Tensore d Inerzia e Motore a Combustione Interna

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W C⟹ rcosϑ= 2ω( )1W | |C 2 2 2 2 =mF W( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1⟹ ⟹ ⟹=r− =ω =ωS ω S r−W W r−ω S ; ;i, a c CC C C C C2ω⃗ ⃗=−mF Wi , a c C|=¿F d S 0 2 ri , a C 2 r∫= ¿L i ,a 0 ( )1 FRappresentando graficamente sia che e notiamo che quest’ultima è una rettaW i , aCm −¿amplificata di rispetto all’accelerazione e ribaltata per la presenza del segno “ “. Ilclavoro delle forze d’inerzia alternative rappresenta l’area sottesa alla retta, che per un’interacorsa è nulla, quindi il lavoro delle forze alternative d’inerzia è uguale a zero per l’intera corsa2 r . Per le equazioni esatte e di seconda approssimazione, non riusciamo a esprimerel’accelerazione in funzione dello spostamento, e nemmeno graficamente riusciamo a dimostrarequanto ottenuto con le equazioni di prima approssimazioni, quindi

Utilizziamo l'equazione dell'energia cinetica: ΔE = ½mv2 - ½mdvd2 otteniamo 0 sostituendo sia la velocità esatta che quella di prima approssimazione, quindi possiamo generalizzare quanto ottenuto in precedenza, cioè che il lavoro compiuto dalle forze d'inerzia alternative lungo un'intera corsa è nullo. Studio dinamico del manovellismo di spinta Passiamo ora allo studio dinamico del manovellismo di spinta considerando le forze di inerzia del punto C, che avranno modulo uguale a tutte le masse che risiedono nel punto C moltiplicate per l'accelerazione del punto C. A seconda dell'equazione dell'accelerazione del punto C che si utilizza, si avranno forze d'inerzia alternative esatte, di prima approssimazione o di seconda approssimazione. FW = -mFωr cosθ (1) FW = -mFωr cosθ + i (2)

a c i , a c μLe forze d’inerzia alternative di seconda approssimazione sono composte da due componenti,delle quali la prima è una funzione armonica di pulsazione sincrona alla velocità angolaredell’albero motore, mentre la seconda è una funzione armonica di pulsazione doppia rispetto allaμvelocità angolare dell’albero motore, volte più piccola della corrispondente del primo ordine,questo significa che le forze d’inerzia alternative del secondo ordine decrescono al crescere diμ μfino ad arrivare ad essere trascurabili per un infinitamente grande, arrivando alrisultato che le forze alternative di seconda approssimazione sono uguali alle forze alternative diμseconda approssimazione per un infinitamente grande, che è proprio l’ipotesi della primaapprossimazione. ϑcos 2| | | | | || | | |(2) ,a' ,a' ' ,a' 2 a' ' 2= + =m =mF F F F ω rcosϑ F ω ri,

a i i i c i , c μm mLa massa è composta dalla massa , che contiene le masse di tutti i componenti delc p =m +mm mpistone, e dalla massa , che è la massa equivalente della biella nel punto C: .1 C p 1Le forze agenti nel punto B sono forze centrifughe e si chiamano Forze di inerzia rotanti, infatti lamanovella si muove di moto circolare uniforme. Sulla manovella agiscono due forze, una nelmpunto B, che è data dal prodotto della massa equivalente della biella nel punto B per22l’accelerazione centrifuga che vale , e un’altra nel baricentro G della manovella, che è ω r mdata dal prodotto della massa della manovella per l’accelerazione centrifuga che in questom2 ecaso vale , essendo l’eccentricità, ovvero la distanza del baricentro dall’asse diω erotazione della manovella che risiede nel punto A. Per semplificare si considera una forza fittiziaequivalente a quella agente nel punto G, ma che ha punto di

Applicazione nel punto B, in modo da poterla sommare alla forza centrifuga dovuta alla massa della biella. Per fare ciò, scriviamo la seguente relazione:

