Telecomunicazioni

Fasori e Sinusoidi

I circuiti alimentati da generatori in continua, hanno permesso di applicare le leggi di Ohm, Kirchhoff e di applicare una serie di teoremi utili per risolvere reti elettriche comunque complesse.

La maggior parte delle applicazioni fa riferimento ad eccitazioni circuitali che variano nel tempo secondo leggi sinusoidali e il loro studio viene intrapreso per i seguenti motivi:

• molti fenomeni sono sinusoidali;
• una sinusoide è un segnale facile da generare;
• una sinusoide è la forma d’onda dominante dei segnali analogici;
• una sinusoide è facilmente manipolabile da un punto di vista matematico;
• un segnale periodico può essere scomposto nella somma di più sinusoidi.

In figura è mostrato l'andamento di due sinusoidi aventi una diversa fase iniziale:

Dove _YM è il valore massimo dell’onda, ω = 2πf è la pulsazione espressa in rad/s e φ è detta fase iniziale.

Fasori e Sinusoidi

I circuiti alimentati da generatori in continua, hanno permesso di applicare le leggi di Ohm, Kirchhoff e di applicare una serie di teoremi utili per risolvere reti elettriche comunque complesse.

La maggior parte delle applicazioni fa riferimento ad eccitazioni circuitali che variano nel tempo secondo leggi sinusoidali e il loro studio viene intrapreso per i seguenti motivi:

• molti fenomeni sono sinusoidali;
• una sinusoide è un segnale facile da generare;
• una sinusoide è la forma d’onda dominante dei segnali analogici;
• una sinusoide è facilmente manipolabile da un punto di vista matematico;
• un segnale periodico può essere scomposto nella somma di più sinusoidi.

In figura è mostrato l’andamento di due sinusoidi aventi una diversa fase iniziale:

FIGURA 1 - Segnali alternati sinusoidali.

Dove Y_M è il valore massimo dell’onda, ω = 2πf è la pulsazione espressa in rad/s e φ è detta fase iniziale.

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Cenno ai numeri complessi

Un numero complesso z può essere scritto in forma rettangolare:

z = a + jb dove j = √-1

|Z| = √a² + b²

FIGURA 2 - Rappresentazione grafica di un numero complesso nel piano di Gauss.

dove j è detta unità immaginaria; a viene detta parte reale di z; b viene detta parte immaginaria di z.

Un numero complesso z = a + jb può essere rappresentato nelle seguenti forme:

1. forma rettangolare z = a + jb
2. forma polare o di Steinmetz z = Z ∠ φ
3. forma esponenziale z = Z e^{j φ}
4. forma trigonometrica z = Z cos φ + j Z sin φ

Dove:

Z = √a² + b²

φ = arctg ^b/_a

Operazioni sui numeri complessi

1. Addizione

   Dati due numeri complessi z₁ e z₂:

   z₁ = a + jb   z₂ = c + jd

   La somma è data da:

   z₁ + z₂ = (a + c) + j (b + d)

2. Sottrazione

   Dati due numeri complessi z₁ e z₂:

   z₁ = a + jb   z₂ = c + jd

   La sottrazione è data da:

   z₁ - z₂ = (a - c) + j (b - d)

3. Prodotto

   Dati due numeri complessi, espressi in forma polare:

   z₁ = Z₁ ∠φ₁   e   z₂ = Z₂ ∠φ₂

   z₁ z₂ = Z₁ ∠φ₁ Z₂ ∠φ₂ = Z₁ Z₂ ∠(φ₁ + φ₂)

4. Quoziente

   Dati due numeri complessi, espressi in forma polare:

   z₁ = Z₁ ∠φ₁   e   z₂ = Z₂ ∠φ₂

   ^z₁/_z2 = ^{Z₁ ∠φ₁}/_{Z2 ∠φ2} = ^Z₁/_Z2 ∠(φ₁ - φ₂)

I Fasori

Lo studio delle rete in regime sinusoidale si effettua introducendo l’uso dei fasori, che non sono altro che un’altra rappresentazione particolare delle onde sinusoidali.

Un fasore è un numero complesso, che rappresenta l’ampiezza e la fase di una sinusoide.L’uso dei fasori per risolvere i circuiti in regime sinusoidale fu introdotta per la prima volta da Charles Steinmetz nel 1893.

In sintesi, una sinusoide si può rappresentare nel piano complesso con un vettore rotante in senso antiorario, avente la velocità angolare uguale alla pulsazione della sinusoide e il modulo uguale al valor massimo della sinusoide. Al trascorrere del tempo, un immaginario punto si sposta sulla sinusoide e il valore assunto dalla sinusoide in quel punto è la sua pr