Temi d'esame ed esercizi di Meccanica razionale

Esame di Meccanica Razionale

Ing. Edile e delle Costruzioni (Milano)

Prova scritta del 1 Febbraio 2019

Esercizio 1

In un piano verticale, un carrello di massa trascurabile trasla lungo una guida orizzontale fissa. Ad un estremo del carrello è applicata una forza orizzontale costante F. Due dischi omogenei di ugual massa M e raggio R, rotolano senza strisciare sul carrello. Ai centri A e B dei due dischi sono incernierati gli estremi di un’asta omogenea di massa m e lunghezza l. Inoltre, al disco di centro B è applicata una coppia oraria costante C. Usando come coordinate libere l’ascissa x di un estremo del carrello e l’angolo di rotazione φ del disco di centro A:

• (a) calcolare l’energia cinetica ed il potenziale del sistema;
• (b) trovare il moto del sistema sapendo che all’istante iniziale il sistema è in quiete;
• (c) determinare la componente orizzontale della reazione vincolare esercitata dal carrello sui due dischi, durante il moto.

Esercizio 2

Nel sistema di figura, posto in un piano verticale, l’asta AB ha lunghezza l e massa m, mentre l’asta BC è lunga 2l e ha massa 2m. Entrambe le aste sono omogenee. Nell’estremo A vi è una cerniera fissa a terra, mentre in B le due aste sono collegate a snodo. Sul nodo B viene inoltre applicata la forza verticale F. L’asta BC passa attraverso una scanalatura liscia D posta alla stessa quota di A e a distanza l da essa.

Determinare il valore di F affinché all’equilibrio l’asta AB formi un angolo pari a θ = π/3 con la direzione orizzontale. Verificare che l’equilibrio è stabile e calcolare il periodo delle piccole oscillazioni intorno ad esso.

Esame di Meccanica Razionale

Ing. Edile e delle Costruzioni (Milano)

Prova scritta del 11 Luglio 2019

Esercizio 1

In un piano verticale, un disco omogeneo di massa 2m e raggio 2R rotola senza strisciare su una guida verticale fissa. Un secondo disco, omogeneo di massa m e raggio R, è saldato al primo ed è ad esso concentrico. Sulla periferia dei due dischi si avvolgono senza strisciare due fili di massa trascurabile collegati in un estremo a due molle di costante elastica k. I tratti liberi dei fili e le molle sono diretti verticalmente. Al disco di massa 2m e raggio 2R è applicata una coppia di momento angolare M. Usando come coordinata libera l'angolo di rotazione θ dei dischi:

• (a) determinare il valore della coppia M necessario affinché i dischi ruotino con velocità angolare costante ω₀;
• (b) nelle stesse ipotesi del punto precedente, calcolare la reazione vincolare esercitata dalla guida verticale sul disco di massa 2m e raggio 2R, durante il moto.

Esercizio 2

In un piano verticale, un disco omogeneo di massa M e raggio r rotola senza strisciare su una guida fissa inclinata di un angolo π/6 sull'orizzontale. Una lamina quadrata di massa m e lato 2r è appoggiata senza attrito alla guida nei due vertici A e B. Una molla ideale di costante elastica k collega il centro C del disco con il punto medio del lato AD della lamina. Inoltre, nel vertice superiore della lamina è applicata una forza costante F parallela alla guida inclinata. Usando come coordinate libere la lunghezza s della molla e l'angolo di rotazione θ del disco:

• (a) Calcolare l'energia cinetica ed il potenziale del sistema;
• (b) scrivere le equazioni di Lagrange del sistema (senza integrarle);
• (c) determinarne la componente della reazione vincolare esercitata dalla guida sul disco parallela alla guida stessa, durante il moto.

\[\vec{v_g} = -\dot{\phi} \vec{i} - (e \dot{\theta}) \vec{j}\]

\[ = -(\dot{\phi} \vec{i} - e \dot{\phi} \vec{j})\]

Verificare: (B-H) e punto C da (B-S)

siano due espressioni equivalenti di \(\bar{v}_B\)

