Temi d'esame di Meccanica razionale

MECCANICA 1 - 30-06-14

In un piano verticale un disco omogeneo di centro C, massa m e raggio R è vincolato a rotolare senza strisciare, con vincolo bilatero,

Su una guida circolare fissa di raggio R e centro O.

Un'asta omogenea di massa 3m e lunghezza 2R, ha un estremo innestato

in C ed estremo A vincolato a rotolare senza attrito mediante un

carrucola lungo la retta verticale y passante per O.

All'istante iniziale il sistema è fermo, con l'asta quasi verticale (θ=0).

Calcolare la reazione vincolare esercitata dalla guida circolare sul disco

quando θ=π/3

H → c. I.R del disco di centro C

Il disco di centro C disegna un cerchio di centro O e raggio 2R

RF=2Rθ̇ → ṙ=2θ̇

Coordinate del p.to A

XA=0

YA=4Rcosθ → ẎA=-4Rsinθθ̇

I_disco=¹/₂mR²+¹/₃mR²=³/₂mRθ̇²

I_asta=ml²+¹/₂ml²

X_G=3Rcosθ → Ý_G=-3Rsinθθ̇

X_G=Rsinθ → Y_G=Rcosθθ̇

V_G=√X_G²+Y_G²=¹/₂m∙3R∙θ̇

I_P=3Rcosθ → 3R∙sinθθ̇²=3R(9sinθθ̇cosθ)

D

=-MgY_c-3m∙3Rcosθ-9m∙Rsinθ&\ud _L=mgY_c-2mgRcosθ

DINAMICA 3 46-09-15

Nel sistema in fig, mobile in un piano verticale l'asta AB, omogenea di lunghezza l e massa m; ha gli estremi A e B scorrevoli senza attrito rispettivamente lungo l'asse verticale y e lungo l'asse x. Un disco di centro G, massa m e raggio 2Ri può rotolare senza strisciare su una guida circolare OJ. Su bordo di un profilo circolare di centro C e raggio Ri, solidale al disco, è avvolto un filo di massa trascurabile che dopo un tratto orizzontale, passa su un puleggio liscia, fissa sull'asse y, e ha un estremo in A. All'istante iniziale il sistema è in quiete, con l'angolo O di pi uguale a π/6. Calcolare: 1) l'alfa di moto del sistema in funzione di θ;

2) la Tensione nel filo all'istante iniziale;

P.T.O G : X_g = 3/2 l sin θ X_c = l/2 cos θ X_A = l X_A = 0 Y_g = l cos θ Y_c = l/2 sin θ Y_A = l cos θ Y_A = l sin θ l cos θ _A = l sin θ Ṫ G=Ḡ Ṫ G= 3Ri - l sin θ Ṫ : = l sin θ _A T_o = l cos θ_A = 3/2 Ri T_oo = − l /2 T_aster = l T_aster = l ng /2 + g/2 = T_o Ć/ U = - mg l/2 cos θ

− T = l² T = 3mg l/2 ( l cos θ_p)

MECCANICA 5

In un PV un disco omogeneo di massa 2m e raggio 1R rota senza strisciare su una guida orizzontale. Una sbarra omogenea di massa m ha un estremo incernierato nel centro del disco e l'altro estremo A scorrevole senza attrito lungo la guida ed è inclinata di un angolo α sull'orizzontale. Un filo inestensibile e di massa trascurabile si avvolge senza strisciare sul disco, passa su un puleggia liscia, fissata a quota 2R sopra la guida e reca all'estremo libero un proprio materiale di massa m.

1. Scrivere un'equ. PURA DI MOTO;
2. Calcolare durante la moto la reazione vincolata in A e le componenti della reazione vincolata sulla guida sul disco;
3. Calcolare la limitazione sui coefficienti di attrito μ tra il disco e la guida affinchè il rotolamento senza strisciamento sia possibile.

→ Tiresco = (¹/₂ )I_Cθ̇² = ¹/₂ (2⁵/₂) = ³/₂mR²θ̇²

→ T_P.to = ¹/₂ mȳ̇ = ¹/₂ m · 2Rθ̇ = ¹/₂ 3mR²θ̇²

→ Tasta = ²/₂mRθ̇²

T = 4mR²θ̇²

→ F = F · υ

→ Π = mg 2Rθ̇

dT/dt = η

→ EQU. PURA DI MOTO → 18 mg 1Rθ̈θ̇ = mg 2Rθ̇

4Rθ̈θ̇ = gθ̇² → θ̈ = ¹/₄ gθ̇

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dI_H / dt = ΣM_N disco

I_H dθ̇ / dt = I_P = 3/2 mR² θ̇

I_H = 0 = H_C R

f = (4/2 l² sinθ θ̇) θ̇ / 2

H_C(θ) = 3/2 mR l / 2R (2cosθ θ̇ + 2sinθ θ̈)

