        f_y(x,y)).

H_f(x,y) = (f_xx(x,y)   f_xy(x,y)             (f_yx(x,y)   f_yy(x,y)).

H_f(x) è simmetrica <=> f_xix_j = f_xjx_i;   ∀i≠j.

Esempio 1

f(x,y) = 1/3 x y ³ + 1/2 x²y + 1/2 y³

f_x(x,y) = x y³ + x y = 0

f_y(x,y) = x y² + 1/2 x² + y

∇f_f(x,y) = (x y³ + x y |                        x y² + 1/2 x² + y)

f_xx(x,y) = y

f_xy(x,y) = x y² + x

f_yyx(x,y) = 2x y + y² + x