Tensore d Inerzia e Motore a Combustione Interna

Tensore d'inerzia

Quando consideriamo un corpo nello spazio con una sua estensione e quindi una sua distribuzione di massa, la massa di tutto il corpo concentrata nel baricentro non è sufficiente a una rappresentazione delle sue proprietà inerziali rispetto alle rotazioni nello spazio. Si ricorre quindi a un tensore che è una matrice 3x3 e viene definita matrice d'inerzia, nella quale sono sintetizzati tutti i contributi associati ai 3 assi cardinali nello spazio della massa.

Momento d'inerzia di un punto materiale

Consideriamo un punto materiale di massa m ed un asse. Sia d la distanza del punto dall’asse, definiamo momento d’inerzia del punto rispetto all’asse la quantità: I = m d².

Momento d'inerzia di un corpo rigido

Consideriamo ora un corpo rigido, di massa m, volume V e densità ρ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse è definito come:

I = ∫_V ρ d r² dV.

Il momento d’inerzia di un corpo rigido rispetto ad un asse passante per O e avente versore r si può esprimere come: I = I_O + m r². I_O è una matrice di dimensioni 3x3, definita simmetrica e positiva, che prende il nome di tensore d’inerzia del corpo relativo al polo O. I termini sulla diagonale di questa matrice sono chiamati momenti diretti d’inerzia, mentre gli altri termini prendono il nome di momenti centrifughi d’inerzia. Tutti i termini della matrice I_O hanno le dimensioni di un momento d’inerzia, quindi una massa per una distanza al quadrato.

I_Oxx = ∫_V ρ (y² + z²) dV, I_Oyy = ∫_V ρ (x² + z²) dV, I_Ozz = ∫_V ρ (x² + y²) dV

I termini I_Oxy, I_Oyz, I_Oz sono definiti come:

I_Oxy = -∫_V ρ xy dV, I_Oyz = -∫_V ρ yz dV, I_Oz = -∫_V ρ zx dV

Masse equivalenti di un corpo rigido

Con riferimento ad un corpo rigido di massa “m” mobile nello spazio, assumendo una terna di riferimento solidale con origine nel baricentro “G”, è possibile scegliere punti P_i non necessariamente appartenenti al corpo, nei quali si concentrano altrettante masse m_i. Si determina così un sistema solidale alla terna scelta che, come è noto dalla Meccanica Razionale, è dinamicamente equivalente al sistema reale se vengono soddisfatte dieci condizioni, per cui dieci possono essere le masse concentrate che costituiscono il sistema fittizio (i = 1...10).

Se il moto del corpo di massa m è puramente traslatorio con velocità v: m v² = Σ m_i v_i²

Se il moto è costituito da una pura rotazione intorno ad un asse generico, con velocità angolare ω: I ω² = I’ ω² (i due sistemi dovranno avere lo stesso momento d’inerzia di massa rispetto all’asse di rotazione)

L’uguaglianza dei baricentri, rispetto alla terna di riferimento assunta, comporta:

• Σ m_i x_i = 0
• Σ m_i y_i = 0
• Σ m_i z_i = 0

Essendo x_i, y_i e z_i le coordinate del generico punto P_i.

Per il generico moto del sistema originario, caratterizzato da una velocità del baricentro v_G e da una rotazione con velocità angolare di componenti ω_x, ω_y e ω_z intorno al baricentro, dovranno risultare coincidenti le matrici di inerzia I ed I’, per cui:

• Σ (m_i y_i² + m_i z_i²) = I_xx = I_xx’
• Σ (m_i x_i² + m_i z_i²) = I_yy = I_yy’
• Σ (m_i x_i² + m_i y_i²) = I_zz = I_zz’

La matrice d’inerzia è una matrice definita simmetrica e positiva, quindi è anche diagonalizzabile. Questo significa che è sempre possibile pensare a un sistema di riferimento rispetto al quale il corpo rigido presenterà una matrice d’inerzia diagonale. Questo sistema di riferimento prende il nome di terna principale d’inerzia e i nuovi elementi della matrice d’inerzia diagonale si chiamano momenti principali d’inerzia. Un asse di simmetria è un asse principale d’inerzia e se la terna principale d’inerzia ha origine nel baricentro si chiama terna centrale d’inerzia.

Il sistema equivalente si semplifica se la terna di riferimento è centrale di inerzia, risultando nulli i momenti centrifughi; sono infatti necessarie solo sette masse concentrate, riducendosi a sette le condizioni che assicurano l’equivalenza tra i due sistemi.