H_C = 3/2 H_L (2 θ̇) = 3/2 mR (3/2 g/l)

dm_A / dt = m_A + H_A = ml² θ̈ = -2 m l² 5/2 cosθ + V_C 2 l cosθ

ΣH_A = -mg l / 2 cosθ = 3/2 mg l cosθ + V_C 2 l cosθ

r_A = Γ_AB + Γ_BC = m/3 ml² θ̇ k

I_AB = I_A θ̇ / 2 = 1/4 ml² θ̈ k

B_C = -m (1/12 m l² + (x_M + y_M) m / m) =

[3/2 5/4 cosθ + 3/2 θ̇ sinθ θ̇]

= 3/4 θ̇/2 m = m/12 θ̇/2 m

T₂ = 1/2 I_{1 1}̇² + 1/2 (1/3 mR²) ̇² = 1/4 mR² ̇²

T₂ = 1/2 Ik ₂ ̇² = 1/2 (I_c + mR²) ₂ ̇² = 1/2 ₂ ̇² mR² 1/3 = 2 m (ẋ + 2ṡ)

T = 1/2 m ẋ² + 1/2 m ṡ² + 1/3 m ẋṡ + 1/3 mẋṡ = 1/12 m ẋ² + 1/6 m ṡ² + 1/3 mẋṡ

U = -1/2 KS² + mg (x + s)/3

T + U = 1/2 m ẋ + 1/3 m ṡ² + 1/3 m ẋṡ - 1/2 KS² + mg (x + s)/3

EQU. DI LAGRANGE:

• d/dt (t/ẋ) - t/x = 0
• d/dt (t/ṡ) - t/s = 0

1/ ̇n ẍ + 1/3 ̇n s̈ - 1/3 mg = 0

1/3 mẍ + 1/3 ms̈ + ks - mg/3 = 0

3/33 ms̈ + 2/33 m mẍ + k s = 0

sẋ + 1/3 ms̈ = g s̈ + ³ s = g con ² = 1/1_k / 1/3_m

EQU. DEI MOTI ARMONICI:

d/dt Ac + ∑ Mc

ΣMc = _R - ks 2R

_r = 2ks + 2/3 (̈ + ṡ̇)

T_rel = ¹/₂ 4m5² = 2m5²

dT_rel/dt = 4m5ṡ

Π_mg ≠ Π_i = ³/₂ 5m_g = ^3√3/₂ m_a5

→ 4m5ṡ = ³/₂ 5m_g - ^3√3/₂ m_a5̇

→ 4ṡ = ³/₂ g - ^3√3/₂ a

s̈ = ³/₈ (g - √3a)

K

s̈ = K → ^d/_dt (ṡ) = k

dṡ = k dt

∫dṡ = ∫k dt

ṡ = kt + A

s = ^k/₂ t² + At + B

Si risolve per variabili separabili

Moto Assoluto

v_c = (R - r) ȧ̇ = r ρ̇ + Rω

Τ_d = ½ m (r ρ̇ + Rω)² + ½ (½ m r² ρ̇²) = ¼ m r² ρ̇² + ½ m (r ρ̇ + Rω)²

Π_mg = -mg (r ρ̇ + Rω) sinα

dT/dt = Π_mg + Π_H

⇝ Τ_H

DIN.REL 8

Un piano verticale α si fa ruotare attorno all'asse verticale z con velocità angolare costante ω.Un'asta AB, di lunghezza l e di massa trascurabile, è vincolata ad appartenere al piano con l'estremo A appartenente all'asse z (con vincoli lisci) e recante all'estremo B un punto materiale di massa m.

Inicialmente gli estremi dell'asta hanno la stessa velocità v₀ e l'asta forma un angolo θ con l'orizzontale.

Calcolare la forza verticale che si deve applicare ad A perché tale punto scenda con velocità costante v₀ e al momento debba opporsi da applicare al piano perché tutti con ω costanti.

ω = ω₀

∫l = ω₀ ⋅ t

Nel r.g. dei t.o. relativo

F

θ

ω²l cosθ → forza di trascinamento ⊥ a v₀

• ẋ_A = l ω cosθ
• ẏ_A = l sinθ
• ẋ_B = l sinθ
• ẏ_B = l cosθ θ

* N.B.: Massa Trascurabile

T_i - U_i = T_f - U_f

• θ̇² = (2g/l) ⋅ txθ + (3/l) ⋅ g^l
• ½ m θ̇²l²
• ½ m l²⋅ ω²
• ½ mgl = mg l sinθ