• la prima espressa in funzione di \(\theta\)
• la seconda di \(\phi\)

devono essere uguali:

\[(e \dot{\phi} \vec{n} = e \dot{\theta} \cos \theta \vec{\chi}\]

\[\phi = \frac{e}{x} \dot{\theta} \cos \theta\]

relazione tra \(\dot{\phi}\) e \(\dot{\theta}\)

\[\vec{v_g} = ?\]

esprimiamo le sue coordinate

• \[x_G = \frac{e}{2} \sin \theta\]
• \[y_G = \frac{e}{2} \cos \theta + c\]

\[\vec{v_g} = \frac{d}{dt} \left(\frac{e}{2} \sin \theta \vec{i} + \left(\frac{e}{2} \cos \theta + c\right) \vec{j}\right)\]

\[= \left(\frac{e}{2} \dot{\theta} \cos \theta \vec{i} + \left(\frac{-e}{2} \sin \theta \dot{\theta} \right) \vec{j}\right)\]

\[= \frac{e \dot{\theta}}{2} (\cos \theta \vec{i} - \sin \theta \vec{j})\]

Richieste:

• _^ω (disco C)
• _^vp in funzione su ^θ
• _^ω (disco C) - ^{φ k *}

_^vp? Primo collegato a Q poiché P, Q ∈ filo inestensibile

In generale ^|vp| = ^|vq|

_{^vq q} = _{^vp p} ma _q e _p sono proprio in senso inverso

_^vq (_filo) = _^ω (disco) (poiché non striscia)

_^ω (disco B) = _{^ω q} + _^ω (disco B) ∧ (_Q - _B)

- ^{θ̂ k̂} ∧ (^{R î})

- - ^Rθ̂ ^ȷ̂

Quindi

_^vq (disco B) = _^vq (_filo) = _^vp - ^Rθ̂ ^ȷ̂

^* Bisogna trovare la relazione tra θ̂ e φ̂

_^vk (disco C) = _{^ω H} + _^ω disco ∧ (_X - _H)

- = -φ̂ ^k ∧ (2_R ^ȷ̂)

- = 2φ̂ ^{R ↑}

→ _^vk (disco C) = _^vk (_filo)

• |_^vk| = |_^vp|
• 12φ̂ = |-^Rθ̂|

^φ̂ = ^θ̂/₂

Coord. base x, ϕ

Richieste:

• _vp in funzione di x, ẋ, ϕ, ϕ̇

Incognite

P, K ∈ f_feo — essenziale

[_uk] = [_up]

e _uk · t_k = _up · t_p con t_k = î t_p = -^j

_vp = d/dt (x₀î + y₀^j) = ẏ^j

_vk = _va + Ω_disco ^ (K - G̅) = _va + [-ϕ̇K̂ ^ (R^j)] = _va + ϕ̇R_î

velocità di moto traslatorio (quello della lamina)

_va = ẋî

_vk = ẋî + ϕ̇R î = (ẋ + ϕ̇R)î

[_uk] = [_up] = ẋ + ϕ̇R

_vp = -(ẋ + ϕ̇R)^j

1) FORZE CHE AGISCONO SUL DISCO, CONSIDERATO DA SOLO, IN TOTO DA APPLICARE LA 1ª EQ. CARDINALE

τ_r/c

Fe_l mg Vi_H Hi_H

II EQ. CARDINALE con polo in H

dΓ_H/dt = M_H(E) - Ĭ∧Q̅ = M_H(E) + Ω∧Ĭ

Indicando la velocità con lettera maiuscola, intendiamo la velocità del PUNTO GEOMETRICO e NON di quello materiale.

Ĭ ≠ 0 (perché stiamo parlando del punto geometrico e non di quello materiale per il quale V̅^m = 0)

Ĭ = V̅^g Q̅ = m_tot V̅^g => Q̅∧Ĭ = m_tot V̅^g ∧ V̅^g = 0 poiché V̅^g // a se stesso

Ĝ_H = Ĩ_H ω = 3/2 mR²(-φ'K̂) con x̅ = φ'R

sono diventate - 3/2 mRẍK̂ tutte esterne (le uniche che non entrano in H sono - FORZA ELASTICA - TENSIONE FILO M_H(E) = 0

M_H = -2Rτ̅ + RFeₗ = -2Rτ̅ + R(Kẋ)

riprendendo l' eq. cardinale:

d/dt(-3/2 mRẍK̂) = -2Rτ̅ + RẈ

-3/2 mRẍK̂ = -2Rτ̅ + RẈ∧R