Temi d'esame di Meccanica razionale

MECCANICA 1 - 10-06-14

In un piano verticale un disco omogeneo di centro C, massa m e raggio R é vincolato a rotolare senza strisciare, con vincolo bilatero, su una guida circolare fissa di raggio R e centro O.

Una asta omogenea di massa 3m e lunghezza 2R ha un estremo inserito in C e l’altro é vincolato a scorrere senza attrito mediante un carrello lungo l’asse verticale y passante per O.

All’istante t=0 (in cui il sistema é fermo con l’asta quasi verticale (θ’ = 0).Calcolare la reazione vincolare esercitata dalla guida circolare sul disco quando θ’ = π/3.

H → C.L.R del disco di centro O.

Il disco di centro C disegna un esercizio di cento O e raggio 2R.

Ṙ = 2Ṙ → = 2Ṙ

Coordinate del p.to A

X_A= 0

Y_A = 4R coṡ → ̇_A = -4R sinθ̇

I_disco = ¹/₂ mR² + ¹/₃ mR² = ³/₂ m R ̇ ²

V_tasta = Mv + ¹/₂ I

X_G= 3R cos → _G = -4R sinθ̇

X_G= R cos → _G= K cosθ̇

V_G= ̇_G + ̇G = ³/₂ R ̇_G + ¹/₂ ²/₂ 2Ṙ

V_tasta = ^{m R² ̇} + ³/₂ − 3σRsin cosθ̇

OL = 0 → = -3m R. −.3R cosθ̇ − 9m R cos

_disco= -my− 2 mσR cosθ̇

Meccanica 1

10-06-14

In un piano verticale, un disco omogeneo di centro C, massa m e raggio R è vincolato a rotolare senza strisciare, con vincolo bilatero.

Su una guida circolare fissa di raggio R e centro O.

Un'asta omogenea di massa 3m e lunghezza 2R ha un estremo inserito in C e l'estremo A vincolato a scorrere senza attrito mediante un carrello lungo l'asse verticale y passante per O.

All'istante iniziale t = 0 il sistema è fermo con l'asta quasi verticale (θ = 0).

Calcolare la reazione vincolare esercitata dalla guida circolare sul disco quando θ = π/3.

H → c.l.r. del disco di centro C

Il disco di centro C disegna un esercizio di centro O e raggio 2R

ṘḞ = 2Rθ̇ + _P = 2Fθ̇

Coordinate del p.to A

X_A = 0

Y_A = 4R cosθ → Ẏ_A = -4R sinθθ̇

I_disco = ¹/₂m R^{2 1}/₃m 3m R² = 3m R² θ̇²

θ_asta = mVy_C + ¹/₂l²

Y_G = 3R cosθ → Ẏ_G = -3R sinθθ̇

X_G = R cosθ → Ẋ_G = -R sinθθ̇

θ_asta = mR θ̇² (9 sinθ + cosθ) + 1 = ³/₂ m 4R θ̇²

UL = -M_yC = 3m R_B cosθ = -9m R_B cosθ

U_Disc = -m g Y_C = -2 mαg R_B cosθ

DINAMICA 3 SM 16-09-15

Nel sistema in fig. mobile in un piano verticale l’asta AB, omogenea di lunghezza l e massa m, ha gli estremi A e B scorrevoli senza attrito rispettivamente lungo l’asse verticale y e lungo l’asse x.

Un disco di centro C, massa m e raggio 2R, può rotolare senza strisciare su una guida orizzontale. Sui bordi di un profilo circolare di centro C e raggio R_i, solidale al disco, è avvolto un filo di massa trascurabile che dopo un tratto orizzontale, passa su un puleìia liscia, fissa sull'asse y, e ha un estremo in A.

All'istante iniziale il sistema è in quiete, con l'angolo δ di fig. uguale a pi/6.Calccolare:

1. l’ala di moto del sistema in funzione di θ;
2. la Tensione nel filo all'istante iniziale;

P.T.O G :

• X_G = ^l/₂ sinθ
• ẋ_G = ^l/₂ cosθ θ̇
• Y_G = ^l/₂ cosθ
• Ẏ_G = -^l/₂ sinθ θ̇

P.T.O A :

• X_A ≡ x≡0
• Y_A = l cosθ
• Ẏ_A = l sinθ θ̇

Û_H = Û_A

3Rϕ̇ = l sinθ θ̇

i : = ^l/_3R sinθ θ̇

T₀ = ¹/₂ k ẋ² + ¹/₂ I ω² = ¹/₂ m l² R² + ¹/₂ m R² i² + 2mR² k² i + ⁵/₁₂ m R² i² = m R² i₂ + 1/8 m l² sin2θ θ̇

T_ASTA = ¹/₂ va² - m g l

= m ^l2/₄