Fasori e Sinusoidi
I circuiti alimentati da generatori in continua, hanno permesso di applicare le leggi di Ohm, Kirchhoff e di applicare una serie di teoremi utili per risolvere reti elettriche comunque complesse.
La maggior parte delle applicazioni fa riferimento ad eccitazioni circuitali che variano nel tempo secondo leggi sinusoidali e il loro studio viene intrapreso per i seguenti motivi:
- molti fenomeni sono sinusoidali;
- una sinusoide è un segnale facile da generare;
- una sinusoide è la forma d’onda dominante dei segnali analogici;
- una sinusoide è facilmente manipolabile da un punto di vista matematico;
- un segnale periodico può essere scomposto nella somma di più sinusoidi.
In figura è mostrato l’andamento di due sinusoidi aventi una diversa fase iniziale:
Figura 1 – Segnali alternati sinusoidali.
Dove YM è il valore massimo dell’onda, ω = 2πf è la pulsazione espressa in rad/s e φ è detta fase iniziale.
Cenno ai numeri complessi
Un numero complesso z può essere scritto in forma rettangolare:
z = a + jb dove j = √-1
|Z| = √(a2 + b2)
FIGURA 2 - Rappresentazione grafica di un numero complesso nel piano di Gauss.
dove j è detta unità immaginaria; a viene detta parte reale di z; b viene detta parte immaginaria di z.
Un numero complesso z = a + jb può essere rappresentato nelle seguenti forme:
- forma rettangolare z = a + jb
- forma polare o di Steinmetz z = Z ∠ φ
- forma esponenziale z = Z ej φ
- forma trigonometrica z = Z cos φ + j Z sin φ
Dove:
Z = √(a2 + b2)
φ = arctg b/a
2
E' possibile scrivere VL con la notazione polare:
VL = XL ⋅ I ∠90° = jωL ⋅ I
c) Condensatore
In un condensatore di capacità C il legame tensione-corrente in regime sinusoidale è dato dalla seguente equazione:
i(t) = C e(t)
Con il metodo simbolico, la legge di Ohm applicata ad un condensatore inserito in un circuito in regime sinusoidale lega sempre la tensione e la corrente:
Vc = Xc ⋅ I dove
Xc = 1/ωC = reattanza capacitiva (Ω)
Analogamente a quanto visto con VL anche Vc si può scrivere con la notazione polare:
VC = -1/ωC ⋅ I
VC = -jXC ⋅ I
Le tensioni e le correnti utilizzate nei tre casi sono fasori!
Impedenza
È particolarmente importante poter stabilire una relazione tra la tensione del generatore sinusoidale e(t) e la corrente i(t) in un circuito comprendente i tre elementi passivi descritti in precedenza: R, L, C. Applicando la legge di Ohm ed utilizzando il metodo simbolico, si ottiene:
Z = R + jωL - 1/ωC
Ē = E/Z
I = E/(R + j(ωL - 1/ωC))
Andamento di Z in funzione di ω
FIGURA 6 - Andamento del modulo dell'impedenza in funzione della pulsazione.
L'andamento del modulo dell'impedenza del circuito RLC si può dedurre anche dall'andamento dei moduli degli elementi passivi stessi al variare di ω, come mostrato in fig. 6.
FIGURA 7 - Andamento del modulo degli elementi di un circuito RLC in funzione della pulsazione.
Banda passante
Si definisce banda passante, l'intervallo di frequenze, intorno alla frequenza di risonanza, per le quali la corrente ha un valore superiore ad
Ir / √2 = 0.07 * Ir
dove Ir è il valore massimo della corrente che si ha solo in condizione di risonanza.
Gli estremi di questo intervallo di frequenze sono individuati da due valori f1 e f2,
chiamati rispettivamente:
- f1 = frequenza di taglio inferiore
- f2 = frequenza di taglio superiore.
La banda passante viene definita dalla seguente differenza:
B = f2 - f1
La curva di risonanza mostrata in figura 12 consente di definire graficamente la banda passante:
FIGURA 14 - Banda passante e frequenze di taglio.
b) le pulsazioni di taglio ω1 e ω2 valgono:
ω1 = -RC + √R2C2 + 4LC/2LC = 264.76 rad/s
ω2 = +RC + √R2C2 + 4LC/2LC = 314.76 rad/s
FIGURA 22 – Pulsazioni di taglio.
Le frequenze di taglio, di conseguenza valgono:
f1 = ω1/2π = 41.14 Hz
f2 = ω2/2π = 50.10 Hz
È possibile, a questo punto, verificare che la frequenza di risonanza è la media geometrica delle due frequenze di taglio:
fr = √f1 * f2 = 45.94 Hz
c) la banda passante si può calcolare con i due seguenti metodi:
B = f2 − f1 = fr/Q = 8.966 Hz
d) Il coefficiente di risonanza
Q = 1/R √L/C = fr/B = 5.77 Hz
Q = Qreattiva / Pattiva = (Y² / ωrL) × (1 / Y²R) = Y² / ωrC × (1 / Y²R)
Q = 1 / (ωrL R) = ωrC R
FIGURA 29 - Coefficiente di risonanza parallelo.
Analogamente a quanto visto per il circuito serie, si possono avere dei fenomeni di sovracorrente; infatti, in condizioni di risonanza si ha ai capi del bipolo la tensione massima:
V = R I
Indicando con IL e con IC i moduli delle correnti nell'induttore e nel condensatore, si può scrivere.
IL = V / ωrL = R I / ωrL = Q I
IC = ωrCV = ωrC R I = Q I
FIGURA 30 - Sovracorrenti sugli elementi reattivi in risonanza.
FIGURA 5 - Forma matriciale delle relazioni funzionali tra le 4 variabili circuitali del doppio bipolo.
La matrice delle resistenze può essere espressa anche in funzione della riga e della colonna.
FIGURA 6 - Matrice delle resistenze del doppio bipolo.
L’equazione matriciale di Fig.5 è una rappresentazione controllata in corrente del doppio bipolo, perché le tensioni di ingresso e di uscita sono espresse in funzioni delle correnti di ingresso e di uscita. E’ possibile ricavare anche una rappresentazione controllata in tensione per il bipolo resistivo con le correnti espresse in funzione delle tensioni.
Il doppio bipolo resistivo, nella sua rappresentazione controllata in corrente può essere rappresentato con il seguente simbolo:
Significato di R21
Si consideri la seconda equazione di Fig-9 e si espliciti R21 in funzione della tensione e delle correnti.
R21 = V2 / I1 - R22· I2 / I1 Da cui R21 = V2 / I1 |I2=0FIGURA 15 – Calcolo di R21.
La R21 è data dal rapporto tra la tensione d’uscita V2 e la corrente d’ingresso I1 quando i morsetti di uscita sono in condizione di circuito aperto. La resistenza R21 viene chiamata resistenza di trasferimento diretta quando i morsetti di uscita sono in condizione di circuito aperto.
Il circuito elettrico cui si deve far riferimento è mostrato in Fig.16
FIGURA 16 – Circuito elettrico per il calcolo di R21.
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