Temi d'esame ed esercizi di Meccanica razionale

Esame di Meccanica Razionale

Ing. Edile e delle Costruzioni (Milano)

Prova scritta del 1 Febbraio 2019

Esercizio 1

In un piano verticale, un carrello di massa trascurabile trasla lungo una guida orizzontale fissa. Ad un estremo del carrello è applicata una forza orizzontale costante F. Due dischi omogenei di ugual massa M e raggio R, rotolano senza strisciare sul carrello. Ai centri A e B dei due dischi sono incernierati gli estremi di un’asta omogenea di massa m e lunghezza l. Inoltre, al disco di centro B è applicata una coppia oraria costante C. Usando come coordinate libere l’ascissa x di un estremo del carrello e l’angolo di rotazione φ del disco di centro A:

1. calcolare l’energia cinetica ed il potenziale del sistema;
2. trovare il moto del sistema sapendo che all’istante iniziale il sistema è in quiete;
3. determinare la componente orizzontale della reazione vincolare esercitata dal carrello sui due dischi, durante il moto.

Esercizio 2

Nel sistema di figura, posto in un piano verticale, l’asta AB ha lunghezza l e massa m, mentre l’asta BC è lunga 2l e ha massa 2m. Entrambe le aste sono omogenee. Nell’estremo A vi è una cerniera fissa a terra, mentre in B le due aste sono collegate a snodo. Sul nodo B viene inoltre applicata la forza verticale F. L’asta BC passa attraverso una scanalatura liscia D posta alla stessa quota di A ed a distanza l da essa.Determinare il valore di F affinché all’equilibrio l’asta AB formi un angolo pari a θ = π/3 con la direzione orizzontale. Verificare che l’equilibrio è stabile e calcolare il periodo delle piccole oscillazioni intorno ad esso.

Esame di Meccanica Razionale

Ing. Edile e delle Costruzioni (Milano)

Prova scritta del 1 Febbraio 2019

Esercizio 1

In un piano verticale, un carrello di massa trascurabile trasla lungo una guida orizzontale fissa. Ad un estremo del carrello è applicata una forza orizzontale costante F. Due dischi omogenei di ugual massa M e raggio R, rotolano senza strisciare sul carrello. Ai centri A e B dei due dischi sono incernierati gli estremi di un’asta omogenea di massa m e lunghezza l. Inoltre, al disco di centro B è applicata una coppia oraria costante C. Usando come coordinate libere l’ascissa x di un estremo del carrello e l’angolo di rotazione φ del disco di centro A:

• (a) calcolare l’energia cinetica ed il potenziale del sistema;
• (b) trovare il moto del sistema sapendo che all’istante iniziale il sistema è in quiete;
• (c) determinare la componente orizzontale della reazione vincolare esercitata dal carrello sui due dischi, durante il moto.

Esercizio 2

Nel sistema di figura, posto in un piano verticale, l’asta AB ha lunghezza l e massa m, mentre l’asta BC è lunga 2l e ha massa 2m. Entrambe le aste sono omogenee. Nell’estremo A vi è una cerniera fissa a terra, mentre in B le due aste sono collegate a snodo. Sul nodo B viene inoltre applicata la forza verticale F. L’asta BC passa attraverso una scanalatura liscia D posta alla stessa quota di A e a distanza l da essa.

Determinare il valore di F affinché all’equilibrio l’asta AB formi un angolo pari a θ = π/3 con la direzione orizzontale. Verificare che l’equilibrio è stabile e calcolare il periodo delle piccole oscillazioni intorno ad esso.

Esame di Meccanica Razionale

Ing. Edile e delle Costruzioni (Milano)

Prova scritta del 11 Luglio 2019

Esercizio 1

In un piano verticale, un disco omogeneo di massa 2m e raggio 2R rotola senza strisciare su una guida verticale fissa. Un secondo disco, omogeneo di massa m e raggio R, è saldato al primo ed è ad esso concentrico. Sulla periferia dei due dischi si avvolgono senza strisciare due fili di massa trascurabile collegati in un estremo a due molle di costante elastica k. I tratti liberi dei fili e le molle sono diretti verticalmente. Al disco di massa 2m e raggio 2R è applicata una coppia di momento orario M. Usando come coordinata libera l’angolo di rotazione θ dei dischi:

• (a) determinare il valore della coppia M necessario affinché i dischi ruotino con velocità angolare costante ω₀;
• (b) nelle stesse ipotesi del punto precedente, calcolare la reazione vincolare esercitata dalla guida verticale sul disco di massa 2m e raggio 2R, durante il moto.

Esercizio 2

In un piano verticale, un disco omogeneo di massa M e raggio r rotola senza strisciare su una guida fissa inclinata di un angolo π/6 sull’orizzontale. Una lamina quadrata di massa m e lato 2r è appoggiata senza attrito alla guida nei due vertici A e B. Una molla ideale di costante elastica k