Se il corpo originario si riduce ad un sistema di sei masse a due a due uguali e disposte simmetricamente sui rispettivi assi x, y e z rispetto a G:

{ Σ m_i = m₁ + m₂ + m₃ = 0

Si ottiene, quindi, un sistema di quattro equazioni in sei incognite, la cui soluzione è possibile imponendo la condizione: Σ m₁ = m₂ = m₃

+

2 I_xx = 2 m₁ y₂ + 2 m₃ z²

+

2 I_yy = 2 m₁ x² + 2 m₂ z₂

+

2 I_zz = 2 m₁ x² + 2 m₂ y²

Se si dispongono le masse di sostituzione tutte nel piano xy, con Σ m_i = 0:

n

+

Σ m_i x_i = 0

n

+

Σ m_i y_i = 0

n

+

Σ m_i (y² + x²) = I_zz

Esse si riducono a tre qualora le masse vengano allineate sull’asse x. Fissati tre punti P₀, P₁ e P₂ sull’asse x con Σ m_i = 0, i valori delle masse m₀, m₁ ed m₂ sono dati da:

{

m₀ + m₁ + m₂ = m

+

-m₁ x₁ + m₂ x₂ = 0

+

m₁ x₁² + m₂ x₂² = I_zz

Dove ρ è il raggio di girazione.

Sistema di masse equivalenti per la biella

Il punto C viene chiamato piede di biella, il punto B viene chiamato bottone di manovella, mentre G è il baricentro della biella. Per costruire un sistema di masse equivalenti per la biella, scegliendo un sistema di riferimento che è centrale di inerzia, possiamo scegliere 3 masse m₀, m₁ ed m₂ posizionate rispettivamente nei punti C, G e B e otteniamo le seguenti equazioni:

{

m = m₀ + m₁ + m₂

+

m₁ x₁ + m₂ x₂ = 0

+

m₁ x₁² + m₂ x₂² = I_zz

Per semplificare il sistema si considera la massa m₀ = 0, così però non si è più liberi di scegliere le posizioni x₁ e x₂ delle masse m₁ e m₂, ma una delle due è un’incognita del sistema. Scegliamo di considerare come incognita del sistema x₂. Otteniamo così sempre un sistema in tre equazioni e tre incognite, dove le incognite sono m₁, m₂ e x₂. La massa m₂ si troverà tra il punto G e il punto B ed essendo il baricentro G molto vicino al punto B, non si commetterà un grave errore nel considerare comunque la massa m₂ posizionata nel punto B; otteniamo così un sistema di masse equivalenti approssimato nelle seguenti equazioni:

{

m₁ + m₂ = m

+

m₁ x₁ + m₂ x₂ = 0

+

m₁ x₁² + m₂ x₂² = I_zz

Dove le prime due equazioni ci permettono di trovare le due incognite m₁ ed m₂, mentre la terza equazione ci permette di calcolare l’errore che stiamo commettendo nel considerare la massa m₀ = 0 e la massa m₂ posizionata comunque nel punto B. Con questo sistema di masse equivalenti approssimato abbiamo semplificato molto lo studio dinamico del manovellismo di spinta, infatti, ora possiamo far confluire la presenza della biella in due sole masse: m₁ che si muove insieme al pistone, e m₂ che si muove con la manovella; la biella diventa così un puro vincolo cinematico e perde qualsiasi proprietà dinamica.

Studio cinematico del manovellismo di spinta (Approccio diretto)

Quello rappresentato è uno schema cinematico del manovellismo di spinta, un meccanismo che trasforma il moto alternativo del pistone in un moto rotativo dell’albero motore. Il punto C che rappresenta il pistone si muove dal punto morto superiore (PMS) al punto morto inferiore (PMI), la distanza che il pistone può percorrere, quindi la distanza dal PMS al PMI è detta corsa del pistone 2 r e corrisponde a l. Il punto C forma una coppia prismatica con il telaio e una coppia rotoidale con la biella, che nello schema è rappresentata dal segmento l; il punto B forma una coppia rotoidale con la manovella, rappresentata nello schema dal segmento r; il punto A forma una coppia rotoidale con il telaio.

Il rapporto tra l ed r prende il nome di rapporto caratteristico geometrico adimensionale μ e generalmente è pari a circa quattro, μ ≈ 4.

Prima di studiare cinematicamente e poi dinamicamente il manovellismo di spinta, facciamo le seguenti ipotesi: si tratta di un motore a combustione interna a 4 tempi, si tratta di un meccanismo che ha tutte le coppie cinematiche ideali, quindi in assenza di giochi e attriti, i membri sono tutti rigidi e la velocità angolare della manovella è costante. Riguardo quest’ultima ipotesi sappiamo che nella realtà non è così perché la velocità angolare è funzione dell’angolo θ, infatti sull’albero motore del motore a combustione interna viene disposto un elemento detto volano, che non è nient’altro che una massa rotante e serve a contenere una grandezza definita come grado di irregolarità del periodo che è il rapporto tra la differenza tra la massima e la minima velocità angolare e la velocità angolare media in un periodo.

δ = (ω_max - ω_min) / ω_media

Questa grandezza indica quanto varia la velocità angolare dell’albero motore in un periodo di tempo.