F₂ = m₂ω²r

Otteniamo che il vettore forze d'inerzia rotanti avrà punto di applicazione nel punto B, mentre il modulo sarà dato dal prodotto tra la somma della massa equivalente della biella e la massa fittizia della manovella, e l'accelerazione centrifuga del punto B, che vale:

F_r = |mF|ω²r

Per semplificare lo studio dinamico del manovellismo di spinta, si possono considerare anche le forze d'inerzia alternative del primo e del secondo ordine come se agissero sulla manovella. Per fare ciò introduciamo delle forze d'inerzia rotanti fittizie, i cui vettori hanno come punto di applicazione il punto B. La proiezione di questi vettori sarà uguale alle forze d'inerzia alternative vere.

Il vettore rotante associato alla forza d'inerzia alternativa del primo ordine ha velocità angolare ω, mentre il vettore rotante associato alla forza d'inerzia alternativa del secondo ordine ha velocità angolare 2ω. Con l'introduzione di queste forze rotanti fittizie, abbiamo sintetizzato tutte le azioni dinamiche, in termini di azioni inerziali, presenti nel manovellismo, come vettori rotanti intorno all'albero aI, f e aII, f. Il motore: e rotanti con la manovella e rotante in anticipo di rispetto alla manovella e con velocità angolare ω. Per bilanciare le forze rotanti che agiscono nel punto A e che vanno a sollecitare il cuscinetto di banco, si introduce una massa bilanciante sulla manovella in modo che durante la rotazione generi delle forze centrifughe uguali ed opposte alle forze e. La massa bilanciante,per i motori monocilindrici, può annullare solo le forze d'inertia rotanti e le forze d'inertia alternative del primo ordine, mentre il contributo del secondo ordine delle forze d'inertia alternative continua a rimanere sbilanciato. L'analisi dinamica del manovellismo dispinta fatta fino ad ora era in trascinato, cioè con la camera di combustione a pressione atmosferica. Vediamo ora cosa accade durante le 4 fasi del motore a combustione interna. Nella camera di combustione troviamo delle valvole di ingresso e delle valvole di scarico per i prodotti della combustione. θ=0 La prima fase parte con e il pistone che si trova nel punto morto superiore. Durante la prima fase, il pistone si muove dal punto morto superiore al punto morto inferiore e la valvola di adduzione si apre, quindi si genera una leggera depressione in camera di combustione che favorisce l'ingresso della miscela combustibile. La prima fase termina con il pistone chemorto superiore e .

Mortoϑ=4 πsuperiore e . Queste fasi genereranno una pressione variabile all’interno della camera di combustione cheP ϑchiamiamo e che è una funzione dell’angolo di manovella. Di conseguenza si creagasuna differenza di pressione tra le due facce del pistone, infatti su una superficie del pistoneF P Aagisce la forza data dalla pressione della camera di combustione per l’area1 gas Fdella superficie eretta del pistone, mentre sull’altra superficie del pistone agisce la forza 2P Adata dalla pressione atmosferica per l’area della superficie eretta del pistone. Laatm Frisultante delle forze che agiscono sul pistone, e che chiamiamo , sarà uguale a:gas| || | | | | | | | | | ( )= −P= − =P =P F P AF F F F A F A; con e , quindi .gas gas atmgas 1 2 1 gas 2 atmP P ϑASia che sono costanti, mentre varia in funzione di , quindi dovremmoatm gasP ϑcercare di capire come varia la con , se volessimo avere

dalle curve rappresenterebbero le forze che agiscono sul pistone durante le diverse fasi. Durante la fase di aspirazione, la pressione in camera di combustione è inferiore alla pressione atmosferica, quindi la forza risultante sul pistone è verso l'alto. Durante la fase di compressione, la pressione aumenta e la forza risultante sul pistone è verso il basso. Durante la fase di combustione, la pressione raggiunge il suo valore massimo e la forza risultante sul pistone è verso il basso. Infine, durante la fase di scarico, la pressione diminuisce e la forza risultante sul pistone è verso l'alto. Questo ciclo di forze che agiscono sul pistone è fondamentale per il corretto funzionamento del motore a combustione interna.ento.